二次函数与一次函数-浙教版数学九（上）知识点训练（含答案）

二次函数与一次函数一浙教版数学九（上）知识点训练

一、基础夯实

2

1.二次函数y=ax+bx+c（a丰0）和正比例函数y=枭的图象如图所示，则方程Q/+（d-|）x+c=

等于0C.小于0D.不能确定

2.设m是实数，若抛物线y=。-2m）2+4m-3与直线y=2x+m有两个交点,且这两个交点在抛物线对

称轴的同侧，则m的取值范围是（）

4

A.m<—3B.m>—4C.-4<m<—3D.-3<m<7

3.如图，函数y=Q/+匕与、=Q%+b,（abV0）的图象可能是（）

4.二次函数为=-x2+8工+。与一次函数丫2=上》-9的图象交于点A（2,5）和点8（3,m）,要使<

丫2，则x的取值范围是（）

A.2<x<3B.xV3C.xV2或Q3D.x>2

5.抛物线）=0^-a（a，0）与直线y=依交于A（xi,yi）,B（X2>_V2）两点，若xi+x2<0,则直线

一定经过（）

A.第一、二象限B.第二、三象限

C.第三、四象限D.第一、四象限

6.已知抛物线y=aQ—小）（％—九）a,m,几是实数，a40）与直线y—kx十b交于（1,%）,（6,及），则下

面判断正确的是（）

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A.若m+n>7,a>0,贝ijk>0B.若TH+TI>7,a<0,则kV0

C.若7n+n<7,a>0,则/c<0D.若+<7,a<O»则k<0

7.如图，抛物线y=--+2%与直线尸3+1交于A、B两点,与直线％=-2交于点P,将抛物线沿着射线

48平移3遥个单位.

（1）平移后的抛物线顶点坐标为;

（2）在整个平移过程中，点P经过的路程为.

8.在立面直角坐标系中，函数%=Q/+力工+c,y2=ax+b,y3=ax+c,其中a,b,c为常数，且QV

0.函数y1的图象经过点A（l,0）,8（/,0）,且满足一4</<3函数为的图象经过点（不，0）；函数内的图

象经过点（久3，0）.若mV%2VM+1,九<%3〈九+L且m,n是整数，则m=,n=.

9.二次函数旷=/与一次函数y=2x+l,C是一次函数图象上一点，。是抛物线的顶点，若CO_Lx轴，则

线段。。的长为.

10.在平面直角坐标系内，二次函数y=（x-Q）2+Q-l（a为常数）.

（1）若函数为的图象经过点（1,0）,求函数为的表达式.

（2）若y1的图象与一次函数为二%+1的图象有两个交点，横坐标分别为一1，2,请直接写出当当>当

时x的取值范围.

（3）已知（均,九）在函数的图象上，当为>2Q>0时，求证：n>-1.

11.已知函数为=好一（m+2k+2m+3（租为常数），y2=nx+k-2n（n,k为常数且?i。0）,函数月的

图象经过点4（一1,3）.

（1）求函数为的表达式.

（2）若函数丫2的图象始终经过定点M（2,3）,

①用含有九的式子表示力：

②若一1WXW2时，总有力之为，求几的取值范围.

二、能力提升

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12.如图，二次函数尸-f+x+2及一次函数产计〃?，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下

方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线产卢机与新图象有4个交点时，〃7的取值范围足

B.C.-2<m<\D.-3<m<-2

13.如图，抛物线y=-2x?+8x-6与x轴交于点A、B,把抛物线在x轴及其上方的部分记作Ci,将Ci向右

平移得C2,C?与x轴交于点B,D,若直线y=x+m与Ci、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是

7

A.—2<m<B.—3VmV-彳

C.-3</<—2D.-3<m<-^

14.在平面直角坐标系xOy中，已知点M,N的坐标分别为(一1,2),(2,1),若抛物线/=a/-％+

2(a=0)与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是()

1111

A.QW—1,取4WQV3B.<a<

C.a<7D.a<-1>7

15.二次函数y=x2-4x+3的图象与x轴交于A,B两点(点4在点B的左侧)，与y轴交于点

C，作直线I：y=t(t>-1),将直线I下方的二次函数图象沿直线I向上翻折，与其它剩余部分组成一

个组合图象W,若线段BC与组合图象W有两个交点，则t的取值范围为.

16.某数学兴趣小组对函数)，=*+加的图象和性质进行了探究，探究过程如下所示，其中自变量x取全体实

数，x与y的几组对应值如表所示.

X-4-3-2-10123

y8m0n03815

(1)根据如表数据填空：6=,〃=

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（2）在如图所示的平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲线将函数图象补充完整;

（3）观察该函数的图象，解决下列问题.

①该函数图象与直线的交点有个；

⑦当工取何值时，），随X的增大而减小，请写出x的取值范围：

③在同一平面内，若直线）=户匕与函数），=*+2丫|的图象有0个交点，且介3,求〃的取值范围.

17.如图，在平面直角坐标系中，宜线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过

A、B两点，并与x轴交于另一点C（点C点A的右侧），点P是抛物线上一动点.

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）若点P在第二象限内，过点P作PDJ_x轴于D,交AB于点E.当点P运动到什么位置时，线段PE

最长？此时PE等于多少？判断此时△ABP的形状，并证明你的结论.

（3）在（2）的前提下，有一动点Q在抛物线上运动（线段AB的下方），当Q点运动到什么位置时，

△ABQ的面积等于△ABP的面积.

三、拓展创新

18.在同一平面直角坐标系中，若函数与力的图象只有一个公共点，则称是力的相切函数，公共点称为

2

切点.已知函数=mx+nx,y2=mx+n（jnn00）,且y2是丫1的相切函数，P为切点.

（1）试写出切点P的坐标（,）,及m与九的关系式.

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（2）当m,n分别取以下两组值时，①m=2,n=-2；②m=-3,n=3,不等式y1《为是否成立？说明理由・

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答案解析部分

1.【答案】A

【解析】【解答】解:设ax?+bx+c=O(a#))的两根为xi,X2,

观察抛物线可知:xi+x2>0,a>0,

・•.一、>0.

设方程a/+(b_|)x+c=0(aM)的两根为a,b,

2

由根与系数的关系得：Q+b=_±3=_2+Z,

aa3a

Va>0,

a+b>0.

故答案为：A.

【分析】设ax2+bx+c=0(a#0)的两根为xi,X2,由二次函数的图象可知xi+X2>0,a>0,设方程。/+(6-

|)x+c=0(a知)的两根为a,b,根据根与系数的关系即可得出结论.

2.【答案】C

【解析】【解答】解：•.•抛物线丫=(x-2m)2+4m-3(m是实数)与直线y=2x+m有两个交点，且这两个交点

在抛物线对称轴的同•侧，

・••当x=2m时，把x=2m代入解析式中得：(2m-2m)2+4m-3>4m+m,

m<-3»

若y=(x-2rn)2+4m-3(in是实数)与直线y=2x+m有两个交点，

则(x-2m)2+4m-3=2x+m

x2-4mx+4m2+4m-3=2x+m,

x2-(4m+2)x+4m2+3m-3=0,

△=(4m+2)2-4(4m2+3m-3)>0,

即m>-4,

所以m的取值范围是-4<mV-3,

故答案为：-4<m<-3.

【分析】根据二次函数y=(x-2m)2+4m-3(m是实数)与直线y=2x+m有两个交点，且这两个交点在抛物线

对称轴的同侧，则2+4m-3>4m+m,结合根的判别式即可求出m的取值范围即可.

3.【答案】B

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【解析】【解答】解：A、由图中y=ax+b的图象可得a<0,b>0,y=ax?+b图象可得a>0,b>0,故选项A不符

合题意；

B、由图中y=ax+b的图象可得a>0,b<0,y=ax2+b图象可得a>0,b<0,故选项B符合题意；

C、由图中y=ax+b的图象可得a<0,b>0,y=ax?+b图象可得aVO,b<0,故选项C不符合题意；

D、由图中y=ax+b的图象可得a>0,b<0,y=ax?+b图象可得aVO,b<0,故选项D不符合题意.

故答案为：B.

【分析】y=ax+b（a#））,当a>0,b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0,b<0时，图象过一、三、四象

限；当a>0,b=0时，图象过一、三象限；当a<0,b>0时，图象过一、一、四象限；当a<0,b<0时，图象

过二、三、四象限，当aVO,b=0时，图象过二、四象限；二次函数丫=@*2+6*+（^、b、c是常数，且存0）

中，a决定抛物线的开口方向，开口向上时a>0,开口向下时，a<0；a、b共同决定抛物线的对称轴直线所

在位置，当对称轴直线在y轴右侧时，a、b异号，当对称轴直线在y轴时，b=0,当对称轴直线在y轴左侧

时，a、b同号；c决定抛物线与y轴交点的位置，当c>0时，抛物线交y轴的正半轴，当c=0时，抛物线交

坐标原点，当c<0时，抛物线交y轴的负半轴；据此分别从每一个选项中给出的图象读出每一个函数中a、

b的正负，两个函数图象读出的信息一样即适合题意.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：•.•二次函数的解析式为为=-x2+以+。，

・•・二次函数的图象开口向下，

•・•二次函数和一次函数的图象交点为交于点4（2,5）和点8（3,机），

当x<2或x>3时，yx<y2.

故答案为：C.

【分析】根据二次函数的图象特征，取一次函数在二次函数上方时自变量的取值范围即可.

5.【答案】D

【解析】【解答】解：•・•抛物线尸加（"0）与直线尸质交于A（xi,yi）,B（X2,），2）两点，

・••将抛物线与直线的解析式联立得到：ax?-kx-a=0,

，巧+xz=-1=^<0,

①当Q<0,k>0,

此时，直线经过第一、二、四象限，

②当Q>0,kV0,

此时，直线经过第一、三、四象限，

・•・综上所述，直线），=/“+上一定经过第一、四象限，

故答案为：D.

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【分析】将抛物线与直线的解析式联立得到：Q——kx—Q=o,再根据一兀二次方程根与系数的关系得

到：X1+x2=-J=J<0,进而分情况讨论，①当QVO,k>0,②当Q>0,kvo,据此即可求解.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：,・•抛物线y=a(%-与直线y=+b交于(1,y])，(6,y2),

.[Q(1-ni)(l—n)=k+b①

,•1Q(6-m)(6-n)=6k+b@

②-①，得5/c=a(35—5m—5九)，即k=a(7-m-n).

・,•若a>0,血+几<7或avO,m+n>7时，k>0；当av0,m+"<7或a>0,m+n>7时，k<

0.

故A正确，B、C、D错误.

故答案为：A.

【分析】将两点坐标分别代入抛物线直线方程可得卜。一一2二卜十力女，然后②-①可得上=

a(7-m-n),再根据有理数的乘法判断符号即可.

7.【答案】(1)(7,4)

(2)69

【解析】【解答】解：由题意，抛物线沿着射线AB平移3遍个单位时，即向右平移6个单位，向上平移3个

单位，

(1)•.•抛物线>=一/+2%的顶点坐标为(1,1),

・•・平移后抛物线的顶点坐标为(7,4),

故答案为(7,4).

(2)把x=-2代入y=-%2+2x,得y=8,

・•・平移前点P坐标(-2,-8),

平移后抛物线的解析式为y=_(x-7>+4,此时P(2-77),

-8-(-77)=69

故答案为：69.

【分析】(1)由题意，抛物线向右平移6个单位，向上平移3个单位，即可得平移后抛物线的顶点坐标为

(7,4)；

(2)由题意，平移前点P坐标(-2,-8),平移后抛物线的解析式为y=_(>-7」十4,求得P(-2,-77),

计算求解即可.

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8.【答案】-3；3

【解析】【解答】解：由题意得a+b+c=O,x2=-^x3=一|<_/=等l<_i，-3<x2=

--<-2,

a

•,•3<x3=史^=1+-<4,

$aa

m=—3,n=3：

故答案是：一3,3；

【分析】先根据一次函数与一次函数的交点结合一元一次方程根与系数的美系得到Q+匕+c=0,功=

—M之3=—5，_/V-?=V-1'—3<x=--<—2>从而得到3<七==1+&V4，再结

a。22a2I；"1"2aaa

合题意即可得到m和n.

9.【答案】1

【解析】【解答】解：如图：

•・•点。是抛物线的顶点，

・••点D为原点，

••・o(o,0),

•・・CO_x轴，。是一次函数图象上一点,

・・・点C为一次函数与y轴的交点，

A6(0,1),

・"D=1,

故答案为：1.

【分析】根据题意得到点D为原点，点C为一次函数与y轴的交点，然后求出点C的坐标，进而即可求解.

10.【答案】(1)解：把点(L0)代入函数丫=(%一。)2+。一1中

得：(l-a)2+a-l=0,

解得：a=(V或I,

；・函数为的表达式为丫1=%2-1或%=%2-2%4-1；

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(2)解：根据题意作出草图如下,

由函数图象可知，当丫1>、2时X的取值范围是：％<-1或%>2;

(3)解：Vx0>2a,

・•・竽,Q，

•・•抛物线力的对称轴为直线％=Q,抛物线开口方向向上，

••x=0和％=2a时的函数值相同，

・••由图象可知当％=0时的函数值小于当％=%时的函数值，

即：九>M+Q—1,

•,2_1_1(II/5

•QZ+Q-1=(Q+2)一甲

+a-1>

•,«n>—7.

4

【解析】【分析】(1)把点(1,0)代入二次函数丫=(X-。)2+。一1中，求出a的值，即可得到函数的解析式；

(2)利用函数图象，求出二次函数图象在一次函数图象上方所对应的x范围即可；

(3)由抛物线以的对称轴为直线x=a,抛物线开口方向向上，可得％=0和％=2a时的函数值相同，利用图

象可得当x=0时的函数值小于当％=不时的函数值，列出不等式即可得出结论.

(1)1•函数y=(x—Q)2+Q—1的图象经过点(1,0),

(1—a)2+a-1=0»

解得：Q=0或1,

，函数的表达式为%=9-1或％=X2-2X+1；

(2)根据题意作出草图如3

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由函数图象可知，当>>2时X的取值范围是：％<-1或%>2；

(3)Vxo>2a,

・O+xo

-----2>Q，

•・,抛物线当的对称轴为直线X=Q，抛物线开口方向向上，

・•・％=0和x=2a时的函数值相同，

・•・由图象可知当％=0时的函数值小于当％=勺时的函数值，

即：n>a24-a-1,

•■12q

,**a2+a—1=(a+2)-4，

•2।5

・・a"+Q—1>—^，

.、5

>一了.

•»n4

11.【答案】(1)解：将4(一1,3)代入解析式为=x2-(m+2)x+2m+3,

得：1+(m+2)+2m+3=3

771=-1,

・・・%=X2-x+1;

(2)解：①将M(2,3)代入丫2=收+左一2几，

得：2n+k—2几=3

:・k=3,

：.y2=nx+3-2n；

2

@y1-y2=%-(n+l)x+2n-2=(x-2)[x-(n-1)],

V-l<%<2,

Ax-2<0

丁为一丫2=(*-2)区一3-DIN0

••x-(n-1)<0

••x<n-1,即"Nx+1；

V-l<x<2

An>3.

【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求出m的值，进而得到函数表达式；

(2)①将M(2,3)代入丫2=心+%一2九，求出k的值，进而即可求解；

2

②用”-y2得%-y2=x-(n+l)x+2n-2=(%-2)[x-(n-1)],根据题意得到x-2<0,进而求出

n>x+l,即可求解.

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12.【答案】D

【解析】【解答】解：在、=一产+%+2中，令y=0得：一%2+》+2=0,解得：M==2,右=一1，则二

次函数y=-/+%+2与x轴的两个交点坐标为力(一1,0),8(2,0),同理令％=0,可得y=2,则二次函

数%+2与y轴的交点为(2,0),故翻折后的函数与y轴的交点为C(-2,0),如下图，当直线y=

x+m,经过点B时，直线y=%+m,与翻折后的图像有三个交点，把8(2,0),代入直线的解析式可得：

0=24-m,解得：巾=一2.由题意可得：二次函数y=-/+%+2翻折到x下方的部分的解析式为：-y=

-x2+%4-2,即翻折后的部分解析式为：y=x2—x-2,(-1<%<2),当直线y=x+m,与y=/一

x-2,(-1VXV2),只有一个交点C时，直线y=x+m,与x轴下方的整个函数图象3个交点，联立直

线y=x+m,和'=%2一%一2,(-1<%<2),消去y并化简得：x2-2x-2-m=0,此时该一元二次

方程只有一个实数解，故A=〃—4ac=(—2)2—4x1x(—2-狙)=0,解得：m=-3,根据数形结合可

知当直线在以上两种情况之间移动时，当直线产/，〃与新图象有4个交点，则m的取值范围为：-3V

故答案为：D.

【分析】本题主要考查二次函数图象和性质，以及二次函数与一元二次方程的关系，特别是数形结合分析问

题的能力.

先根据题意求出原二次函数与x轴，y轴的交点，与x轴的两个交点坐标为.(一1,0),8(2,0),与y轴的

交点为(2,0)。从而得到翻折后与y轴的交点为n-2,0),并通过翻折关系求出翻折部分翻折后的解析

式：y=——x—2,(-l<x<2),结合函数的图象知道：过点B作直线y=》+M,,将直线向下平移到

C点处相切，则直线yr+机与新图象有4个交点，即可求解.

13.【答案】D

【解析】【解答】解：令y=-2x2+8x-6=0,

即x2-4x+3=O,

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解得x=l或3,

则点A(1,0),B(3,0),

由于将Ci向右平移2个长度单位得C2,

则C2解析式为y=-2(x-4)2+2(3<x<5),

当y=x4-mi与C2相切时,

令y=x+nn=y=-2(x-4)2+2,

即2x2-15x+3O+mi=O,

△=-8m1-15=0,

解得m1二一叁，

o

当y=x+nu过点B时，

即0=3+m2»

rri2=-3,

当一3<mV-强寸直线y=x+m与Ci、C2共有3个不同的交点,

O

故答案为：D.

考点：二次函数的图象.

【分析】先求出A、B的坐标，然后根据平移求出C2的解析式，分别求出直线y=x+m与抛物线C2的相切时

m的值以及直线y=x+m过点B时的m值，结合图象即可求解.

14.【答案】A

［解析］［解答］解：设yMN=kx+b(k/0)

.(—k+b=2

••l2k+b=1

解之:

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:抛物线y=ax2-x+2(aH0)与线段MN有两个不同的交点，

•.•ax£z-x+20=一1/5+可

3ax2-2x+l=0

b2-4ac>0B|J4-l2a>0

解之：Q<^；

当a>0时，x=2时y>I,

A4a-2-l-2>l

解之：a>1,符合题意;

・，/—•v4

当aVO时，x=-l时y£2且一三•N

解之：a>-l

Aa的取值范围时a>-l或/<a<1.

故答案为：A

【分析】利用待定系数法求出MN的函数解析式，利用抛物线与MN有两个不同的交点，将两函数解析式联

立方程组，可得到关于x的一元二次方程，由b2-4ac>0,可得到关于a的不等式，求出不等式的解集；分情

况讨论：当a>()时，可知x=2时作1,可得到关于a的不等式，求出不等式的解集，可得到a的取值范围；

当aVO时，x=-l时-yW2且-竦之一］可得到不等式的解集，综上所述可得到a的取值范围.

15.【答案】一ivtv-!或OV£<3

O

【解析】【解答】解：分类讨论(一)：原抛物线与线段BC就有两个交点B、C.

当抛物线在x轴下方部分，以x轴为对称轴向上翻折后，就会又多一个交点，所以要满足只有两个交点，直

线y=i需向上平移，点B不再是交点，交点只有点C和点B、C之间的一个点，所以1〉0；当以直线y=3为

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对称轴向上翻折时，线段BC与组合图象W就只有点C一个交点了，不符合题意，所以t<3,故0<£V

3；

(二)Vy=x2-4%+3=(x-2)2-1,

・•・抛物线沿I：y=t(t>-1)翻折后的部分是抛物线y=-&-2)2+k在直线y=t的上方部分，当直线

y=-x+3&

BC：y=x+3与抛物线y=-(x-2)2+/c只有一个交点时，即_.2,.的△=0，解得k二五，

(y=-(x-2)+k4

此时线段BC与组合图象W的交点，既有C、B,乂多一个，共三个，不符合题意，所以翻折部分需向下平

333

2)与

---y=X

移，即直线y-t向下平移,4时，抛物线V=2+4的顶点坐标为(2,4),

4x4-3的顶点(2,・1)的中点是(2,-i),所以t<・A,又因为t>-l,所以一1<£<一言.

综上所述：t的取值范围是：—1<t<—g或0Vt<3。

故答案为：一1<t<一!或。<t<3。

【分析】分类讨论(一)：原抛物线与线段BC就有两个交点B、C,当抛物线在x轴下方部分，以x轴为对

称轴向上翻折后，就会又多一个交点，所以要满足只有两个交点，直线y=t需向上平移，点B不再是交点，

交点只有点C和点B、C之间的一个点，所以t>0；当以直线y=3为对称轴向上翻折时，线段BC与组合图

象W就只有点C一个交点了，不符合题意；(二)将抛物线配成顶点式，由于抛物线沿I：y=t(t>-l)

翻折后的部分是抛物线y=-G-2)2+k在直线y=t的上方部分根据抛物线与坐标轴交点的坐标特点，求

出点A,B,C的坐标，利用待定系数法求出直线BC的解析式，联立直线BC的解析式与抛物线y=-

G—2)2+k解析式得出・x+3=-(x-2)斗匕由两国数只有一个交点，故具根的判别式的值等于。，从

而列出方程，求解算出k的值，再找出两抛物线顶点为端点的线段中点的坐标，从而即可取出t的取值范

闹，综上所述即可得出答案。

16.【答案】(1)3；1

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(3)解:①4；

②根据函数图象可得：若y随x的增大而减小，则xV-2或-1VxVO：

③把：-2,0)代入y=x+b得，-2+b=0,解得b=2,

令x+b=-xZ2x,整理得x2+3x+b=0,

当△=()时，直线y=x+b与函数y=*+2x|的图象有3个交点，

A=9-4b=0,解得b哼

故在同一平面内，若直线y=x+b与函数y=*+2x|的图象有a个交点，且心3,

则2<b<1.

【解析】【解答】解：(I)将川=—3,带入y=|x2+2x|可得：m=|(-3)24-2x(―3)|=3,

将x=—1,带入y=|x2+2x|可得：屋=|(—1)2+2x(―1)|=1,故填：3；1.

(2)①由图象知图象与直线y由4个交点，故填：4.

【分析】(1)将横坐标代入即可求解：

(2)根据坐标描点连线即可；

(3)在图中作出直线_v=1即可，得到函数图象与直线尸颉交点的个数，根据函数图象即可求出)，随x

的增大而减小时X的取值范围；当直线y=x+b,过点(-2,0)时，直线与函数图象必有三个交点，故把(-

2,0)代入y=x+得，-2+b=0,解得b=2,当直线y=%+b,与二次函数y=-/+2%只有一个交点时，

翻折后必杓二个以上的交点，故联立直线y=x+b,和二次函数y=-/+2%的方程消去y得到：x2+3x+b

=0,当A=OH、h直线y=x+b与函数y=*+2x|的图象有3个交点即可求解.

17•【答案】(1)解：直线y=x+4与％轴、y轴分别交于4、B两点，

•••4(-4,0),8(0,4)

抛物线y=-/+bx+c经过4、B两点，

.(—16—4b+c=0

"1c=4

解得f=73,

Ic=4

抛物线的解析式为：y=-X2-3X+4,

令y=0,则一——3X+4=0,

解得x=-4或x=1,

6(1,0)；

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（2）解：设。（如0）,

E(t,£+4),t2-3£+4),

PF=-t2-3t+4-t-4=-(t+2)2+4,当£=-2时，线段PE有最大值是4,此时P(-2,6),

△ABP的形状为直角三角形，

证明：-：AP2=(-2+4)2+(6-0)2=40,BA2=(-4-0)2+(0-4)2=32,

BP2=(-2-0)24-(6-4)2=8,

BA24-5P2=AP2,

・・•的形状为直角三角形；

代入（一2,6）,得6=-2+租，.

解得：m=8,

；・直线1：y=%+8,

;直线48：y=x+4,直线1：y=x+8,

・•・将直线1向下平移8个单位即可得到直线1关于线段A