2025年高考数学试题汇编（试题+模拟题）不等式（含答案）

专题6不等式

2025年高考-规律总结

考点2025年考情命题趋势

考点01由己知条件判断所2022•新高考全国II卷1.对于不等式的性质，

给不等式是否正确主要以应用的形式考查.

考点02由基本不等式比较2022•全国甲卷2.关于基本不等式的考

大小查，有两方面，一是具

考点03基本不等式求积的2021•新高考全国I卷有一定综合性的独立考

最大值查：二是作为工具，在

考点04基木不等式求和的2023•新课标I卷2022•新高考全求最值、范闱问题中出

最小值国I卷2022•全国甲卷2021•全现.

国乙卷

考点05解不含参数的一元2023•新课标I卷2021•新高考全

二次不等式国II卷

考点06分式不等式2025•全国二卷

考点01由已知条件判断所给不等式是否正确

1.［2025届•黑龙江・模拟考试］若<7>Z>>0,CGR，则（）

11

—>一

A.ac>beB.abC.a-c<b-cD.a+c>b+c

考点02由基本不等式比较大小

1.［2025届•河南•三模联考］（多选）已知正数x,y,z满足3、=4"=6］，则下列说法中正确的是（）

111

—+--=—

A.x2yzB3x>4y>6z

,x+y>——+>f2z

CM>2Z2D12）

考点03基本不等式求积的最大值

1.［2025届•海南海口•三模校考］已知M,N是抛物线歹=4/上不同的两点，〃为抛物线的焦点，

1/14

且满足=弦MN的中点P到直线/:）・二—'的距离记为d,若|MNF=/ld2,则

2的最小值为（）

A.V2B.2C.3D.2+&

2.已知/为抛物线>=/的切线，且/交圆/：/+”-1）2=4于48两点，贝M阴的最大值

是（）

A.20B.V13C,V15D.4

3.[2025届•四川巴中•二模]（多选）已知圆F（X+2）2+_/=4,圆工：（X-2）2+/=16,动

圆P与圆月外切于点M,与圆月内切于点M圆心P的轨迹记为曲线C,则（）

3=1

A.C的方程为95

B./MPN的最小值为120。

MP~PF+NP7^E,<-

C.X-2

V+JV=1

D.曲线C在点尸（与，为）处的切线方程为95

4.[2025届,辽宁丹东•一模]（多选）设正实数x,y满足x+y=2,贝ij（）

A.号有最大值为1

B./+y2有最小值为4

4v2

C.一+一有最小值为5

xy

D.jm+Jy+4有最大值为3加

5.[2025届•河南信阳・二模联考]在△ABC中，内角A,B.C的对边分别为a,b,c,

亚（a2+b2-c2）=MsinC,且C=1，则LABC面积的最大值为.

考点04基本不等式求和的最小值

J.J_2

1.[2025届•山西•三模联考]已知正实数a,Z）满足。+力=1,则石嬴Z的最小值为（）

A.2+20B.4+2近C.4D.7

2/14

12m

-+---

2.[2025届•辽宁盘锦•三模联考]已知正数加、〃满足4〃7+6H=1,则〃？n的最小值为（）

A.2+4GB.4+4百C.7+4石D.7+2向

3.[2025届•海南海口•模拟考试校考]已知函数/（x）=eJer+2sinx,若加>0,〃>0,且

/（2加）+/（〃—2）=/（0）,则'+,的最小值是.

4.[2025届•江西•二模联考]（多选）若关于x的不等式在工三（°」）上恒成立，则该不等式称为单

位区间不等式.下列不等式是单位区间不等式的有（）

!Q

、x4—>21xH—>2^2

A.2X--X<0B.xC.x~-2x<0D.x

5.[2025届•辽宁丹东•一模]（多选）设正实数x,y满足x+y=2,贝火）

A.号有最大值为1

B.X?+/有最小值为4

C.42v+*2有最小值为5

D.y/x+3+y]y+4有最大值为3

考点05解不含参数的一元二次不等式

1.[2025届•山西•三模联考]已知集合4=3（x-l）（x+3）<0},8=3尸siM+1},则

4n8二（）

A.（0,2）B,（0,3）C（T1]Di。』）

2.[2025届•河北邢台•二模联考]使不等式V+3W4x成立的一个充分不必要条件为（）

A.l^x<3B,0<X<3c.x>3D,1<X<3

3.[2025届•河南・三模联考]已知集合”={打噫》<2},N={x|（l）（x-5）<0},则

MUN二（）

A.S，5）B.（0,5）C,（4,5）DO

4.[2025届・全国•三模联考]已知集合"={123,4,5},B={X|X2-4X-5<0}则力通=（）

A.{2,3,4,5}口{1,2,3}c.{12,3,4}D{2,3,4）

3/14

考点06分式不等式

1.[2025年全国二卷高考真题试卷]不等式I22的解集是（）

x-1

A.{x|-2<x<1}B.{x|J<-2}C.{x|-2<x<1}D.{x|x>1）

元-2>0

2.[2025届・浙江三模]“x+1一”是“121一1之3,,的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.[2025届•湖北黄冈•二模校考]已知集合"={XWZ|-2"X"4},'则4n8=（）

A{x|-l<x<4}B{-1,0,1,2,3,4}c{0,1,2,3,4}D{-2,-1,0,1,2,3,4}

4.已知集合一J,6={xk=2sin0"£R},则4（力方）=（）

儿（-2,2）B.（2,4）C（2,4]D.M）

4/14

答案与解析

考点01由已知条件判断所给不等式是否正确

1.答案：D

解析：因为。>力>0,cWR，则当c<0时,农《be,A说法错误；

11

一〈一

因为。>b>0,所以。b,B说法错误；

因为。>b>0,c£R,所以。土c〉〃土c,c说法错误,D说法正确；

故选:D

考点02由基本不等式比较大小

1.答案：ACD

解析：正数x,），，2满足3、=4」=6）设3、=4'=6'=《>1）,

则x=bg3，，N=bgJ,z=log6，

—+——=log,3+—log,4=log,6=—

对于A,x2y2z,故A正确；

对于B,34=3唯3乙4y=4logJ,6z=61og6Z

3x31og.Z3

—=——=—log,4<1

...4y4log/4，二3xv4儿

4y41og4Z2

—=---------=-log46<1

・..6z610g6，3,...4”6z,...3x<4y<6z,故B错误;

l=l+±>2p

对于C,由z%2y\2xy（xw2y）,两边平方，可得Ay>2z,故c正确;

2yfxy>2y/2z2

对于D,由9>2z?可得x+V>

(XWJD,故D正确.

故选：ACD

考点03基本不等式求积的最大值

1.答案：C

5/14

解析：抛物线y=4d,即则焦点为/（0,嵩），

准线为歹=一\,设|M/|二G,|N日=/）,由NMRV=等，

可得=\MF^+|^F|2-2\MF\\NF\cos^MFN=a2-b2^-ab,

由抛物线定义可得〃到准线的距离为四日，N到准线的距离为|N/|,

由梯形的中位线定理可得d=g（|Mb|+W尸|）=*4+8），

由|MAf=4d2,可得42+/+劭=（（4+4，

（。十一

即4=1——电―21—」=」一

4（。+〃）~（。+〃）~44

得％23,当且仅当。=6取最小值3.

故选：C

2.答案：B

解析：设切点为G。'*）,所以V=2x=Hx/=2%,

所以直线/的方程为》一片二2/0-%），即2/x-y-x：=o,

圆心（°」）到直线i的距离为74ro+i

\AB\=2^r2-d2

所以

令f=4片+1,所以u4,

6/14

r2+6-/-+-9-t=-9+-

所以4片+116f1616/

—=-^―=>V=9=f=3

当且仅当1616/_______时等号成立,

\AB\=2L-^^-

所以V4即+1

故选：B.

3.答案：CD

解析：

圆片的圆心£（一2，。）,半径4=2；圆月的圆心6（2,0）,半径々=4

设动圆P的半径为凡0＜睦4,则1叫=氏+2"叫=4-R,

所以I尸周+1尸闾=（R+2）+（4-R）=6＞归周=4.

根据椭圆的定义，可知点P的轨迹是以月（一2，°）,工（2，°）为焦点,

长轴长2。=6,焦距2。=4的椭圆（去掉p,M,N重合的点），

222

则〃=3,c=2,b=a—c19-4=5,

E+E=i

所以曲线。的方程为95,xw—3,A选项错误：

在M和中，寓闾=4,|P£|+|P玛|=6,

因为M是动圆P与圆片的切点，N是动圆P与圆工的切点,

所以M、P、6三点共线，N、尸、死三点共线，

7/14

所以/MPN与/£。鸟互补，4MPN=R-ZF\PF?

根据余弦定理cos/MPN=-cosZF'PF?

=①f+附「-忻玛『720

2附疗用2附|陷|

।।[p川+伊川丫

由基本不等式I2J（当且仅当附上归用=3时取等号）,

cosZMPN<1--------=--、

则2x99,NMPN的最小值不是120、B选项错误；

因为标与尸E反向，标与"同向，

所以阿=&阿卜&+2,网=勺匡卜…

所以而•西=—|而||所卜一R（H+2）标.次=R（4—R）

所以柿•而+而至二—R（R+2）+R（4-R）

（1y11

=-2R2+2R=-2R——+-<-

<2J22,C选项正确；

-x।券「二i

95

'r+£=1（5十驾）/一坐»琴

由I95，消去乃整理得：9yo坊先

A=（-坐>-4（5+咨）（学-45）=225产；;45十外

则凡9坊X%,

江+区=1,

因尸（工0，为）在椭圆上，95,即5工：-45=-9/，

A=225产：45+9)=0

代入上式得先

V+JV=1

故95是过椭圆上一点尸（/，％）处的切线方程，即D项正确.

故选：CD

4.答案：ACD

8/14

解析：对于A,由基本不等式，中w('+>=1,

4

当且仅当x=y=l时取等号，故A正确；

对于B,(x+y丫=J+歹2+2xy=4=>x2+y2=4-2xy，

由A,2xy<2=>-2xy>-2,

则f+y?=4一2a之2,即最小值为2,

当且仅当x=y=l时取等号，故B错误；

十一4y24yx+v4yx，、-l4yx,「

对于C,---1—=---1-----=---F-F1>2I-----+1=5,

xyxyxyyxy

当且仅当生二土，

xy

4?

则x=2y,即x=§，y=§时取等号，故C正确；

对于D,«x+3+Jy+4)=x+y+7+2j(x+3)(y+4)=9+2j(x+3)(y+4),

乂(x+3)(…岸空把中，

则当且仅当(x+3)=(y+4),即x=3,>=2"时取等号，

22

则(ym+护彳的8,

即V7+3+77+4有最大值为372.

故选：ACD

也

5.答案：4

解析：因为近9+入党=血呼

所以由余弦定理2R?cosC=/+b2-c2lyflabcosC=absinC,

所以sinC=20cosc，又sin?C+cos?C=1,。£(°，兀)，

9/14

sinCcosC=-

则3,3,

.2jc7「,7，2ab、_.2ab4ab

l=a~+b~-2abcosC=a~+b~------->lab-------=

所以由余弦定理以及基本不等式得:333,

ab<—a=b=

即4,当且仅当2时等号成立,

Q_1,.&&

S八JDC=_absinC=—cib«——

所以234，即△/BC面积的最大值为4,

在

故答案为.4

考点04基本不等式求和的最小值

1.答案：D

11bQ+1+Z?4（4+/?）+（4+8）2+力2

—+--+-=---------=-----------------------

解析:babaabab

2从+3附+2〃2Ab、

------------------=2-+-+3

ab----yab）

>4^x-+3=4+3=7

a_b4__I

当且仅当即“一一5取等号.

故选:D.

2.答案：B

解析：因为正数〃1、〃满足4加+6〃=1,

12m4〃？+6〃2m,6〃2〃？、“八/6〃2ni,“rr

—+——=---------+——=4+——+——>4+2/---------=4+4）3

所以mnmnmnVinn

6〃_2m

^=~

<4〃？+6/7=1

w>0,w>0〃二立」

当且仅当.〃一行一5时等号成立,

12m

故〃？n的最小值为4+4y3.

10/14

故选：c.

3.答案：4

解析：因为/(x)=e'-e-r+2sinx,

所以f(-x)=er-eV+2sin(-x)=~(er-er+2sinx)=-f(x),

f'(x)=er+e-'+2cosx>2而'ex+2cosx>0,

所以函数/(x)为奇函数且为增函数，/(O)=O.

由f(2/w)+-2)=0可得2加+〃-2=0,

即为g(2m+〃)=1.

121x、12=lx4.4/7?n

因为〃所以一+—=—(2〃?+〃>

7>4.

m〃2'n,)2InmJ

当且仅当〃7=1,〃=1时取等号.

2

故4

4.答案：BCD

0,1

解析：2/一工＜0的解集为I2九A错误;

xH—22（当且仅当K=1时,等号成立）,因为14°」）,

当x>0时，x

Y+』〉2

所以'7＞在（°』）上恒成立，B正确；

--2工＜0的解集为（°，2）,在xc（°，l）上恒成立，c正确；

2

当x＞0时，"+嚏之（当且仅当X=J5时，等号成立），因为

所以'+1＞2&在%£（0,1）上恒成立，口正确.

故选：BCD.

5.答案：ACD

解析：对于A,由基本不等式，中《（戈+，’）=1,

4

当且仅当x=y=l时取等号，故A正确;

11/14

对于B,(x+y)2=x2+y2+2xy=^=>x2+y2=^-2xy,

由A,2xy<2=>-2xy>-2,

则/+»2=4-2孙之2,即最小值为2,

当且仅当x=y=l时取等号，故B错误；

“土"4y24yx+y4yx.,l4yx..

对于C,-+-=—+——-=—+-+1>2/—•一+1=5,

xyxyxy\xy

当且仅当”二土，

xy

42

则x=2y,即x=§，y=§时取等号，故C正确；

对于D,.x+3+Jy+4)=x+y+7+2j(x+3)(y+4)=9+2j(x+3)(y+4),

又(")(…)‘把户号

3i

则当且仅当(x+3)=(y+4),即x=j,y时取等号，

即J7T5+77+4有最大值为3JI.

故选:ACD

考点05解不含参数的一元二次不等式

1.答案：D

解析：由(l)G+3)<°,可得-3<x<l,"=(一3,1),

由一iVsimrVl,所以V=