2025-2026学年北师大版八年级数学下册 第4章《因式分解》单元标测试题

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第4章因式分解》单元自主达标测试题（附答案）

一、单选题（每小题3分，满分24分）

1.下列由左边到右边的式子变形，是因式分解的是（）

A.a2—2a+1=a（a-2）+1B.a（a—o'）=a2-ab

C.2a2—a=a（2a—1）D.（a—l）2=a2—2a4-1

2.下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（）

A.y2-49B.x2C.-m4-n4D.：（p+q）2—9

3.已知多项式/一3%+k分解因式后有一个因式是4）,则k的值为（）

A.4B.-4C.12D.-12

4.将关于％的多项式元+收+25因式分解得（％+5产,则n的值为（）

A.10B.-10C.5D.-5

5.若Q+/J=5,ab=6,贝必③/）+2a2b2+。炉的值为（）

A.6B.24C.30D.150

6.计算（一27025+（一2）2。26的结果是（)

A.22025B.22026C.-2D.-22025

7.若关于x的二次三项式/+kx+b因式分解为（％-l）（x-3）,则（k+6）2。25的值为（）

A.-7B.7C.-1D.1

8.已知a,b,c是一个三角形三边的长，则代数式（a-8）2-,2的值（）

A.一定是负数B.一定是正数C.一定是零D.可能是零

二、填空题（每小题3分，满分24分）

9.因式分解：m2-m=.

10.把多项式/-6。2+劝分解因式的结果是.

11.已知%-丫=5,则/-y2一io、的值是.

12.因式分解：4a2-12ab+9b2-16=.

13.若4+4+2-2乂=112,则X的值为.

14.因式分解：Q3—Q2b—ab2+b3=

15.定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m,ri的平方差，且血-九＞1,则称这个正

整数为“智慧优数”.例如，16=52—32,16就是一个“智慧优数"，可以利用皿2一n2=

（m+n）（m-n）进行研究.若将“智慧优数〃从小到大排列,则第6个“智慧优数〃是.

16.如图，图中的大长方形是由2块边长为a的大正方形，2块边长为b的小正方形，5块长

为a，宽为b的相同的长方形拼接而成.观察图形，可以发现代数式2a2+5ab+2b2因式分

解的结果为__________.

三、解答题（满分72分）

17.（16分）因式分解：

(l)3x(a—b)—6y(b—a)；

(2)1m2—mn+^n2；

(3)9y2-(2x4-y)2；

⑷49(Q-b)2-16(Q+b)2.

18.（10分）利用因式分解计算:

（D-77X19-^x15：

（2）10#-101x190+952.

19.（8分）请阅读以下因式分解的过程：

a?+6Q+8=Q2+6a+9—1=（Q+3）2—l2=[（a+3）+l][（a+3）—1]=（a+

4）（a+2）.

这种因式分解的方法叫做配方法.请用配方法分解因式：X2+2X-3.

20.（9分）已知/1=2Q+1,B=2a-l,C=ka2+2a-1（k为常数）.

⑴若k=-1，

①对整式C进行因式分解；

②化简2C+力-B,并因式分解.

（2）若k=-4,且C十A的计算结果是非负数，求以的取值范围.

21.（9分）从边长为。的正方形中剪掉一个边长为人的正方形（如图1）,然后将剩余部分

拼成一个长方形（如图2）.

b

图I图2

⑴上述操作可以得到一个公式：

⑵利用你得到的公式，计算下列各式：

①20252-2024x2026；

②102-92+82-724-62-52+42-32+22-I2.

22.(10分)小红在翻阅数学资料时看到如图所示的阅读材料，请你根据阅读材料帮小红解

决下列问题：

阅读材料

分解因式：(a+b)2-2(a+b)4-1

解：①将"a+b"看成整体，令a+b=TH,则原式=TH?—2m+1=(m-I)2,

2

②再将a+b=m还原，得到原式=(a+b-l).

上述解题过程中用到的是"整体思想”，它是数学中常用的一种思想

(1)因式分解：。-3)2-8。-丫)+16：

⑵因式分解：(/—6X)(J2—6%4-18)+81.

23.(10分)阅读下列材料：常用的分解因式方法有提公因式、公式法等.但有的多项式只

用上述方法就无法分解，如/-4y2+2x-4y,细心观察这个式子会发现前两项符合平方

差公式，后两项可提取公因式，分解过程为：

x2-4y2+2x-4y=(x2-4y2)+(2x-4y)...分组

=(%-2y)(x+2y)+2(%-2y)...组内分解因式

=(x-2y)(x+2y+2)...整体思想提公因式

这种分解因式的方法叫分组分解法，利用这种方法解决下列问题：

⑴分解因式：9x2-y2-9x+3y；

(2)已知a,b,c分别是△HBC的边长，若小+2ab+b2=c2+45»a+b—c=3,求AABC

的周长.

参考答案

1.解：a2-2a+l=a(a-2)+l,不符合因式分解的定义，则A不符合题意，

a(a-b)=a2-ab是乘法运算，则B不符合题意，

2a2-a=a(2a-1)符合因式分解的定义，则C符合题意，

(a-17=十一2a+1是乘法运算，则D不符合题意，

故选：C.

2.解：平方差公式要求表达式为两个平方项的差.

选项A：y2-49=(y+7)(y-7),符合公式；

选项B：专一/=G+-符合公式;

选项C：-n?一九4=_(64+九4),两项均为负，不能表示为两个平方项的差，不符合公式;

选项D：：(p+q)?-9=L(p+q)+3]L(p+q)-3卜符合公式；

故选：C.

3.解：(3多项式有一个因式是(工一4),

0当x=4时，多项式值为零，即42-3x4+4=0,

解得k=-4,

即2的值为-4.

故选：B.

4.解：0(x4-5)2=%2+10x4-25,

又团原多项式为/+nx+25,

On=10,

故选：A.

5.解:a3b+2a2b2+ab3

=ub(u2+2ub+b2)

=ab(a+b)2,

团a+匕=5,ab=6>

0ab(a+b)2=6x52=150,

故选：D.

6.解：(一2)2°25+(-2)2026

=-22025+2x22025

=22。25乂(-1+2)

=22°25x1

_22025,

故选:A.

7.解：0(x-l)(x-3)=X2-4X+3,

团/+依+b=%2-4x+3,

龈=-4,b=3,

0/c4-d=-44-3=-1,

+b)2025=(-1)2025=-1,

故选：C.

8.解:团(a—b)2—c2=[(a—b)—c][(a—b)+c]=(a—b—c)(a—b+c)

又(3a,b,c为三角形的三边，

0a<b+c,b<a+c,c<a+b,

0a-b-c<0,且a-b+c>0,

0(a-b-C)(Q—b+c)<0

0代数式的值一定为负数.

故选：A.

9.解：m3-m

=m(m2-1)

=m(m—l)(zn+1).

故答案为：m(m-l)(m-1).

10.解：b3—6b2+9b=b(b2—6b+9)=b(b—3)2>

故答案为:9-3为.

11.解：国x-y=5,

取：2-y2-lOy

=(x+y)(x-y)-10y

=5(x+y)-lOy

=5x+5y-lOy

=5(%-y)

=5x5

=25,

故答案为：25.

12.解：4a2-12ab+9b2-16

=(2Q—3b)2—42

=(2a-3b-4)(2a-3b+4)

故答案为：(2a-3b-4)(2a-36+4).

13.解：2»4+2-2*=112,

2X+4-I_2x=112,

2x+3-2x=112,

提取公因式2巴得2/23-1)=112,

2Xx7=112,

/.2X=16,

：,2X=23

•,•%=4»

故答案为：4.

14.解：a3-a2b-ab2+b3

=(a3—a2b)+(—ab2+/)3)

=a2(a-d)-b2(a-b)

=(a-b)(a2-b2)

=(a-b)(a-b)(a+b)

=(a—b)2(a+b)

故答案为:(a-b)2(a+b).

15.解：由丁〃，一且，〃，〃为正整数，设d=〃，—〃>1,则4之2.

当d=2时，m2—n2=(m+n)(m-n)=4(n+l),n>1»得到：8,12,16»20,24,

28,32,......

当d=3时，"智慧优数"为3(2n+3),nN1,得到:15,21,27,33,39,45,......

当d=4时，"智慧优数"为8(n+2),nN1,得到：24,32,40,48,56,64,......

当d=5时，"智慧优数"为5(2n+5),n21,得到：35,45,55,65,15,85.........

当d=6时，“智慧优数”为12(九+3),n之1,得至卜48,60,72,84,96,108.........

将这些“智慧优数〃从小到大排列：8,12,15,16,20,21,24,27,32,35,45,48,60,

故第6个“智慧优数〃是21,

故答案为：21.

16.解：大长方形面积为2a2+5ab+2b2=(2a+b)(2b+Q),

故答案为:(2a+b)(2b+a).

17.(1)解:3x(a-b)-6y(b—d)

=3x(a-b)+6y(a-b)

=(3x+6y)(a-b)

=3(x+2y)(a—b)

(2)解：2mn+-n2

-2TH2-

=1(ni2-2nin+n2)

1

=-(m-n)2

(3)解：9y2-(2x+y)2

=[3y+(2x+y)][3y-(2x+y)]

=(2x+4y)(2y-2x)

=4(x+2y)(y-x)

(4)解：49(a—b)2—16(a+b)2

=[7(a-b)]2-[4(a+b)]2

=[7(a—b)+4(a+b)][7(a—b)-4(a+b)]

=(7a—77+4a+4d)(7a—7b—4a—4b)

=(11a—3b)(3a—lift)

18.(1)解：—三乂19—兰xl5

1717

13,、

=--^x(19+15)

13

=-17X34

=-26；

(2)解：1012-101x190+952

=10仔-2x101x95+952

=(101-95)2

=62

=36.

19.解：x2+2x-3

=x2+2x+1-3-1

=(X+1)2-22

=[(x+l)+2][(x+l)-2]

=(x4-3)(x-1).

20.(1)解：①当k=一1时，

C=-a2+2a-1=-(a2-2a+1)=一(a-l)2.

②2c+A-B=2(-a2+2a-1)+(2a4-1)-(2a-1)

=-2a24-4a-2+2a+1-2a4-1=-2a2+4a,

:.2.C+A—B=-2a(a—2).

(2)解：当k=-4时,

C+A-B=(—4a2+2a-1)+(2a+l)(2a—1)

=-4a2+2a-1+4a2-1=2a—2.

••・C+力的结果是非负数，

•••2a-2>0,

解得a、1.

21.(1)解：图1中从边长为〃的正方形中剪掉一个边长为力的正方形，剩余部分的面积可

以看作两个正方形的面积差，即。2一从，拼成的图2是长Q+b,宽为Q-b的长方形，因此

面积为(Q+b)(a-b),

所以有a?-Z?2=(a4-b)9—b),

故答案为：a2-b2=(a-Z?)(a-ft)；

(2)①原式