2025-2026学年福建省莆田市第二中学高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省莆田市第二中学高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.（1+5i）i的虚部为（）A.-1 B.0 C.1 D.62.已知向量，，若，则x=（）A.2 B. C.3 D.3.如图所示，△ABC中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则=（）A.

B.

C.

D.4.用斜二测画法画水平放置的△ABC，其直观图△A′B′C′如图所示，其中B′O′=C′O′=2.若原△ABC的周长为10，则A′O′=（）A. B. C. D.5.在△ABC中，“asinA=bsinB”是“△ABC为等腰三角形”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6.已知一个圆柱与一个圆台的高和体积都相等，圆柱的底面半径是，圆台的上底面半径是1，则圆台的下底面半径是（）A.5 B.4 C.3 D.27.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆面积为（）A.3π B.6π C.9π D.12π8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球表面积为12π，点M在线段BD上（含端点），则C1M+A1M的取值范围为（）A. B. C. D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知复数z=m+1+（m-1）i（m∈R）为纯虚数，则（）A.m=-1 B.|z|=2 C. D.i•z=-210.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是（）A.C1，M，O三点共线

B.A1C⊥平面C1BD

C.直线A1C1与平面ABC1D1所成角的为

D.直线A1C和直线BC1是共面直线11.我国南宋著名数学家秦九韶在《数书九章》中提出了已知三角形的三边长，求三角形的面积的问题，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即.现有△ABC满足，且，则（）A.△ABC三个内角A，B，C满足关系A+C=2B

B.△ABC的周长为

C.若E为AC的中点，，BE与AF交于点P，则BP的长为

D.若O为△ABC的外心，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量，则在方向上的投影向量的坐标为

.13.在△ABC中，，AB=3，，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则AD=

.14.一个底面半径为4cm,高为9cm的封闭圆柱形容器（容器壁厚度忽略不计）内有两个半径相等的铁球，则铁球半径的最大值为

cm.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知，，其中是夹角为的单位向量.

（1）求的模.

（2）若与夹角为钝角，求λ的取值范围.16.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.

（1）求A；

（2）若a=2，，求△ABC周长.17.(本小题15分)

某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区域（阴影部分）上A，B两点之间建一条观光通道，如图所示.在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点B50米的点C处建一凉亭，距离点B70米的点D处再建一凉亭，测得∠ACB=∠ACD，cos∠ACB=.

（1）求sin∠BDC的值；

（2）测得AC=AD，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？18.(本小题17分)

如图，△ABC是边长为4的正三角形，点D是△ABC所在平面外一点，AD=3且AD⊥平面ABC，E为AB的中点.

（1）求证：CE⊥平面ABD；

（2）求直线AD和平面CDE所成角的正弦值；

（3）求点A到平面BCD的距离.19.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，其中，AD∥BC，且AD=2BC，点E为棱PD的中点.

（1）求证：CE∥平面PAB；

（2）若M为CE上的动点，则线段AD上是否存在点N，使得MN∥/平面PAB？若存在，请确定点N的位置，若不存在，请说明理由；

（3）若PA=PB=PC=AD=5，CD=6，请在图中作出四棱锥P-ABCD过点B，E及棱AD中点的截面，并求出截面周长.

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】A

9.【答案】AB

10.【答案】ABC

11.【答案】ABD

12.【答案】（2，0）．

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】

，且λ≠-3

16.【答案】解：（1）sin（A+）=1,

,

又A,

（2）由正弦定理可知

结合=2csinBcosB得

cosB=，而B，​​​​​​​

由A+B+C=π得sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=

则△ABC的周长为a+b+c=a（）=

17.【答案】解：（1）设∠ACB=∠ACD=θ，则∠BCD=2θ∈（0°，180°），所以θ∈（0°，90°），

因为cosθ=，所以，

所以=，在△BCD中，由正弦定理：，

所以==；

（2）由（1）知，sin，cos，sin，cos，

所以sin∠CBD=sin[π-（∠BCD+∠BDC）]=sin（∠BCD+∠BDC）=sin∠BCDcos∠BDC+cos∠BCDsin∠BDC==，

在△BCD中，由正弦定理得：，

所以=，

设AC=AD=y,在△ACD中，由余弦定理有：AD2=AC2+CD2-2AC•CD•cos∠ACD，

即，解得，

在△ABC中，由余弦定理：AB2=AC2+BC2-2AC•BC•cos∠ACD=1000=1500，

所以AB=，

所以总造价为2000×10=，所以预算资金够用．

18.【答案】（1）证明：∵AD⊥平面ABC，CE⊂平面ABC，∴AD⊥CE，

又∵△ABC为正三角形，E为AB的中点，

∴CE⊥AB，

∵AB∩AD=A，∴CE⊥平面ABD；

（2）解：由（1）得平面CDE⊥平面ABD，

∴AD在平面CDE上的射影在DE上，

则∠ADE即为直线AD和平面CDE所成的角，

△ADE为Rt△，且AE=2，AD=3，∴，

故sin∠ADE=，

即直线AD与平面CDE所成角的正弦值为；

（3）解：取BC的中点M，连接DM，过A点在平面DAM内作AN⊥DM于N，

可得BC⊥平面DAM，∴AM⊥平面BCD，

可得AM=2，DM=，

利用等面积可知，DM•AN=DA•AM，

∴•AN=6，则AN=，

故点A到平面BCD的距离为．

19.【答案】证明：取线段PA的中点F