人教版九年级数学函数专题练习题

人教版九年级数学函数专题练习题函数是初中数学的核心内容，也是连接代数与几何的重要桥梁。九年级阶段的函数学习，不仅是对之前所学知识的深化，更是为高中数学的学习奠定坚实基础。本专题练习题旨在帮助同学们巩固一次函数、反比例函数及二次函数的核心概念、图像性质，并提升运用函数知识解决实际问题的能力。希望同学们在练习过程中，能够勤于思考，善于总结，真正做到融会贯通。一、一次函数一次函数是我们接触最早的函数类型之一，其图像和性质相对直观，但其在实际问题中的应用却非常广泛。基础巩固1.已知一次函数的图像经过点A(1,3)和点B(-2,-3)，求此一次函数的解析式，并判断点C(2,5)是否在该函数的图像上。*思路点拨：设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)，将A、B两点坐标代入，得到关于k、b的方程组，解方程组即可。判断点是否在图像上，只需将点的坐标代入解析式，看左右两边是否相等。2.已知一次函数y=(m-1)x+m²-1。*(1)若函数图像经过原点，求m的值。*(2)若函数图像中，y随x的增大而减小，求m的取值范围。*思路点拨：（1）图像过原点，即当x=0时y=0，且x的系数不为0。（2）y随x增大而减小，说明x的系数小于0。能力提升3.一次函数y=kx+b的图像与直线y=2x平行，且与y轴交于点(0,-3)。*(1)求此一次函数的解析式。*(2)求该函数图像与x轴的交点坐标。*(3)当x取何值时，y>0？*思路点拨：两直线平行，斜率相等。与y轴交点的纵坐标即为b的值。与x轴交点，令y=0求解。4.某商店销售一种商品，每件成本为a元。经市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系。当销售单价为50元时，日销售量为100件；当销售单价为60元时，日销售量为80件。*(1)求y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）。*(2)若该商店想每日获得1200元的利润，且尽可能让利给顾客，销售单价应定为多少元？（利润=(售价-成本)×销售量）*思路点拨：（1）利用待定系数法求一次函数解析式。（2）根据利润公式列出方程求解，注意“尽可能让利给顾客”意味着销售单价要尽可能低。二、反比例函数反比例函数的图像是双曲线，其性质与一次函数有较大差异，学习时需重点关注其定义域、增减性及图像所在象限。基础巩固5.已知反比例函数y=k/x(k为常数，k≠0)的图像经过点P(2,-4)。*(1)求k的值。*(2)判断点Q(-1,8)是否在该函数的图像上。*(3)若点M(a,b)在该函数图像上，且a>0，试判断b的符号。*思路点拨：（1）将点P坐标代入解析式即可求k。（2）判断方法同一次函数。（3）根据k的符号及a的符号，可确定b的符号。6.若反比例函数y=(m+2)/x的图像在第二、四象限，求m的取值范围。*思路点拨：反比例函数图像在二、四象限，说明比例系数k<0。能力提升7.已知点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)是反比例函数y=6/x图像上的两点，且x₁<x₂。*(1)若x₁、x₂同号，比较y₁与y₂的大小。*(2)若x₁、x₂异号，比较y₁与y₂的大小。*思路点拨：反比例函数y=k/x，当k>0时，在每个象限内，y随x的增大而减小。注意“在每个象限内”这个前提条件。8.如图，点A是反比例函数y=k/x(k>0,x>0)图像上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA。若△OAB的面积为3，求k的值。*思路点拨：设点A坐标为(a,b)，则ab=k。△OAB的面积为(1/2)*OB*AB=(1/2)*a*b=(1/2)|k|。结合k>0即可求解。（注：实际练习时应有图，此处提醒同学们注意从图形中获取信息）三、二次函数二次函数是九年级函数学习的重点和难点，其图像的复杂性和性质的多样性，要求我们投入更多精力去理解和掌握。基础巩固9.写出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：*(1)y=2x²-4x+1*(2)y=-1/2(x+3)²-2*思路点拨：对于一般式y=ax²+bx+c，开口方向由a决定，对称轴为x=-b/(2a)，顶点坐标可通过配方法或公式法求得。对于顶点式y=a(x-h)²+k，可直接得出开口方向、对称轴x=h和顶点(h,k)。10.已知二次函数的图像顶点坐标为(1,-2)，且经过点(2,1)，求该二次函数的解析式。*思路点拨：已知顶点坐标，优先设顶点式y=a(x-h)²+k，再将另一点坐标代入求出a的值。能力提升11.已知二次函数y=x²-2mx+m²+m-2。*(1)求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个不同的交点。*(2)若该函数的图像与y轴交于点(0,3)，求m的值。*思路点拨：（1）要证明与x轴有两个不同交点，只需证明判别式Δ=b²-4ac>0。（2）将x=0，y=3代入解析式求解m。12.某商场将进价为每件30元的商品以每件40元售出，平均每月能售出600件。调查表明：这种商品的售价每上涨1元，其销售量就将减少10件。为了实现平均每月____元的销售利润，且售价不能超过进价的两倍，每件商品的售价应定为多少元？*思路点拨：设每件商品的售价上涨x元（或直接设售价为x元），表示出每件的利润和每月的销售量，根据“利润=每件利润×销售量”列出二次函数关系式（或方程），再结合售价限制条件求解。注意自变量的取值范围。综合应用13.如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B两点，与y轴交于点C(0,3)。*(1)求抛物线的解析式及点B的坐标。*(2)点P是抛物线上一动点，且在第一象限内。当点P运动到什么位置时，△PBC的面积最大？求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积。*思路点拨：（1）将A、C两点坐标代入抛物线解析式，求出b、c，进而令y=0求出点B坐标。（2）求图形面积最大值，通常是设动点坐标，将面积表示为关于动点横坐标（或纵坐标）的二次函数，再利用二次函数的性质求最值。可考虑用割补法表示△PBC的面积。（注：实际练习时应有图，此处提醒同学们注意结合图形分析动点位置）练习建议与总结函数学习，图像是灵魂，性质是核心，应用是目的。在完成以上练习时，希望同学们：1.回归概念：遇到问题时，先回顾相关函数的定义、图像特征和基本性质，从根本上寻找解题思路。2.数形结合：画图是解决函数问题的重要手段。动手画出函数图像，能直观地帮助你理解题意，发现关系。3.勤于反