2025-2026学年河北省唐山市丰南区高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年河北省唐山市丰南区高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.扇形的半径为2，圆心角为，则此扇形弧长为（）A. B. C. D.2.若复数z满足（3+z）i=5，则z对应的点位于复平面的（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在边长为2的正三角形ABC中，=（）A.1 B.-1 C.2 D.-24.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B和AC所成的角等于（）A.30°

B.45°

C.60°

D.90°

5.已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（）A. B. C. D.6.已知△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，已知，则△ABC的周长为（）A. B. C. D.7.某学校高一、高二、高三年级学生人数之比为3：2：2，利用分层抽样的方法抽取容量为35的样本，则从高一年级抽取学生人数为（）A.7 B.10 C.15 D.208.一个袋子里装有2个红球和2个黑球，甲、乙每人随机不放回地取1个球，则互斥且不对立的两个事件是（）A.“甲取出的球是红球”与“甲取出的球是黑球”

B.“甲取出的球是红球”与“乙取出的球是红球”

C.“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球都是黑球”

D.“甲、乙取出的球都是红球”与“甲、乙取出的球中至少有1个红球”二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.某市高一年级举行了一次数学竞赛，从所有参加竞赛的1000名学生中随机抽取了一部分学生，经统计这部分学生的成绩全部介于50至100之间，将成绩数据按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分组，作出频率分布直方图如图所示，则（）A.a=0.020

B.估计全市高一年级数学竞赛成绩不低于80分的有300人

C.估计全市高一年级数学竞赛成绩的平均分是75

D.估计全市高一年级数学竞赛成绩的中位数约为7310.下列说法正确的是（）A.，z∈C

B.i2024=-1

C.若|z|=1，z∈C，则|z-2|的最小值为1

D.若-4+3i是关于x的方程x2+px+q=0（p,q∈R）的根，则p=811.已知向量，=（cosα，sinα），则下列结论正确的是（）A.若，则

B.若，则

C.若在上的投影向量为，则向量与的夹角为

D.的最大值为3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知一个正方形的所有项点在一个球面上，若这个正方体的表面积为24，则这个球的表面积为______，13.在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和12，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和17，则估计出总样本的方差为

.14.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，二面角C1-BD-C的正切值为______．

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

在如图所示的平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，AD=2，，∠A1AB=∠A1AD=45°，∠BAD=60°，设，，.

（1）用，，表示，，；

（2）求异面直线AC与BD1所成角的正切值.16.(本小题15分)

为了做好下一阶段数学的复习重心，某中学研究本校高三学生在市联考中的数学成绩，随机抽取了500位同学的数学成绩作为样本（成绩均在[80，150]内），将所得成绩分成7组：[80，90），[90，100），[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]，整理得到样本频率分布直方图如图所示.

（1）求a的值，并估计本次联考该校数学成绩的平均数和中位数；（同一组中的数据用该组数据的中间值作为代表，中位数精确到0.1）

（2）从样本内数学分数在[130，140），[140，150]的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人进行数学学习经验的分享，求选出的3人中恰有一人成绩在[140，150]中的概率.17.(本小题15分)

某高校举行了一次环保知识竞赛，共有900名学生参加，为了解本次竞赛成绩的情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计.请你根据尚未完成的频率分布表和频率分布直方图，解答下列问题：分组频数频率[50，60）40.08[60，70）0.16[70，80）10[80，90）160.32[90，100]合计50（1）填充频率分布表的空格（将答案直接填在表格内）；

（2）补全频率分布直方图；

（3）若成绩在[80，100]内的学生获得环保纪念勋章，请估计该校获得环保纪念勋章的学生有多少人.18.(本小题17分)

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E为CC1的中点.

（1）求证：AC1∥平面BDE；

（2）当点F在棱DD1的中点时，求证：平面AC1F∥平面BDE.19.(本小题17分)

已知点P是边长为2的菱形ABCD所在平面外一点，且点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O，已知∠BAD=60°，△PDB是等边三角形.

（1）求证：AC⊥PD；

（2）求点D到平面PBC的距离；

（3）若点E是线段AD上的动点，设直线PE与平面PBC所成的角为θ，求sinθ的取值范围.

1.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】A

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】ABC

10.【答案】ACD

11.【答案】ACD

12.【答案】12π

13.【答案】39

14.【答案】

15.【答案】=+，=++，=+-；

．

16.【答案】解：（1）由题意知（0.012+0.028+0.022+0.018+0.010+a+0.002）×10=1，

解得a=0.008，

数学成绩的平均数为：

=85×0.12+95×0.22+105×0.28+115×0.18+125×0.10+135×0.08+145×0.02=107.4，

由频率分布直方图知，分数在区间[80，100）、[80，110）内的频率分别为0.34，0.62，

所以该校数学成绩的中位数m∈[100，110），

则（m-100）×0.028+0.34=0.5，解得≈105.7；

（2）抽取的5人中，分数在[130，140）内的有，

在[140，150]内的有1人，

记在[130，140）内的4人为a,b,c,d,在[140，150]内的1人为A，

从5人中任取3人，有（a,b,c），（a,b,d），（a,b,A），（a,c,d），（a,c,A），（a,d,A），（b,c,d），（b,c,A），（b,d,A），（c,d,A）共10种，

选出的3人中恰有一人成绩在[140