二元一次方程组 单元提升卷（人教版）解析版

第10章二元一次方程组单元提升卷

［【人教版2024】

参考答案与试题解析

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（2024七年级•河南鹤壁•期末）若3/ai+2产1=3是关于筋y的二元一次方程,贝！（a-2b）2024

的值为（）

A.2024B.-2024C.1D.-1

【答案】C

【分析】本题主要考杳了二元一次方程的定义，掌握“含有两个未知数，并且含未知数项的次数为1的整式

方程叫二元一次方程”成为解题的关键.

根据二元一次方程的概念可得。、〃的值，然后代入2匕/。24计算即可.

【详解】解：・・・3/af+2ya+匕T=3是关于尤，y的二元一次方程，

・•・{解得：{；=：,

Qz+b-1=13=1

：.（a-28）2024=（1-2）2024=（-1）2024=1

故选：C.

2.（3分）（2024七年级•福建・期末）对于方程组［丫+4,下列变形中错误的是（）

（2x-y=5（2）

A.由①，得％=宁B.由①，得、=手

q

C.由②，得％=半D.由②，得y=2x+5

【答案】D

【分析】本题考查解二元一次方程组步骤，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键.将两个方程变形后进行

判断即可.

【详解】解：由①得；中或），一手,

•5q

则A,B均不符合题意；

由②得：丫=2%-5或》=瞪，

则C不符合题意，D符合题意；

故选：D.

3.（3分）（2024七年级.山东聊城.期末）若关于达y的方程组日:■2匕二:一：的解满足x+y=2024,

十Oy—•Ja-1

则上等于()

A.2022B.2023C.2024D.2025

【答案】D

【分析】本题考查根据二元一次方程解的情况求参数、解二元一次方程组，先利用加减消元法求得x、y的值,

再代入x+y=2024,求解即可.

3x-2y=k-30

【详解】解:

x+6y=3k-1②

由3x①+②得，10x=6/c-10,

解得x=

把％=代入②得，1/c-l+6y=3/c-l,

解得y=：k,

•・•方程组的解满足x+y=2024,

淑-l+1/c=2024,

解得k=2025,

故选：D.

4.(3分)(2024七年级•浙江衢州•期末)若2a-b=0,且关于的二元一次方程(Q-l)x+by+5-2a=

0,当，取不同值时，方程都有一个公共解，那么这个公共解为()

(X=3(x=1(x=5(X=2

A.*B._1C.J3D.|、，3

3=-1(y=-2\y=-2\y=2

【答案】c

【分析】由2a-b=0得：b=2a,把b=2a代入(a—l)x+by+5—2a=0得(a—l)x4-2ay+5—2a=0,

整理得：(x+2y-2)a-x+5=0,根据当a取不同值时，方程都有一个公共解，得出｛*。，

解关于x、V的方程组即可.

【详解】解：由2a-匕=0得：h=2a,

，关于x,丁的二元一次方程(a-l)x+by+5-2a=0可变为：

(a-l)x+2ay+5—2a=0,

整理得：(x+2y-2)a-x+5=0,

•・•当。取不同值时，方程都有一个公共解•，

,（x+2y-2=0

-%+5=0'

%=5

解得：v_3,故C正确.

故选：c.

【点睛】本题.主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是根据当。取不同值时，方程都有一个公共解，得

5.（3分）（2024七年级.辽宁大连•期末）食用油的沸点一般都在20（TC以上，适当地掌握加热时间和油的

温度，能使菜肴酥松香脆.为了掌握家中的食用油加热时间，小明用刻度不超过100。（：的温度计，在锅内倒

入一些油，用煤气灶均匀加热，每隔10s测量一次锅中的油温，测量得到的数据如卜.：

时间t/s010203040

油温y/°C1030507090

小明家的油是花生油，他在网上查得以下信息：①花生油的沸点是320汽；②炸薯条时在油温达到沸点的8

成时将薯条下锅，口感最好.若花生油按上述实验中的速度继续升温，小明在油倒入锅后放入薯条的时间

约是（）

A.106sB.114sC.118sD.123s

【答案】D

【分析】本题主要考查的是一次函数的应用，关键是根据表中数据，求出一次函数解析式.由表中数据发现

油温与时间成一次函数关系，根据表中数据，求出一次函数解析式，然后把y=320x80%=256代入即可

求出答案.

【详解】解：由表中数据发现油温与时间成•次函数关系，设油温与时间的函数关系/=氏+力，把

（0,10）,（10,30）分别代入得，

/.>'=2t4-10,

当y=320x80%=256时，256=2亡+10,

解得£=123,

即小明在油倒入锅后放入薯条的时间约是123s,

故选：D.

6.（3分）（2024七年级•河南平顶山•期末）已知关于“，的二元一次方程组{工沈［黑；（。是常数），

若不论〃取什么实数，代数式依-y（k是常数）的值始终不变，则攵的值为（）

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】A

【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，将方程组中的两个方程变形后联立消掉。即可得出结论，将

方程组中的两个方程联立消掉是解题的关键.

【详解】解：关于x,），的二元一次方程组卜+父==。+：2，

3y=4。+6②

①x4+②可得5%+5y=10,

即r-y=-2,

故幺的值为一1，

故选：A.

7.（3分）（2024七年级•浙江绍兴•期末）设、，▲,■”分别表示三种不同的物体，如图所示，前面两架

天平保持平衡，如果要使第三架也平衡，那么“？”处可以放的物体为（）

【答案】C

【分析】设、，▲,■”分别为x,y,z,根据前两个天平求出三个量之间的关系，进而得出结论.

【详解】解:设、，▲，■“分别为％y,z,由图可知：

{”;，解得:匕，

+y=5z,

即“？”处可以放的物体为5个・；

故选C.

【点睛】本题考查三元一次方程组的应用.正确的识图，列出方程组，是解题的关键.

8.（3分）（2024七年级•湖北武汉•期末）甲、乙二人都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出

发,反向而行，每隔2min相遇一次：如果同时同地出发，同向而行，每隔6min相遇一次，已知甲比乙跑得

快，则甲每分跑（）

A.三圈B.-fflC.［圈D.二圈

2346

【答案】B

【分析】设甲的速度为x,乙的速度为y,环形路的长度为单位1,由题意得二:，计算求解即可.

【详解】解：设甲的速度为x,乙的速度为y,环形路的长度为单位I,

由题意嚼工常;,解得已，

故选:B.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用.解题的关键在于根据题意正确的列方程组.

：二"匕二।的解是:二，，则方程组

9.（3分）（2024七年级.浙江舟山.期末）若方程组

用：2阳；亶：二：：的解是，）

%=-i%=-1x=

A.B.C.3D.3

y=iy=-1y=1y=-i

【答案】A

【分析】喘雷既："：：变形为｛nMm羽北，再设―-列出方

程组，再得其解即可.

将+2by=%-Cla-(—3%+1)+瓦•(-2y)=q

【详解】解:r变形为x

'r(3ax4-2by=a—c—

2222。2,(3x+1)+与,(-2y)=c2

设所”，-25则原方程变形为：｛霏斑

因为方程组｛arx+瓦y=J的解是『

a2x+b2y=c2

所以］-3x+1=4解得：『二。

-2y=-2

所以方程组图量;：":;的解是忧二

故选：A.

【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解与二元一次方程组的关系是解题的关

键.

10.（3分）（2024七年级.河北邯郸・期末）关于x,y的方程组有正整数解，则正整数k的

个数为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】本题考查了方程组的整数解，首先由第二个方程得到x=2y,代入第一个方程，求得y=U，根据

9-/c是3的正倍数即可求解.

【详解】解：f+'：9二#,

x-2y=0@

由②得：％=2y,代入①得：3y=9—k,

9-k

则V=T'

•••原方程组有正整数解,

:.则9-k=9或9-k=6或9-k=3,

解得：k=0或k=3或k=6,

••,k为正整数，

则A=3或k=6,

则正整数k的个数为2,

故选：C.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）（2024七年级•吉林・期末）已知是二元一次方程2x-3y=3的一组解，则式子1-2。+3b

的值是.

【答案】-2

【分析】本题考查了二元一-次方程的解及代数式的求值.熟练掌握二元一次方程解的定义，整体代入求代数

式的求值，是解决问题的关键

先把方程的解代入二元一次方程，得到关于人力的方程，变形后整体代入求值.

X—CL

{y=b是二元一次方程2》-3y=3的一组解，

：.2a-3b=3,

**•1—2Q+3b—1—（2Q-3b）=1-3=-2.

故答案为：—2.

12.（3分）（24-25七年级上•陕西西安・期中）如果某个二元一次方程组的解中两个未知数的值互为相反数,

我们称这个方程组为“和谐方程组”.若关于x,y的方程组。是“和谐方程组”，则〃的值

为.

【答案】-1

【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，相反数的定义，熟练运用整体法解方程组

是解题的关键.

把两个方程相加可得X+y=2+2°,再根据相反数的定义可得2+2。=0,据此即可求解，

【详解】解：卜+3y=4+%D,

x-y=3a®

①+②得：

2%+2y=4+4Q,

X+y=2+2Q,

•:x,y互为相反数，

Ax+y=0,

2+2a=0,

•••a=-1,

故答案为：—1.

13.（3分）（24-25七年级上•福建莆田•期末）某社区出资100元全部用于采购4,B,C三和图书，4种

每本6元，B种每本5元，C种每本4元，其中人种图书只能买5或6本（三种图书都要买），此次采购的

方案有种.

【答案】6

【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键.当购买5

本W种图书时，设购买工本8种图书，y本C种图书，利用总价=单价x数量，可列出关于x,y的二元一次方程,

结合”,y均为正整数，可得出当购买5本A种图书时，有3种采购方案；当购买6本A种图书时，设购买m本

B种图书，n本C种图书，利用总价=单价x数量，可列出关于m,n的二元一次方程，结合m,n均为正整数,

可得出当购买6本A种图书时，有3种采购方案，进而可得出此次采购的方案有6种.

【详解】解：当购买5本力种图书时，设购买x本B种图书，y本C种图书，

根据题意得：6x5+5x+4y=100,

:.x=14--y,

又•••%,y均为正整数，

A（y=5或卜=10或ty=15'

・••当购买5本A种图书时，有3种采购方案;

当购买6本4种图书时，设购买小本B种图书，几本C种图书,

根据题意得：6x64-Sin+4n=100,

3-s

二n=16——4m,

又•；m,n均为正整数，

••・｛屋:或｛片;或｛7二『

•••当购买6本5种图书时，有3种采购方案.

二此次采购的方案有3+3=6（ft）.

故答案为：6

14.（3分）（2024七年级•广西河池・期末）如图，八块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小

【答案】15

【分析】本题考查二元一次方程组在几何问题中的应用，结合图形找到两组等量关系是关键.假设小长方形

的长、宽分别为acm、bcm,通过图形中大长方形的边长关系，可列出二元一次方程组，求得〃、〃的值即

可.

【详解】解：设小长方形的长、宽分别为acm、bcm.

由题意可列方程组：［；+。=1啜，

（2a=a+3b

解得:

每块小长方形地砖的宽为：15cm,

故答案为：15.

15.（3分）（2024七年级,重庆沙坪坝•期末）甲、乙两人同时解方程组,甲正确解得\,

乙因为抄错c的值，解得［:则0+b+c=.

【答案】7

【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把二，1代入方程组得｛:；3"：罢，再把｛；;二代入方

程组中第一个方程得2a-6b=8③，联立①②③，求出瓦c的值代入计算即可

［详解］解：把:\代入方程组片+上=8得［。一：=8®,

是方程办+by=8的一组解，

/.2a-6b=8(3),

(a=10

联立①②③，并解得b=2,

(c=-5

,\a+b+c=10+2—5=7,

故答案为：7.

16.(3分)(2024七年级•湖南常德・期中)幻方是古老的数学问题，我国占代的《洛书》中记载了最早的

幻方一九宫格.将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相

等，例如图(1)就是一个幻方，图(2)是一个未完成的幻方，则％与y的积是.

A92

E■3

35722JF

816LJL

(1)(2)

【答案】20

【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和

相等，表示出最中间的数和最右卜.角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可，找准等量关系，正确列

出二元一次方程组是解题的关键.

【详解】解：•・•每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，

，最左下角的数为：6+20-22=4,

则最中间的数为：x+6-4=x+2或x+6+20-22—y=x-y+4,

最右下角的数为：6+20-(%+2)=24-%或x+6-y=x-y+6,

.(x+2=x-y+4

*(24—x=x+y+6,

解得：口,

・・・刀与、的枳为10乂2=20,

故答案为：20.

三.解答题(共7小题，满分52分)

17.（6分）（2024七年级.湖南邵阳.期末）解方程组:

⑴[X=3y+1.

{)\-2x+5y=2，

(a-b=-1

(2)3a+b+c=2.

\a—2b+c=—6

【答案】⑴口二:

【分析】本题考杳解二元一次方程组、解三元一次方程组，（1）利用代入消元法解二元一次方程组即可;

（2）先利用代入消元法把方程组转化成二元一次方程组，再利用加减消元法解二元一次方程组，即可求解.

%=3y+1①

【详解】（1）解:

—2x+5y=2②

把①代入②得，-2(3y+l)+5y=2,

解得y=-4,

把；y=-4代入①得，x=-124-1=-11,

•・・{：；]:是原方程的解；

(a—b=-1①

(2)解：j3a+b+c=2②，

\a-2b+c=-6③

由①得，a=b—It

把a=b-1代入②得，42?+c=5④，

把a=b-1代入得③得，一匕+c=-5⑤,

由①一⑤得，5b=10，

解得b=2,

a=b-1=2—1=1,

把£=2代入⑤得，-2+c=-5,

解得c=-3,

a=1

Ab=2是原方程的解.

c=—3

18.（6分）（2024七年级.湖南永州.期末）已知x,y同时满足％+5y=3a+7,x-3y=-a—5.

（1）当a=l时，求x-Iy的值；

（2）试说明无论a为何值，_＞，的值始终比x的值大2.

【答案】⑴2

⑵见解析

【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键.

（1）两式相加后，把Q=1代入，计算即可；

（2）两式相减求出y值，进而求出工的值，计算出y-x的值，即可得证.

【详解】（1）解：Vx+5y=3a+7,x-3y=-a-5,

A2x+2y=2Q+2,

，x+y=a+1,

当G=1时，x4-y=2：

（2）Vx+5y=3a+7,x-3y=—a—5,

8y=4a+12,

・1,3

,,＞，=2a+2,

由（1）知，x+y=a+1,

AAT=-a-

22

/.＞1—%=2,

...无论。为何值，＞的值始终比x的值大2.

19.（8分）（2024七年级♦吉林・期末）对于未知数的二元一次方程组，如果方程组的解满足|%-川=1,

我们就说方程组的解x与＞'具有“邻好关系

（1）方程组［：］《二；，的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由；

（2）若方程组的解工与丁具有“邻好关系”，求m的值；

⑶未知数为x，），的方程组传；其中〃与x,y都是正整数，则该方程组的解x与），是否具有“邻好

关系”？如果具有，请求出〃的值；如果不具有，请说明理由.

【答案】（1就与y具有“邻好关系;

（2）771=4,m=6

（3口与），是否具有“邻好关系；a=1

【分析】本题考查了解二元一次方程，

（I）根据％—y=l即可得；

（2）解方程组得二二］，根据x与），具有“邻好关系''可得|l+m—2m+4|=l,进行计算即可得；

（3）两式相加得（2+a）y=12,根据小厂都是正整数得｛；:：，媪：：，｛；；：,｛；：，把），的值分

别代入②可得工的值，根据“邻好关系”的定义可得当｛；二:时具有“邻好关系”，即可得〃的值：

理解题意，掌握解二元一次方程的方法是解题的关键.

【详解】（1）x与），具有“邻好关系，理由如下：

解：*.*x-y=1,

卜一y|=1

・・・x与y具有“邻好关系：

⑵解:伊7:6幺,

（4x+y=6m（2）

①+②，得6%=6+6m,

x=1+m,

将x=1+m代入①，得2+2m-y=6,

解得：y=2m-4,

・・・方程组的解为

•・•方程组%/的解x与y具有“邻好关系、、，

i*yv।y11L

/.11+?n—2m+4|=1,

即|5-m|=1»

5-m=1或5—m=-1,

解得：m=4,m=6；

⑶解.卜+@=7①

帆12y一…②

①+②，得(2+a)y=12,

Ta,y都是正整数，

,，(y=4,ly=3,[y=2f[y=l

•.•当y=4时，代入②得，x=3；

当y=3时，代入②得，x=1；

当；y=2时，代入②得，x=-1；

当),=1.时，代入②得，x=-3；

•・Z与x,y都是正整数，

.•・｛；］；时具有“邻好关系”，

即当Q=1时，x,y具有“邻好关系

2U.(X分)(2。24七年级•重庆铜梁・期中)阅读下列材料：

小明同学在学习二元一次方程组时遇到了这样一个问题：

'2x+3y+2x-3y_1

解方程组烹工一.小明发现，如果用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，容易出错.如

、32-

果把方程组中的(2x+3y)看成一个整体，把(2%-3y)看成一个整体，通过换元，可以解决问题.以下是他

的解题过程：

mn7

-+-

37n

4解60

令n=2%+3y,n=2x-3y.原方程组化为mn8

-+-n-

32

把口==-劈代入"2"+3Hn=2x-3y,得卜二24，解得:3

•••原方程组的解为J二工.

⑴学以致用：

运用上述方法解方程组：^+1)-2^-2)=4

⑵拓展提升：

已知关于心了的方程组匿徵;二鲁的解为忧:，请直接写出关于小、〃的方程组

产黑:”一案速=6的解是一.

ka2(m4-2)-3b2n=c2

【答案】(喏：;

rm=1

(2)4

ln=-J

【分析】本题主要考查了换元法解二元一次方程组：

⑴结合题意，利用整体代入法求解,令m=x+1,n=y-2得b)霓二】,解得优二

即可求解：

⑵结合题意,利用整体代入法求解,令％=m+2,y=-3n,叫熏修二驾靠可化为

{k甯/且解为仁：则有巴:二《3,求解即或

【详解】(1)解：令m=x+l,n=y-2,

原方程组化为产小+弗二丁,

解得{二=_:,

."+1=2

•，C/-2=-l，

解循忧;,

,原方程组的解为

⑵解：在叫「翁”Q中，令"m+2,y=—3m

(a式m+2)-3b2rl=c2

皿1%(m+2)-3b2n=q亩力为伊6+b2y=q

则.2(m+2)—3b2九=。2可化为+b2y=c/

•・•方程组产：»=Q解为『：，

ka2x+b2y=c2(y=4

・pn+2=3

*—3n=4

m=1

n=—4,

3

(m=1

故答案为：［n=_r

21.(8分)(2024七年级•四川广安•期末)已知关于，y的方程组北：：t=o

(1)若方程组的解满足％+y=0，求m的值；

(2)无论实数m取何值，方程％-2?+巾％+4机=0总有一个固定的解，请求出这个解？

(3)若方程组的解中不为整数，且m是自然数，求m的值.

【答案】(l)m=-9

<:=1

(3)0或5或12

【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解和二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是

本题的关键.

(1)将％+y=0与原方程组中的第一个方程组成新的方程组，可得“、y的值，再代入第二个方程中可得“的

值；

(2)当含m项为零时，取x+4=0,代入可得固定的解.

(3)根据方程组可以求得％,TH的关系式，根据x为整数，可以求解m的值;

【详解】⑴由题意得:解得m，

把:代入x-2y4-mx+4m=0,解得m=-9；

(2)x—2y+mx+4m=0,

x-2y+m(x+4)=0

，当x+4=0,%=—4时，y=-2,

即固定的解为：[二二:，

(3)[%+2丫­6二0①

'(x-2y+mx+5=0®，

①+②得：2%-6+mx+4m=0,

(2+zn)x=6—4m,

6-4m-4(m+2)+14.,14

X=---=—4H,

m+2m+2--------m+2

••・X为整数,

An+2=±1,±2,±7,±14

且血为自然数,

：.m+2=2或7或14.

m=0或5或12.

22.(8分)(2024七年级.浙江杭州.期中)某电器超市销售每台进价为200元，170元的A、8两种型号的

电风扇.如表所示是近2周的销售情况：(进价、售价均保持不变，利润=销售收入一进货成本)

销售数量

销售时段销售收入

A种型号8种型号

第一周351750元

第二周4103000元

(I)求4、B两种型号电风扇的销售单价；

(2)超市销售完A、B两种型号的电风扇共25台，能否实现利润为1200元的目标？请说明理由.

⑶一家公司打算花费4000元同时购买人“两种型号的电风扇若干台，请你为该公司设计不同的购买方案.

【答案】(1)4种型号电风扇的销售单价为25。元，8种型号电风扇的销售单价为200元

(2)不能，理由见解析

⑶见解析

【分析】(1)设4种型号电风扇的销售单价为X元，B种型号电风扇的销售单价为y元，根据近2周的销售情

况表格中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之RJ可得出结论；

(2)不能实现利润为1200元的目标，设销售m台4种型号电风扇，n台B种型号电风扇，利用息利润=每台

的销售利润x销售数量，结合销售完人B两种型号的电风扇共25台且共获得1200元利润，即可得出关于m,

九的二元一次方程组，解之即可得出m,九的值，结合m,九需为正整数，即可得出不能实现利润为12(H)元

的目标;

(3)设购买a台力种型号电风扇，b台8种型号电风扇，利用总价=单价x数量，即可得出关于a,b的二元一

次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各购买方案.

【详解】(1)解：设4种型号电风扇的销售单价为x元，3种型号电风扇的销售单价为y元,

依题意得:管;］沈品，

解得：：2O2•

答：力种型号电风扇的销售单价为250元，8种型号电风扇的销售单价为200元.

(2)不能实现利润为1200元的目标，理由如下：

设销售小台,种型号电风扇，〃台E种型号电风扇，

依股意得・(m+n=25

1KM尽何•|(250-200)zn+(200-170)n=1200'

E