2025-2026学年安徽蚌埠市第二学期5月份区域高中合作性教研质量评价高一数学试题 含答案

/蚌埠市2025-2026学年第二学期5月份区域高中合作性教研质量评价高一数学考试时间：120分钟试卷分值：150分一、选择题：（本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1.如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论.【详解】因为是的中点，所以，因为是的靠近的三等分点，所以，所以．2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角函数和差公式即可.【详解】；故选：B.3.在中，已知，，那么（）A.8 B. C.12 D.【答案】D【解析】【详解】由题意可得，，所以是等腰直角三角形，所以，所以.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先利用辅助角公式可得，再利用二倍角的余弦公式结合诱导公式即可得答案【详解】由，得，即，则，故．故选：A.5.已知向量，满足，，则，的夹角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算律及夹角的余弦公式即可求解．【详解】由两边平方得，，又得，所以，则．6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】确定角的范围，求出值，利用正弦和余弦的差角公式求出和，最后用半角公式即可求解.【详解】已知，因此，所以，所以，化简得①；而，化简得②；联立①②，相加得：相减得：，由，得，根据半角公式，代入得.7.已知函数，当时函数取得最大值，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式得，其中，由题意可得，进而可求得，利用两角差的正弦公式可求值.【详解】，其中，当时函数取得最大值，则，所以，所以，所以，所以，，所以.故选：C.8.已知函数，在曲线与直线的交点中，若相邻交点的距离为．若且关于的方程有三个不等的实根，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二倍角公式，降幂公式及辅助角公式化简，再结合已知得出，由方程有三个不等的实根，得出方程有两解，结合的图像即可求解．【详解】，因为在曲线与直线的交点中，相邻交点的距离为，所以，所以，，则或，画出函数在之间的图象，观察图象可得方程在内有且只有一个根，又方程有三个不等的实根，所以方程有两解，由在的图象可得，．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.有下列说法，其中错误的说法为（）．A.若∥，∥，则∥B.若，，则C.若非零向量,,，满足，则D.若∥，则存在唯一实数使得【答案】ACD【解析】【分析】根据向量的基本概念以及数量积运算法则对各选项逐一判断即可.【详解】对于A，若，则当∥，∥时不一定满足∥，故A错误.对于B，当，时，根据向量的传递性则有，故B正确.对于C，若，则，即，无法推出，故C错误.对于D，若，则当∥时不一定存在唯一实数使得，故D错误.故选:ACD10.黄金三角形是一种特殊的等腰三角形，其底与腰的长度之比为黄金比例（黄金分割比），这一比例在自然界、艺术及建筑设计中都有着广泛的应用，它象征着和谐与完美．已知在顶角为的黄金中，它的底角正好是顶角的两倍，且它的底与腰之比为黄金分割比，为边上的中点，则下列选项正确的有（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根据题意作三角形，然后由三角形内角和定理求得顶角和底角度数，设底边长得到腰长.由等腰三角形三线合一得到对应的角，由锐角三角函数得到，判断A选项；同理求得，然后判断B选项；巧用，利用正切的和差角公式化简，然后判断C选项；由二倍角公式化简，利用A选项/B选项结果结合勾股定理化简，然后代入边长即可求得结果，判断D选项.【详解】由题意可知：，，又∵，∴，，∵为等腰三角形底边上中点，由三角形三线合一可知：，，设，则，∴，∴A选项错误；，B选项正确；∵，C选项正确；∵，代入边长∴，D选项正确.故选：BCD11.已知向量满足，且对任意的实数t，恒成立，则下列结论正确的是（

）A. B.C.在上的投影向量为 D.当取最小值时，【答案】ABD【解析】【分析】由恒成立，转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求出的值.利用向量的模长公式可以判断A；向量垂直的充要条件可以判断B；向量投影向量公式可以判断C；结合绝对值的几何意义，建立平面直角坐标系可以判断D.【详解】由得：，.对任意，恒成立，两边平方得：，代入，整理得关于的二次不等式：由对任意实数不等式恒成立，可得：所以，故A正确；，则，故B正确；在上的投影向量为，故C错误；，表示动点到两定点距离和的2倍，如图所示，

关于x轴对称的点为，则，所以由图可知当三点共线时，动点到两定点距离和的2倍取得最小值，此时，所以当取最小值时，，D正确.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知点，，向量，若，则实数______.【答案】2【解析】【分析】由点，，可得的坐标，结合向量平行的公式，可列出关于的方程，解方程即可.【详解】由题意，点，，可得，因为，且，所以，解得.13.已知，，则______.【答案】1【解析】【分析】利用和差角的正弦公式及同角三角函数关系列式计算得解.【详解】由，得，又因为，可得，所以，所以，则.14.如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为______【答案】11【解析】【详解】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值.如下图所示，连接、、、，则为的中点，则，且，故是边长为的等边三角形，易知，则，当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值11.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在等边中，，点在边上，且.过点的直线分别交射线于不同的两点.（1）设，试用表示：（2）设，求的最小值.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）利用给定的基底表示向量.（2）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值.【小问1详解】由，得，所以.【小问2详解】由（1）知，，而，因此，而共线，则，又，于是，由于当且仅当，即时取等号，所以的最小值是4.16.已知，为锐角，，.（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）先根据求出，再利用二倍角公式把问题转化为“齐次式”求值的问题解决.（2）利用，结合两角和与差的三角函数公式求值.（3）先求，再结合的取值范围，可确定的值.【小问1详解】由.所以.【小问2详解】因为，所以，又，所以，所以.所以.【小问3详解】因为，且，所以，所以.所以，且，为锐角，可得，所以.17.向量是同一平面内的两个向量，其中.（1）若，且与的夹角为钝角，求实数的取值范围；（2）若，与共线且，求.【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）先利用，求得，再由与共线时，求得，进而得到答案；（2）先求得，设，结合，列出方程，求得的值，即可求解.【小问1详解】由向量，因为与的夹角为钝角，可得，即，解得；当与共线时，可得，解得，当时，与方向相反，夹角为，不符合题意；综上可得且，即实数的取值范围为【小问2详解】由向量，可得，因为向量与共线，可设，又因为，可得，解得，当时，；当时，.18.已知函数（1）求在上的值域；（2）将的图象向右平移个单位长度，再把曲线上所有点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间；【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）先利用降幂公式和辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质结合整体思想求解即可；（2）先根据平移变换和周期变换的原则求出的解析式，再根据正弦函数的单调性求解即可.【小问1详解】，因为，则，所以，故；【小问2详解】将的图象向右平移个单位长度，可得，再把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，由，，可得，，所以的单调递减区间为，.19.设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为：，向量称为函数的“相伴向量.”（1）设函数，求的“相伴向量”；（2）记的“相伴函数”为，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；（3）记的“相伴函数”为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）展开整理得，再结合“相伴向量”的定义求解即可；（2）根据题意，求得的解析式，研究函数的单调性，作出的图象，再根据交点个数，利用数形结合的方法求解即可；（3）根据题意，将问题转化为对任意恒成