数学【云南贵州广西卷】贵州云南广西西南名校联盟2026届3+3+3高三年级考5月28日高考诊断性联考（5.28-5.29）

数学评分细则一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）题号12345678答案BCDABCCA【解析】1．因为，所以，故选B．2．因为，所以，所以，所以.因为，所以，故选C．3．定义域为，，故该函数为偶函数，故可排除A，C，当时，有，故可排除B，故选D．4．展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的系数为，故选A．图15．如图1，设在轴上方，由双曲线的对称性可知，又因为即为直角三角形，所以又根据直线的斜率为得到，所以为正三角形，有，连接与左焦点，由可得为直角三角形且.由双曲线定义可知，，所以双曲线的离心率为，故选B．图16．由图象可得最小正周期小于，大于，排除A，D；由图象可得，即为，，若选B，即有，由，可得不为整数，排除B；若选C，即有，由，可得，成立，故选C．7．由题意得圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，即为直角三角形，由勾股定理得，即QUOTE(a-2)2+(b-2)22+(22)2=a28．因为为奇函数所以，即，所以关于对称，为奇函数所以关于对称，可得的周期为4，，，所以，，，故选A．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案BCDACAD【解析】9．由，A为锐角，所以，A错误；由，为锐角，得，由余弦定理得，则，B正确；由题意，可得，则，所以C正确；由，得，则，D正确，故选BCD．10．对于选项A：因为直线过抛物线的焦点，所以，解得，故选项A正确；对于选项B：抛物线方程为，联立QUOTEy=3(x-1)y2=4x消去并整理得，由韦达定理得，所以，故选项B错误；对于选项C：，的中点的横坐标为，中点到抛物线的准线的距离为，所以以为直径的圆与相切，故选项C正确；对于选项D：由选项B知，解得或，设，，此时，，所以，，，则不是等腰三角形，故选项D错误，故选AC．图211．对A，因为动点在正方体内及其边界上，且，且，则的轨迹为线段．由于，平面，所以平面，所以三棱锥体积为定值，故A正确；对B，易知平面，动点在正方体内及其边界上，且，所以动点所围成的图形是矩形，则面积为，故B错误；对C，设边上的高为，则，由正弦定理可得，所以，故，如图2，以为点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，则，，，设，，则，.又因为，整理得：，所以空间动点的轨迹是以为球心，为半径且位于正方体内的部分球体.又因为，所以，故C错误；对于D，显然过的满足条件的直线数目等于过的满足条件的直线的数目，在直线上任取一点，使得，不妨设，若，则是正四面体，所以有两种可能，直线也有两种可能，若，则只有一种可能，就是与的角平分线垂直的直线，所以直线有三种可能，故选AD．图2三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）题号121314答案；【解析】12．，则，故，故，所以，代入，可得.又．故切线方程为，则QUOTEy=12．13．由题知，，可设，由题知，向量绕点逆时针旋转得到，则，解得，则的横坐标为.14．甲要获胜，则取出的数字只能是3，5，7，记甲得分为随机变量X（X=0，1，2，3）.当甲选出3且获胜，则乙只能选2，概率为；当甲选出5且获胜，则乙选出的是2，4，概率为当甲选出7且获胜，则乙选出的是2，4，6，概率为，所以甲获胜的概率；由以上推出四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）（1）解：因为，所以，……………………（1分）所以，所以，又，………………（2分）所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以.……………………（3分）当时，，……（4分）也满足上式，……………………（5分）所以数列的通项公式为．……………（6分）（2）证明：因为，……………………（7分）所以，……（8分）所以.………（9分）因为，所以，……………………（10分）因为数列单调递增，所以，…………（12分）所以.……………………（13分）16．（本小题满分15分）（1）证明：如图3，取的中点为，连接，由三棱柱可得四边形为平行四边形，而，则.图3而平面，平面，图3故平面，而，则，同理可得平面，而平面，故平面平面，而平面，故平面.……………………（6分）（2）解：因为侧面为正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面.…………（8分）因为，故平面.因为平面，故.又，，故平面，而平面，故，所以，而，，故平面.……………………（10分）故可建立如图所示的空间直角坐标系，则故设平面的法向量为则，从而，取，则，…………（13分）设直线与平面所成的角为，则.……………………（15分）17．（本小题满分15分）解：（1）由题知：的可能取值为1，2，3，4，，，…………（4分）的分布列为：……（6分）（2）由（1）知，每一轮比赛，参赛学生甲获得“挑战达人”票的概率为.……………………（7分）设参赛学生甲在5轮比赛中获得“挑战达人”票的张数为，则.……………………（8分）所以，，，……（14分）所以当时，概率最大，最大为.………………………（15分）18．（本小题满分17分）（1）解：由题意有，所以.……（1分）设椭圆焦距为，易知椭圆过点，所以.…（2分）又，所以，所以，即，解得，……（3分）所以，，故的标准方程为．…（4分）（2）（ⅰ）证明：如图4，设，，，则，由题意有．图4直线的斜率，即的斜率为，图4………………………（5分）所以直线的方程，所以.又，在椭圆上，∴，∴.…（7分），∴.…（10分）（ⅱ）解：∵，…………（11分）而，，由（ⅰ）知，∴.又，∴，………………………（13分）∴.当且仅当，即时等号成立，所以．……………………（17分）19．（本小题满分17分）（1）解：当时，，，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减.……（3分）（2）①证明：设切点为，，切线过原点，故.代入，，得，整理得.……（5分）若，则左边为0，右边，矛盾，故，两边除以：，因此每个切点横坐标满足.……（8分）②解：由，令，得.因为，，所以解从小到大依次为，，…，，QUOTEx1ϵ(π2,π),x2ϵ(3π2,2π),...,x不妨设，且，则，…………（10分）设，且，，则，且由洛必达法则可知，，，所以在区间，上存在唯一的