鲁教版（五四制）八年级数学下册一课一练-探索三角形相似的条件 同步练习

第九章图形的相似

9.4探索三角形相似的条件

1.如图，点。在△/WC的边AC上，要判断△A8PsA4C8,添加一个条件，不正确的是（）

CAP—ABDAB—AC

.AC•BP-CB

2.如图，在△4BC中，N4=78。，43=4,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下

的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

①②③④

A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④

4.如图，每个小正方形的边长均为1,则下列图形中的三角形（阴影部分）与△4SG相似

的是（）

5.如图，在△ABC与中，NB4C=N。，要使△ABC与△AOE相似，还需满足下列

条件中的（）

AAC—ABoAC—BC「AC—ABr\AC—BC

ADAEADDEADDEADAE

6.如图，在直角梯形ABCQ中，ZABC=90°,AD//BC,AO=4,AB=5,BC=6,点、P是

A8上一个动点，当尸C+PD的和最小时，P8的长为

7.如图，在△ABC中，AB=9,4C=6,BC=12,点M在4B边上，且AM=3,过点M作

直线与AC边交于点N,使截得的三角形与原三角形相似，则MN=

8.如图，已知△ABC中，。为边AC上一点，P为边AB上一点,A8=12,AC=8,AD=6,

当AP的长度为时，△A。。和△ABC相似.

9.如图所示，在△ABC中，A8=6,AC=4,P是4。的中点，过尸点的直线交AB于点Q,

若以4、户、Q为顶点的三角形和以A、8、C为顶点的三角形相似，则AQ的长

为.

A

P

10.如图，点。为△ABC外一点，AO与8c边的交点为E,AE=3,DE=5,BE=4,要使

△BDEs△ACE，且点B,D的对应点为A,C,那么线段CE的长应等

11.如图，尸是RL^ABC的斜边BC上异于8、C的一点，过点尸作直线截△4BC,使截得

的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有条.

12.如图，在四边形A8CO中，AD//BC,AD<BC,ZABC=90°,且A8=3,点£是边

A8上的动点，当△?1£）£,△8CE,两两相似时，则A£=.

13.如图ND4B=NC4E,请补充一个条件：，使△ABCs△4。石.

14.如图，RtZSABC中，ZACB=90°,AC=9,8c=12,。是A8边的中点，P是3c边.上

一动点（点P不与8、C重合），若以。、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，则线段

PC=

A

D

--------------

15.如图，在平面直角坐标系中有两点A(6,0),B(0,3),如果点。在x轴上(。与A

不重合)，当点。的坐标为时，△BOC与△A03相似.

16.如图所示，。，后分别在448。的边48、4。上，。£与8。不平行，当满足条

件时，有AABCSAAED.

17.如图,Z\A5C中,ZBAC=45°,NAC5=30°,将△ABC绕点A顺时针旋转得到

当C,3,。三点共线时，旋转角为a,连接8囱，交于AC于点。，下面结论：

①△4GC为等腰三角形；②C4=CB；③a=135°；⑤4=娓-尬

BiC2

中，正确的结论的序号为

18.如图，在三角形A3C中，AB=6cm,4c=12cm.点尸从A沿A3以1厘米/秒的速度移

动，点Q从。沿C4以2厘米/秒的速度向A移动.如果两点同时出发，经过_________秒

后，z^AP。与aABC相似.

19.如图，点P是中AB边上的一点，请你添加一个条件使△ACPs4

ABC：

A

20.如图，在正方形ABC。中，E、尸分别是边A。、CO上的点，AE=ED,DF=1DC,连

4

接EF并延长交BC的延长线于点G.

(1)求证：AABEsADEF；

(2)若正方形的边长为4,求BG的长.

21.如图所示，在4X4的正方形方格中，△A3C和的顶点都在边长为1的小正方形

的顶点上.

(1)填空：ZABC=,BC=；

(2)判断AABC与aOE尸是否相似？并证明你的结论.

22.如图，在△ABC中，ZACB=90°,COJ_AB,

（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）；

（2）已知A8=10,AC=8,请你求出CD的长；

（3）在（2）的情况下，如果以A8为x轴，CO为y轴，点。为坐标原点。，建立直角坐

标系（如图2）,若点尸从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段C8运动，点Q出3

点出发，以每秒1个单位的速度沿线段8A运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点

即刻同时停止运动；设运动时间为，秒，是否存在点P,使以点夙P、Q为顶点的三角形

与△ABC相似？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

23.如图，/XABC中，A8=8厘米，AC=16厘米，点尸从4出发，以每秒2厘米的速度向B

运动，点。从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另

一个动点也相应停止运动，设运动的时间为九

（1）用含，的代数式表示：AP=,AQ=.

（2）当以A,P,。为顶点的三角形与3c相似时，求运动时间是多少？

A

0

B

24.如图，在QA3C£＞中，E是。C上一点，连接AE.尸为AE上一点，且N3FE=NC

求证：/\ABF^/\EAD.

25.如图，A8・AE=AO・AC,且N1=N2,求证：^ABC^^ADE.

26.如图所示，在等腰△A8C中，AB=AC=\Ocm,BC=\6cm.点。由点A出发沿A8方向

向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为

\cmls.连接DE,设运动时间为F(s)(0V/V10),解答下列问题:

(I)当/为何值时，△3DE的面积为7.5加2；

(2)在点。，£的运动中，是否存在时间/,使得△BOE与4人⑶。相似？若存在，请求出

对应的时间f;若不存在，请说明理由.

B

27.已知，如图，幽一区"一WA,那么△AA7）与△ACE相似吗？为什么？

BDBEED

第九章图形的相似

9.4探索三角形相似的条件

答案全解全析

1.解：A、当NA5P=NC时，又・・・NA=N4,A/\ABP^/\ACB,故此选项不符合题意；

B、当NAP8=NABC时，又,.,NA=NA,A故此选项不符合题意；

C、当期=胆时，又,.・NA=NA,•••△ABPs/XACB,故此选项不符合题意；

ABAC

D、无法得到△ABPSAACB,故此选项符合题意.

故选：D.

2.解：A、阴影部分的三加形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

从阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确.

。、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；

故选：C.

3.解：①和③相似，

•・•由勾股定理求出①的三角形的各边长分别为2、加、V10；

由勾股定理求出③的各边长分别为2加、2、2加，

・

•♦---2=--V--2--,

2&2

Vw=V2

wr

即2=返=历,

2722275

・•・两三角形的三边对应边成比例，

・•・①③相似.

故选：C.

4.解：因为中有一个角是135°,选项中，有135°角的三角形只有8,且满足两

边成比例夹角相等，

故选：B.

5.解：VZBAC=ZD,坟装,

ADDE

A^XABC^/XDEA.故选：C.

6.解：延长CB到E,使仍=CB,连接DE交AB于P.则OE就是尸C+PQ的和的最小值.

♦：AD〃BE、

:・/A=/PBE,/ADP=/E,

：.AADPsABEP,

：.AP：BP=AD：BE=4：6=2：3,

：.PB=1PA,

2

又＜%+P3=4B=5,

：.PB=1AB=3.

5

故答案为：3

7.解：如图1,当MN〃BC时，

则△AMNs/WC,

故迎=细=理

ABACBC?

则与=幽，

、912

解得：MN=4,

如图2所示：当NANM=/B时,

又,:NA=NA,

・・・^ANM^/XABC,

■.•IAM'-MIN'，

ACBC

即旦=幽，

612

解得：MN=6,

故答案为：4或6.

入A

B

图2CB图1

8.解；当△AOQS^ACB时,

.AP-AD

ABAC

.•.IAP・-■6—,

128

解得：AP=9,

当△AOPS^ABC时，

-

♦ADAP,

AB6AC

-AP

・8

12

解得：AP=4,

・•・当AP的长度为4或9时，△4£）「和△ABC相似.

故答案为：4或9.

9.解：VAC=4,尸是AC的中点，

•**AP=—AC=2.t

2

①若44006△AC'则空”，

ACAB

即24，

4-6

解得：AQ=3；

②若△APQS^ABC,则处

ACAB

即2必

6-4

解得：AQ=&

3

：.AQ的长为3或母.

故答案为：3或n.

3

10.解：•：NAEC=NBED,

...当理=典时，ABDE^AACE,

AECE

即_1=_L,

3CE

・・・CE=至.

4

故答案为三.

4

11.解；由于△ABC是直角三角形,

过P点作直线截△A8C,则截得的三角形与△A8C有一公共角,

所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与RtZXABC相似，

过点P可作A5的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线.

故答案为：3.

①当NCED=90°时,如图1,

过工作EALCD于F,

•:AD//BC,ADVBC,

・・・人8与8不平行,

・•・当△ADE、△8CE、△(?£>£两两相似时,

・•・ZBEC=ZCDE=NAOE,

VZA=ZB=ZCED=903,

：・NBCE=NDCE,

：・AE=EF,EF=BE,

:.AE=BE=1AB=^

22

②当NCDE=90°时，如图2,

B图2

・・•当△ADE、4BCE、△CDE两两相似时，

AZCEB=ZCED=ZAED=60°,

：.ZBCE=ZDCE=30°,

VZA=ZB=90°,

，BE=ED=2AE,

*：AB=3,

：.AE=\f

综上，AE的值为旦或1.

2

故答案为：旦或1.

2

13.解：9：ZDAB=ZCAE

：.ZDAE=ABAC

，当NO=N区或N4ED=NC或AD：AB=AE：4c或AO・AC=48・AE时两三角形相似.

故答案为：/D=/B(答案不唯一).

14.解：・.・RtZ\A8C中，ZXC^=90°,AC=9,8c=12,

：.AB=\5f

・・・Q是AB边的中点，

；・CD=BD=LB=7.5,

2

•・•以。、C、P为顶点的三角形与△ABC相似，

.,.ZDPC=90°或NCQ0=90°,

(1)若NOPC=90°,则Z)尸〃AC,

•..B।D-।BP’--19

ABBC2

：.BP=1BC=6,

2

贝ijPC-6；

(2)若NCDP=90°,则△CQQS/\8CA,

■..CIDI-PICI,

BCAB

即7.5=里,

1215

:・PC=0

8

综上所述：产C—6或匹.

8

故答案为：6或匹.

8

15.解：・・,点。在x轴上，

：.ZBOC=90°,两个三角形相似时,应该与NBQ4=90°对应,

若0C与04对应，则OC=Q4=6,C(-6,0)；

若OC与。8对应，则OC=1.5,C(-1.5,0)或者(1.5,0).

・・・C点坐标为：(-1.5,0),(1.5,0),(-6,0).

故答案为：(・1.5,0),(1.5,0),(-6,0).

16.解：TOE与8C不平行，

:・/D于/B,

而ND4E=NC45,

・••当NAOE=NC或时，/\ABC^AAED.

当也=胆时，△ABCs/WEO.

ACAB

故答案为：/4。石=/。或/4七。=/8或也=坐.

ACAB

17.解：由旋转的性质可知ACi=AC,

•••△AGC为等腰三角形，即①正确；

VZACB=30Q,

：.ZC\=ZACBi=30°,

又・・・8iAC]=N84C=45°,

/.ZAB\C=15°,

・・・NCA3i=180°-75°-30°=75°,

・・.CA=CBi；

・••②正确；

VZCACi=ZCABi+ZBiACi=120°,

・•・旋转角a=120°,故③错误：

VZBAC=45°，

：.ZBAB]=45°+75°=120°,

9

：AB=AB}f

：.ZAB\B=ZABD=3Q°,

在△AB。与△BCD中，

•：NABD=NACBi,NABiD=NBCD=30°,

•••△A5iOsZ\AC8i,即④正确；

在△A3。与△BCZ)中，

•：/ABD=/ACBT,ZADB=ZCDB\,

：.4ABDs/\B\CD,

・AB_AD

"B^C"丽，

设拉M=x,则aM=x,BiD=心,DC=2x,DC=2xfCM=^c,

•\AC=B\C=(近+1)x,

：.AD~AC-CD-(V3-DA:,

J旦=皿=结二区=返2返，即⑤正确.

B]CB]DV2x2

故答案为：①②④⑤.

18.解:由题意AP=/,CQ=2t,

AC=}2cmf

•'•AQ—(12-2r)cm，

当延=姆时，△AQQSAABC,

ABAC

•t—12-2t

••—~'9

612

解得t=3.

当期=迪时，△APQS^ACB,

ACAB

・・」一生”，

126

解得—建，

5

故答案为3或区.

5

19.解：'：ZPAC=ZCAB,

・••当NACP=N8时，△ACPS/XABC；

当空=圾时，△ACRs^ABC.

ACAB

故答案为：NACP=/B(或或=幽).

ACAB

20.(1)证明：・・・45CO为正方形，

：.AD=AB=DC=BC,/A=NO=90°,

9：AE=ED,

■•■IAE-1I,

AB2

-：DF=1DC,

4

•・•'DF'—1,

DE2

.AE^DF

*'AB=DE，

・•・△ABEsADEF；

(2)解：・・・A8C。为正方形，

：.ED//BG,

­ED_DF

*，CG-=CF，

又・・•。/=』DC,正方形的边长为4,

4

:・ED=2,CG=6,

・•・BG-BC+CG-\0.

21.(1)解：ZABC=90°+45°=135°，

BC=d22+2?=加=2&；

故答案为：135°；272.

(2)/\ABC^/\DEF.

证明：•・•在4X4的正方形方格中,

NA3C=135°,NDEF=90°i45°=135°,

・・・ZABC=/DEF.

•・・A8=2,BC=2®,FE=2,DE=^2

:,退=-^==贬,毁=_?2^=&.

DEV2FE2

・•・AABCs^DEF.

22.解：(1)图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC's△AC。，△

ACDs^CBD.

故答案为3,△ABCs△Ac。，△ABCs/iCBQ,/XACD^ACBD；

(2)如图1,在△ABC中，・.,NAC8=90°,AB=10,AC=8,

A5C=VAB2-AC2=6-

•••△ABC的面积=工43・。7)=」4。・月。，

22

,C，=AC・BC=.6X8=4.8；

AB10

(3)存在点尸，使以点B、P、。为顶点的三角形与aABC相似，理由如下：

在△BOC中，9：ZCOB=90°,BC=6,OC=4.8,

•*,OB=A/BC2-OC2=36

分两种情况：

①当N8QP=90°时，如图2①，此时△PQ3s△AC8,

•・•1B1P=■B,Q9

ABBC

■・.I6-,t——t,

106

解得『2.25,即BQ=CP=2.25,

：.BP=BC-CP=6-2.25=3.75.

在AB尸。中，由勾股定理,得尸。=JBP2一BQ2=d3752-225?=3

・••点P的坐标为(1.35,3)；

②当N8PQ=9()°时，如图2②，此时△QPHS/XACB,

•.•IBP-_IBQI,

BCAB

■•.6I-tI.t一,

610

解得r=3.75,即BQ=。尸=3.75,BP=BC-CP=6-3.75=2.25.

过点户作PE_Lx轴于点E

■:MPRSAACB,

.•里=里RpPE=3.75.

**COAB，、百10

：.PE=\.S.

5£=22=

在△8PE中，7BP-PE72.252-l.82=L35,

：.OE=OB-BE=3.6-1.35=2.25,

・・・点7的坐标为(2.25,1.8).

综上可得，点P的坐标为(1.35,3)或(2.25,1.8).

23.解：(l)AP=2f,AQ=I6-3L

(2)'：ZPAQ=ZBAC,

...当烟=也时，XAPQSXABC,即2L=16-3t,解得，=理_；

ABAC8167

当期=幽41寸，△APQsAACB,即ZL=16-3t,解得f=4.

ACAB