2021年上海市松江区高考二模数学试卷

2021年上海市松江区高考二模数学试卷（2021·上海松江区·模拟）已知集合A=xx−1<1，（2021·上海松江区·模拟）若复数z满足z⋅1+i=2（i为虚数单位），则z=（2021·上海松江区·模拟）已知向量a=1,1，b=m,2，且a⋅b=1，则m的值为（2021·上海松江区·模拟）在x+26的二项展开式中，x3项的系数为（2021·上海松江区·模拟）如图所示，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，（2021·上海松江区·模拟）若函数fx=x−a的反函数的图象经过点2,1，则a=（2021·上海松江区·模拟）已知一个正方体与一个圆柱等高，且侧面积相等，则这个正方体和圆柱的体积之比为．（2021·上海松江区·模拟）因新冠肺炎疫情防控需要，某医院呼吸科准备从5名男医生和4名女医生中选派3人前往隔离点进行核酸检测采样工作，选派的三人中至少有1名女医生的概率为．（2021·上海松江区·模拟）已知函数y=tanωx+π6的图象关于点π3,0对称，且（2021·上海松江区·模拟）如图，已知AB是边长为1的正六边形的一条边，点P在正六边形内（含边界），则AP⋅BP的取值范围是（2021·上海松江区·模拟）已知曲线C:xy=21≤x≤2，若对于曲线C上的任意一点Px,y，都有x+y+c1x+y+（2021·上海松江区·模拟）在数列an中，a1=3，an+1=1+a1⋅a2⋅（2021·上海松江区·模拟）经过点1,1，且方向向量为1,2的直线方程是   A．2x−y−1=0 B．2x+y−3=0 C．x−2y+1=0 D．x+2y−3=0（2021·上海松江区·模拟）设α，β表示两个不同的平面，l表示一条直线，且l⊂α，则l∥β是α∥ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件（2021·上海松江区·模拟）已知实数a，b满足a+2b+1①当a>0，b>0时，ab存在最大值；②当a<0，b<0时，a+b存在最小值．正确的判断是   A．①成立，②成立 B．①不成立，②不成立 C．①成立，②不成立 D．①不成立，②成立（2021·上海松江区·模拟）已知函数fx=1x+∣2x−a∣．若存在相异的实数x1, A．−∞,−22 B． C．22,+∞ D．（2021·上海松江区·模拟）如图，S是圆锥的顶点，O是底面圆的圆心，AB，CD是底面圆的两条直径，且AB⊥CD，SO=4，OB=2，P为SB的中点．(1)求异面直线SA与PD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．(2)求点S到平面PCD的距离．（2021·上海松江区·模拟）已知函数fx=2x+a⋅(1)讨论函数fx(2)当fx为偶函数时，若方程f2x−k⋅fx=3（2021·上海松江区·模拟）为打赢打好脱贫攻坚战，某村加大旅游业投入，准备将如图扇形空地AOB分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花．已知扇形的半径为100米，圆心角为23π，点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且(1)当Q是OB的中点时，求PQ的长；（精确到米）(2)已知种植玫瑰花、郁金香和菊花的成本分别为30元/平方米、50元/平方米、20元/平方米．要使郁金香种植区△OPQ的面积尽可能的大，求△OPQ面积的最大值，并求此时扇形区域AOB种植花卉的总成本．（精确到元）（2021·上海松江区·模拟）已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l交抛物线于不同的A，(1)若直线l的方程为y=x−1，求线段AB的长；(2)若直线l经过点P−1,0，点A关于x轴的对称点为Aʹ，求证：Aʹ，F，B(3)若直线l经过点M8,−4，抛物线上是否存在定点N，使得以线段AB为直径的圆恒过点N？若存在，求出点N（2021·上海松江区·模拟）对于至少有三项的实数列an，若对任意的nn∈N∗,n≥3，都存在s，t（其中s≠t，s,t∈N∗，s<n，t<n(1)分别判断数列1，2，3，4和数列−1，0，1，2是否具有性质P，请说明理由；(2)已知数列an是公差为dd>0的等差数列，若bn=sinan，且数列a(3)已知数列cn=∣n−a∣−b（其中a≠b，a,b∈N∗），试探究数列

答案1.【答案】1【知识点】交、并、补集运算2.【答案】1−i【知识点】复数的乘除运算3.【答案】−1；10【知识点】平面向量数量积的坐标运算4.【答案】160【知识点】二项式定理的通项5.【答案】2【知识点】空间向量基本定理6.【答案】−3【知识点】反函数7.【答案】π:4【知识点】圆柱的表面积与体积8.【答案】3742【知识点】古典概型9.【答案】−12或【知识点】Asin(ωx+ψ)形式函数的性质10.【答案】[−1【知识点】平面向量的数量积与垂直11.【答案】3−22【知识点】函数的最大（小）值12.【答案】23【知识点】无穷等比数列的前n项和（沪教版）13.【答案】A【知识点】直线的点方向式方程（沪教版）14.【答案】B【知识点】直线与平面垂直关系的性质15.【答案】C【知识点】均值不等式的应用16.【答案】B【知识点】函数的零点分布17.【答案】(1)连接OP，因为P为SB的中点，所以OP为△ABS的中位线，所以SA∥所以∠OPD即为异面直线SA与PD所成角．因为AB⊥CD，SO⊥CD，所以CD⊥平面SOB，而OP在平面所以CD⊥OP，在直角三角形OPD中，OD=2，OP=1所以tan∠OPD=∠OPD=arctan异面直线与所成的角为arctan2(2)以O为坐标原点，OD，OB为x轴、y轴建立空间直角坐标系，则S0,0,4，P0,1,2，设平面PCD的一个法向量为n=由n⋅OP=0,所以u=0,v=−2w,不妨取n=则点S到平面PCD的距离d=∣【知识点】点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题18.【答案】(1)f−x当为偶函数时，由f−x得2x因为对任意的x，1−a2所以1−a=0，a=1，当为奇函数时，由f−x得2x因为对任意的x，1+a2所以1+a=0，a=−1，所以a=1时，fx为偶函数；a=−1时，fa≠±1时，fx(2)由已知，fx=2则由x∈0,1知t∈2,则f2x方程f2x−kfx所以k=t−5由于y=x−5x在所以t=2时，kmint=52时，所以k∈−方程f2x【知识点】函数的奇偶性、函数的零点分布19.【答案】(1)因为扇形的半径为100 m，Q是OB所以∣OQ∣=50，因为PQ∥OA，所以∠OQP=π在△OPQ中，由余弦定理，得：∣OP∣即：∣PQ∣所以∣PQ∣=25+2513(2)设∣OQ∣=x，∣PQ∣=y，在△OPQ中，由余弦定理，得：∣OP∣即：x2由基本不等式得：x2所以xy≤10000，而S△OPQ当且仅当x=y=100时，△OPQ的面积的最大值为25003此时△OPQ为正三角形，∠QOP=π则∠AOP=π所以S扇S△OPQSBPQ种植花卉总投入为：S扇所以，郁金香的种植区△OPQ的面积最大值为25003平方米，扇形区域AOB的种植花卉的总投入为391703【知识点】解三角形的实际应用问题20.【答案】(1)设Ax1,联立y2=4x,y=x−1,由韦达定理：x1易知直线l经过抛物线的焦点F1,0由准线x=−1得：∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=x(2)设直线l的方程为y=kx+1联立方程组y=kx+1,y2+4x,设Px1,y1x1+xkFQ=y因为kFQ所以kFQ=kFS，即S，(3)假设存在定点N，设NyAy12设直线l的方程为：x=my+4联立y2整理得y2−4my−16m−32=0，y1+y由以弦AB为直径的圆恒过点N，知NA⋅得：y0整理得：y0所以，y0即：4y0−16所以，4y0−16=0所以存在定点，使以弦为直径的圆恒过点．【知识点】抛物线中的动态性质证明、抛物线中的弦长与面积21.【答案】(1)对于数列1，2，3，4，因为3≠1−2，3≠2−1，所以不具有性质P，对于数列−1，0，1，2，因为1=0−1，2=1−−1所以具有性质P．(2)因为数列an具有性质P，且公差d>0所以a3所以a3所以a1=−d，a2则b1=−sind，b2=0，由于bn也具有性质P所以b3=b即sind=sind所以sind=0所以d=kπ由于b4=sin2d，及b4=b2−所以d=kπk∈Z，或d=k当d=π3，bn所以数列bn的6项为：−32，0，32，32由于b3=b6=b2−b1，b4d的最小值为d=π(3)an=∣n−a∣−b（其中a≠b，数列an具有性质P，则a3=因为a1=∣a−1∣−b，a2所以∣a−3∣−b=∣a−2∣−∣a−1∣，或∣a−3∣−b=∣a−1∣−∣a−2∣，即∣a−3∣−∣a−2∣+∣a−1∣=b，或∣a−3∣−∣a−1∣+∣a−2∣=b，①若a=1，则b=1或b=3，由于a≠b，所以b=3，a=1，b=3时，此时an=n−4，前四项为−3，−2，−1，0，第四项②a=2，则b=2，由于a≠b，舍