第三章 重难点比大小

第三章重难点比大小问题

知识梳理

(1)利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a,b,C的大小.

(2)指、对、号大小比较的常用方法:

①底数相同，指数不同时，如Q4和谟2,利用指数函数y=标的单调性;

②指数相同，底数不同，如就和以利用寐函数丫=%。单调性比较大小;

③底数相同，真数不同，如logqXi和log/2利用指数函数【Oga不理调性比较大小;

④底数、指数、其数都不同，寻找中间变量0,I或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大

小关系的判定.

(3)转化为两函数图象交点的横坐标

(4)特殊值法

(5)估算法

(6)放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法

(7)常见函数的麦克劳林展开式:

fix

①e'=l+x+9+…+5+vn+l

5+1)!

nx2n+l

②sin%=+?---+(-l)+o(x2n+2)

(2n+l)!

-Y2r4”62n-

③cosx=1-3+0-d+…+(-1)"罚y+。0)

④ln(l4-X)=X-y+y----1-(-l)n+O(Xn+1)

(5)y^=1+X+/+...++o(xn)

@(1+x)n=1+nx++o(x2)

经典真题回顾

1.(2024年新课标全国I卷数学真题)已知函数/(x)的定义域为R,/(x)>/(x-l)+/(x-2),且当XV

3时;•(%)=%,则下列结论中一定正确的是()

A./(10)>100B./(20)>1000

C./(10)<1000D./(20)<10000

【答案】B

【解析】因为当义<3时/(%)=%，所以/(1)=1,/(2)=2,

又因为-

则/(3)>/(2)+/(1)=3J(4)>/(3)+/(2)>5,

/(5)>/(4)+/(3)>8,/(6)>f⑸+/(4)>13,/(7)>/(6)+/⑸>21,

/(£；)>”7)+/(6)>34J(9)>f(8)+f(7)>55/(10)7f(9)+f(8)>89,

/(ll)>f(10)+f(9)>144/(12)>/(ll)+/(10)>233,/(13)>f(12)+/(ll)>377

f(14)>f(13)+f(12)>610J(15)>/(14)+/(13)>987,

/(16)>/(15)+/(14)>1597>1000,则依次下去可知/1(20)>1000,则B正确；

且元证据表明ACD一定正确.

故选：B.

02

2.(2024年天津高考数学真题)设。=4.2一°2,b=4.2,c=log420.2,则叫b,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【答案】D

【解析］因为y=4.2%在R上递增,且一0.2<0<0.2,

所以0<4.2一°2<4.2°<4.2°2,

02

所以0<4.2-。2<1<4.2,即0VQ<1Vb,

因为y=log4.2%在(。，+8)上递增,且0V0.2VI,

所以10g4.2().2<lOggl=0,即C<0,

所以C<Q<匕,

故选：D

3.（2024年北京高考数学真题）已知（勺,%）,（“2/2）是函数y=2"的图象上两个不同的点，贝I（）

A.1脸”空B.log?空>华

C.%+力D.

唾2V+%2>%1+%2

【答案】B

【解析】由题意不妨设为1V%2，因为函数y=2乂是增函数，所以0<2必〈2孙，即0V丫1〈先，

"1上1。_______Xi+X7……X\4X?

对于选项AB：可得；>-2阳•2必=22,即智”>2：>0,

根据函数y=log2%是增函数，所以log2”及>唾22牛=中，故B正确，A错误；

对于选项D：例如“1—0,xz—1,则y1一1,九一2,

可得log2公产=log2\W（0,1）,即log?归"<1=X,+x2»故D错误；

对于选项C：例如=-1,不=一2,则）?1=；,乃二：，

可得log2”^=log25=log23-3£（-2,-1）,即log2红薯>-3=+%2，故c错误，

故选：B.

4.（2023年天津高考数学真题）设Q=1.01°5,b=1.01°i,c=Q6°\4a,b,c的大小津系为（）

A.a<b<cB.b<a<c

C.c<h<aD.c<a<b

【答案】D

［解析］由y=1.01》在R上递增，则a=l.Ol05<b=l.Ol06,

由y=x°s在［o,+8）上递增，则Q=l.Ol05>c=O.60,5.

所以b>a>c.

故选：D

7

5.（2022年新高考天津教学高考真题）设a=207,b=Q）0-,c=log2^则a,b,c的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

［解析】因为2°）>（g）>0=log2l>log2-»故a>b>c.

故选：D.

6.（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知9m=10,。=10巾一11,6=8加一9,则（）

A.a>0>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

【答案】A

［解析］［方法一］:（指对数函数性质）

由尹=10可得巾=1咤910=^>1,而馆9电11〈（里罗）2=（等）2<1=（也10）2,所以翳>需,

m

即加>Igll,所以Q=10-11>10馆11-11=0.

又lg8lgiov（g8：gio）2=（］g；0）2<（喇2,所以黑>黑Fpiog89>m,

所以匕=8加一9<810889-9=0.综上，Q>o>b.

［方法二］:【最优解】（构造函数）

由9m=io,可得m=log"。w（1,1.5）.

根据a,b的形式构造函数/（x）=%加一x—1（%>1）,则广（%）=nix*】—1,

令尸（%）=0,解得%0=疝=,^Jm=log910e（1,1.5）知&W（0,1）.

fW在（l,+8）上单调递增，所以/,即Q>b,

1010

又因为/（9）=9^-10=0,所以Q>0>b.

故选：A.

【点评】法—：通过基本不笨式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法;

法二：利用Q,匕的形式构造函数=%小一万一1（%>1）,根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，

是该题的最优解.

7.（2022年高考全国甲卷教学（理）真题）已知a=3，b=cosCc=4sinL则（）

3244

A.c>b>aB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】A

【解析】［方法一］:构造函数

因为当％e<tanx

故(=4tanJ>1,故(>1,所以c>b；

设/(x)=cosx+^x2-l,xE(0,4-co),

f'Q)=-sinx4-x>0,所以f(%)在(0,+8)单调递增,

故/(；)>/(0)=0,所以

所以b>a,所以c>b>a,故选4

［方法二］:不等式放缩

因为当为W(0,：),sinx<x,

取才=；得：cos=1—2sin2>1—2故b>a

4sin：+cos；=VT7sinG+g),其中0£(0片)，且sing=意,cos^=总

当4sin^+cos^=时，-+(/)=-,及s=£—2

444224

此时sin：=cos*=总，cos：=s\n(p=右

古攵cos二=-^=<-4==sin-<4sin-,故b<c

4V17V1744’

所以b>a,所以C>/?>Q,故选力

［方法三I：泰勒展开

z'攵儿x=0n.o2r5,则ra.la=-31=1---0.-2-52,b,=cos-1®1.---0-,2-5-2-.1--0-.25-4,

322424!

c=4sinL=半、1-+喀计算得c>b>a,故选A.

4-43!5!

［方法四I:构造函数

因为f=4tanL因为当％W(0；).sinx<x<tan%,所以tan2>；即:>1,所以c>b；设f(x)=cosx+

-l,xe(0,+oo),f'(x)=-sinx+x>0,所以/(x)在(0,+8)单调递增，则f(3)>f(0)=0,所以

cos--^>0,所以b>Q,所以c>b>a,

432

故选：A.

［方法五］:【最优解】不等式放缩

因为：=4tan*,因为当*W(0；),sinxVxVtanx,所以tan^>；即；>1,所以c>b；因为当％W

b4\2/440

2

(0,-),sinx<%,取％=9导cos^=1—2siM；>1—2(J)=故匕>a,所以c>b>a.

\2/848\8/32

故选：A.

【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通

法；

方法5：利用二倍角公式以及不等式x£(0彳)，sin%V%Vtan无放缩，即可得出大小关系，属于最优解.

8.(2022年新高考全国I卷数学真题)设Q=O.le01,b=g,c=-ln0.9,则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】C

【解析】方法一：构造法

设/(%)=ln(l+x)-x(x>-1),因为/'(%)=含一1=一盒，

当口《(一1,0)时,r(x)>0,当工£(0,+8)时/(%)<0,

所以函数/'(%)=ln(l+%)-%在(0,+8)单调递减，在(-1,0)上亘调递增，

所以/•(：)</"(())=0,所以In当一；<0,故；>的学=一10.9,即b>c,

99999

所以「(一方V/(°)=0，所以ln'+'V°，故所以,

故a<by

设g(x)=xex+ln(l—x)(0<%<1),则g'(x)=(x+l)ex+占=」：)：+：

令A(%)=ex(x2—1)+1,hr(x)=ex(x2+2%—1),

当0V%<鱼一1时，》(x)V0,函数/i(x)=eX(x2-D+1单调递减，

当鱼一1<%<1时，"(")>0,函数/i(x)=ex(x2-1)+1单调递增，

又h(0)=0,

所以当OV%V企一1时，h(x)<0,

所以当0<%v企一1时，g'(x)>0,函数g(x)=xe*+ln(l-x)单调递增，

所以g(0.1)>g(0)=0,即O.le。】>TnO.9,所以Q>C

故选：c.

方法二：比较法

a=O.le01,b=-,c=-ln(l-0.1),

1—0.1

①Ina—\nb=0.1+ln(l—0.1),

令f(x)=x+ln(l—x),x6(0,0.1),

则［⑴=1一±=言〈。，

故/•(%)在(0,0.1］上单调递减,

可得/(0.1)</(0)=0,即\na-\nb<0，所以a<b；

@a-c=O.le014-ln(l-0.1),

令g(x)—xex+ln(l—x),x€(0,0.1J,

则小)=叱+靖-工=生巫竺匚,

'Jlri-x

令/c(x)=(14-x)(l—x)ex-1,所以kf(x)=(1—x2—2x)ex>0,

所以/c(x)在(0,0.1］上单调递增，可得k(x)>>0,即g'(x)>0,

所以g(x)在(0,0.1］上单调递增，可得g(0.1)>g(0)=0，即Q—c>0,所以a>c.

故cVaVb.

9.(2021年天津高考数学试题)设a=log2O3,b=logzO4,c=O403,则a,b,。的大小关系为()

2

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

【答案】D

［解析］•••log20.3<log2l=0,••a<0,

log工0.4=-log20.4=log21>log22=1,

22

•••0<O.403<0.4°=1,0<c<1,

a<c<b,

故选：D.

10.(2021年全国新高考H卷数学试题)已知Q=log52,b=log83,c=则下列判断正确的是()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<h<c

【答案】C

［解析】a=log52<logs遥=|=log82V2<log83=b,即a<c<b,

故选：C.

11.(2021年全国高考乙卷数学(理)试题)设a=21nl.01,b=lnl.O2,c=VL04-1.则()

A.a<b<cB.b<c<aC.b<a<cD.c<a<b

【答案】B

［蟀析］［方法一］:

a=21nl.01=lnl.012=)n(l+0.01)2=ln(l4-2x0.01+0.012)>lnl.02=b,

所以b<a；

下面比较c与a,b的大小关系.

记/(x)=21n(1+x)1+4x+1,则/(0)=0,r(幻=*2_2(Vi+4x-l-X)

Vl+4x(l+x)/l+4x'

由于1+4%—(1+%)2=2%—=武2—x)

所以当0<x<2时，1+4%-(1+以>0,即“+4%>(1+x),f'M>0,

所以/（X）在［0,2］上单调递增,

所以/(0.01)>/(0)=0,Kp21nl.01>x^L04-1,即a>c；

2(Vl+4r-l-2x)

令。(x)=ln(l+2x)-V1+4x+1,则g(o)=o,"a)=&-高=

(1+X)71+4X

由于1+4%-(1+2X)2=-4/,在x>0时，1+4%-(1+2%)2V0,

所以g'(%)VO,即函数9(%)在［0,+00)上单调递减,所以9(0.01)〈9(0)=0,^lnl.02<VL04-1,即

h<c；

综上，b<c<a,

故选：B.

令/(%)=In—x—1(x>1)

/⑺=券<0,即函数/(%)在(1,+8)上单调递减/•(a+0.04)</(I)=0,.-.b<c

令g(x)=21n—x+1(1<x<3)

g«)二任聋出>0,即函数g(x)在(1,3)上单调递增：g(，l+0.04)〈g(l)=0,.,.a>c

综上，b<c<a,

故选：B.

考点一：直接利用单调性

解题思路：

利用指对号函数的单调性判断

［典例1・1】设a=2'2,b=lg3,c=ln；,则a、b、c的大小顺序为()

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.c>a>b

【答案】A

【解析】由函数y=lnx,y=Igx在(0,+8)上单调递增，可得lnZ<lnl=0,0=Igl<lg3<IglO=1.

3

因函数y=2”在R上单调递增，则2=2>21=2.故In］VIni=0=Igl<Ig3<1<21-2,

即a>b>c.

故选：A

【典例1-2】(2024•高三•黑龙江鸡西•期中)已知函数/(%)=2*+%,g(x)=log2x+x,九(%)=%3+%的

零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺序为()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

［解析］由函数解析式可知三个函数在定义域上均为单调递增函数.

••7(0)=2°+0=1>0,/(-I)=2-1-1=-1<0,故一1Va<0,

:Io

,9(1)=gz1+^=-^<°»^(1)=log2l+1=1>0,故0<bVl,

h（0）=0,故c=0,

•••a<c<b.

故选：B.

【变式1-1】已知a=logs6,b=logofZ.c=e-2,比较a,b,c的大小为（）

A.b>a>cB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c

【答案】C

［解析］因为函数y=logs无在（0,+8）上单调递增，

所以a=log56<log55=1,

又c<l,所以Q>C,又因为函数y=logos%在（0,+8）上单调递减，

所以b=log052<log051=0,因为c>0,

所以b<c,综上，a>c>b.

故选：C.

［变式1-2］已知a=0.33",b=（e为自然对数的底数）c=tanl,比较a,b,c的大小（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>h>a

【答案】D

［解析］由三角函数线可得：不等式tanx>x>sinx,x6（吗），

则c=tanl>1,

又函数y=为增函数，y=0.33"为减函数，

则1>>0.33c>0.333r>0,

所以1>b>a,

综上所述：c>b>a,

故选D.

高考预测

_S3

1.（2024•江西新余•一模）故Q=停）-b=（J,C=log3y,则叫b,c的大小顺序是（）

A.b<a<cB.c<a<bC.b<c<aD.c<b<a

【答案】D

［解析］a=停）7=（J>b=>1=log3y>c=log3Y，

所以c<b<a,

故选：D

2.已知实数外方满足2a+a=2,b=logi63,则（）

A.a>bB.a<bC.u=bD.ay力的大小无法判断

【答案】A

［解析】函数/1（%）=2%+%在〃上单调递增，且/•（5=&+3<2,则由2。+。=2,得

又6=Iog163<log164=I，所以Q>b.

故选：A

考点二：引入媒介值

解题思路：

寻找中间变量0,1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定.

［典例2-1】（2024•高三•江西•期a）已知Q=ln2,匕=cos2,c=G）,则a,b,c的大小顺序为（）

A.c>a>bB.a>c>bC.b>c>aD.b>a>c

【答案】A

［蟀析］a=ln2>lnx/e=b=cos2<0,c=Q）=22=4,则c>Q>b.

故选：A

【典例2-2】三个数Q=sin。，b=25,c=ln3-ln2的大小顺序是（）

2

A.a<b<cB.c<a<b

C.a<c<bD.b<c<a

【答案】B

［解析］a=sing€（0,1）,b=2J>1,c=ln3—In2=ln1G（0,1）,

所以b最大，

因为‘<-<所以更<sin-<1,

32222

因为2<e,所以三<正，则ln?<ln代=工，所以sin?>lnW,

422222

即c<a<b.

故选：B

2

【变式2-1】已知a=log23,b=C）3，c=cos（-：7i）-sin（—：），比较a,b,c的大小为（

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>b>aD.c>a>b

【答案】B

［解析］易知c=cos（一?兀）一sin（一彳）=cosg+sin：=

22

3

a=log23>log2（2V2）=|=（I）=c>b=（1）.

故选：B

2

【变式2・2】已知Q=ln4,b=lg4,。=（；）二则（）

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<c<b

【答案】A

21

［解析］因为ln4>Ine=1,lg4<IglO=1,lg4>IgVIO=

2

所以GY<Ig4<In4,所以c<b<a,

故选:A.

高考预测

1.已知a=logo_48,b=log060.5,c=log23,则()

A.b>a>cB.b>c>aC.c>a>bD.c>b>a

【答案】D

［解析］a=log。48<log041=0,而0.62=V0.216<V0.25=0.5<0.6,

则1=log060.6<log060.5<log060.65=又。=log23>log22\/2=

所以c>b>a.

故选：D

2.已知a=£,b=萼，c=',则()

ln4inz2

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】D

【解析】由题意可得：a=^=^=log2e,b=|^=log23,c=|=log22i=log2V8,

因为3>V§>e,且、=log2%在定义域(0,+8)内单调递增，

可得logz3>log2V8>log2e,所以匕>c>a.

故选：D.

0714

3.已知a=l0gl/.7,b=1.4,c=0.7,则a,b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

1407

［解析］由于a=log140.7<log14l=0,0<c=0.7<0.7°=1=1.4°<1.4=b,

所以a<c<b.

故选：B

考点三：含变量问题

解题思路：

对变量取特殊值代入或者构造函数

2a

［典例3・1］［新考法］若0V2aVbV1,=4，%2=（2。）>，x3=b,x4=（2b）2a，则（）

A.x4<x3<<x2B.xx<x2<x3<x4

C.X2<x1<X4<x3D.%3<X4<Xi<%2

【答案】B

【解析】方法一：因为b>0,所以函数、二”在（0,+8）上单调递增.

因为a>0,所以abV（2a）b,即11Vx2

同理，由函数y=/a在（0,+8）上单调递增，得匕2aV（2b）2a,^x3<X4.

因为Ov2avb,所以（2a）2aVb2a.

因为0<2QV1,所以y=（2a尸在R上单调递减，

所以（2a>V（2Q）2a,所以（2a）b</?2a,即不<与，

所以<%2<%3<x4-

方法二：

由0V2a<bv1,令Q=；,匕=；,

82

则%=J=¥'x2=?X3=G）4=T'%=L

因为曰<!<-^<1,所以X］<x2<x3<x4.

故选:B.

mn

［典例3-2］（2024•高三•河北邢台•期中）已知1<m<7iV2,Q=n,b=m,c=lognm,则电b,c的大小

关系是（）

A.a>b>cB.b>a>c

C.c>a>bD.c>b>a

【答案】A

［解析】因为lVmV7iV2,所以y=nx,y=mx,y=log〃%在(0,+8)上均单调递增,

n1

所以Q=九优>九】>1,b=m>m>l,c=)og„7n<lognn=1,即Q>C,8>c,

对于a,b,构造函数/•(%)=等=/(％)=炭^,

易知e>x>0时，f(x)>0,即此时函数单调递增，则/(m)</(n)=臂V?,

所以汨nm<mlnn=\nmn<lnnm,

因为y=Inx在(0,+8)上单调递增，所以m"<nm,

综上a>b>c.

故选：A

【变式3・1】(多选题)已知正数a,b满足e^l-Inb)=1,则()

A.e<b<e2B.ea4->2

C.ca>bD.ea-\nb>l

［答案］BCD

【解析】对于A中，因为a>0,可得OV^Vl,又因为l-ln匕=二，所以Ovl-lnb<l,

可得OVInbVl,解得lvb<e,所以A不正确；

对于B中，由a>0,则ea>l,则e。+［二2&*=2,

当且仅当ea=2，即a=0时，等号成立，因为a>0,所以©°+义>2,所以B正确，

caca

对于C中，由函数f(x)=。》一无一1,可得/(£)=eX-l,

当x<0时，ffM<0,f(x)单调递减；

当x>0时，f(x)>0,/(x)单调递增，

所以/(X)min=f(°)=0，则f(x)=Cx-X-l>0,即C”>X+1,

当且仅当X=0时，等号成立，

因为Q>0时，因为6。(1—In匕)=1,可得1—Inb=>—Q+1,

所以Q>lnb,即ea>b,所以C正确；

对于D中，由1—lnb=e~a,所以e0+1—Inb=e°+©一。>2,可得e0-1汕>1,所以D正统.

故选：BCD.

［变式3-2］（2024•陕西西安・统考一模）设a>b>0,a+b=1且％=-f-）,y=logia,z

\a/bfl

则x,y,z的大小关系是（）

A.x<z<yB.z<y<x

C.y<z<xD.x<y<z

［答案］A

［解析］由a>b>0,a+b=1,可得0Vb<<Q<1,

则z=log/i=\oga±bab=logj_Q%=—1

\ab）abab

因为0VbV1,所以logbQ<\ogbb=1,则y=log铲=-logba>-\ogbb=-1,

因为“=<—1,所以％VzVy.

故选：A.

高考预测

1.（多选题）若0<Q<b<c,且lga+lgb+lgc=0,则下列各式一定成立的是（）

A.2a+2b>4B.ab<lC.a+c2>2D.a2+c>2

［答案］BC

［解析］因为Iga+Igb+Ige=0,所以Igabc=0,则abc=1,

又由亍0<avb<c,所以0<a<l,c>1,ab=则ab<l,故B正确；

因为:>1,所以a+c2>2A/^=2/>2,故C正确；

当a=：,b=1,c=2时，可2a+2°=&+2V4,故A错误；

当a=+，b=专，c='时，Q2+C=［+,V2,故D错误.

故选：BC.

2.(多选题)若OVaVbVl,则()

A.ab<baB.ab+1<a-^-b

1-ftla

C.a<b~D.loga(l+Z?)>logb(l+a)

【答案】AC

【解析]A选项中，因为0VQV1,故丫=户在R上单调递减，故成Va。，

因为y=产在(0,+8)上单调递增、故综上，Qb<Qa<ba,A正确；

B选项中，由于。+匕一。6—1=(。-1)(1一/?)<0,而已知0<。</7<1,所以B不正确；

C选项中，Q-b<br-a=(1一b)\na<(1-a)lnb=署〈矍，

设/(%)=整(0V%V1)，则/。)=^^(0<x<1)，

I1X)

设g(x)=Inx+—1(0<x<1),

则，(%)=妥Vo=9M>9(1)=0nf(x)>0,

所以/(%)在(0,1)上递增，这样/(a)Vf(b),故C正确;

D选项中，取a=J,b=；,则loga(l+b)=log』=logz零，1og》(l+a)=唾弁，

又殛=2>U>],故loga(l+b)=logA〈logb(l+a)=log^,所以D错误.

3999§3,

故选：AC.

考点四：构造函数

解翘思路：

构造函数比大小是高考数学的重点考点，它可以从“形”与“数”两个角度入手解题。

“形”的构造：不等式两边的结构相似时，我们可以构建一个函数，通过分析这个函数的单调性，进而根据

“若函数g(x)单调递增，则玉2/Og(x)2g(x2)；若函数/(X)单调递减，玉=g(X|)Wg(X2)”

判断.

“数”的构造：观察到待比较式子间数与数的关系后，我们可据此构造函数.

【典例4-1】(2024,陕西咸阳•模拟预测)已知Q=四四,6=g,c=L，则Q,Ac的大小为()

262e

A.b>c>aB.a>b>cC.b>a>cD.c>b>a

【答案】D

【解析】因为0=竽=当=.，c=j-=^

设/。)=詈,%>0,

则/'(，)=*=寄，

所以当x6(0,e)时，r(x)>0,/(x)单调递增；

当x£(e,+8)时，f(%)<0,/Xx)单调递减；

所以a=/(2)</(e)=c,b=/(3)</(c)=c,

又因为。=叽=胆=岭<吧=3=里=6

4121212126

所以c>b>a.

故选：D.

【典例4-2】(2024•全国•模拟预测)若。=坐，匕=4,c=—,则a,b,c的大小顺序为()

e，2e4

A.a<c<bB.c<a<bC.a<b<cD.b<a<c

【答案】B

【解析】构造函数/(%)=詈，则Q=/(?),b=/(c),C=/(2),

由/'(%)=与等，令/'(%)>0得0<x<e,令尸(%)<0得%>c.

则/(%)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减.

因为2<e,所以f(2)<f(e),所以c<b；

因为e<?,所以/(e)>f(?),所以8>a；

令与％2=e2,且1V与veV%2，则/QD—/(小)=/(9)_/(3)=等一(2-劈】七

令0(幻二野一^^,xG(l,e),

则/(幻=等一等=(1一］nx)会>0,

所以g(x)在(l,e)上单调递增,

又0(e)=O,所以g(x)<0,所以/(%1)</(无2)，

因为］x2=e2,且1<2Ve<］,所以Q=/(］)>f(2)=c,所以c<QVb.

故选：B

［变式4-1］［新考法|设函数/(x)=x+Inx,g(x)=xlnx-1,h(x)=1--+-+工在(0,+8)上的零点分

X23

别为a,瓦c,则a,瓦c的大小顺序为()

A.c<b<aB.b>c>a

C.c>a>bD.b>a>c

【答案】B

【解析】因为/'(%)=x+lnx,f(x)=l+i>0,所以f(x)在(0,+8)上单调递增，

又因为f©=3-也20<0,/(1)=10>0,所以存在aeG，l)使得/'(a)=0,

所以aE&l),

因为。(幻=xlnx-1,g'(x)=Inx+1,令g'(x)=0,解得

当xe(0,》时，g'(x)v0,则g(z)在(0*)上单调递减，

当xG(：,+8)时，g，(x)>0,则g(x)在(0,：)上单调递增，

又因为g(l)=-1<0,g(2)=21n2-1>0,bG(1,2),

又/i(x)=l-1+：+9,xe(0,+oo),所以/fa)=g+(+±>o,所以/i(x)在(0,+8)上单调递增，

又Jig)VO,h(l)>0,所以存在CW&1)使得h(c)=O,所以b最大,

因为占g=2二焉,高所川吗>1笠=1M一%/

，图=呜+江-0.5+空0,

25

又章)=1号+卷+曰<。，・"£61)

a<c<b,

故选:B.

［变式4-2］已知a=V5,b=lnfV5+1),c=三六，试比较a,b,c的大小()

A.a>c>hB.a>h>cC.h>a>cD.c>h>a

【答案】B

[解析】设m(x)=Inx—x+1,

则当x>1时m'(x)=§-1<O,m(x)单调递减，

故m(遥4-1)=ln(V54-1)-(V5+1)4-1<m(l)=0,

故In(遥+1)<V5,进而b<a,

设n(x)=4lnx+x-6,

由于函数y=Inx和y=x均为定义域内的单调递增函数，

所以n(x)=41nx+x-6为(3,+8)上的单调递增函数，

因此“6+1)=41n(V5+1)+(遍+1)—6>n(3)=41n3-3>0,

故41n(6+1)+(e+1)—6>0=ln(V5+1)>-叱皿=子，

故6>c,

因此Q>b>c,

故选：B

高考预测

1.已知a=ln(sinl.O2),b==lnl.02,贝)]()

51c

A.a<b<cB.c<a<bC.a<c<bD.b<a<c

【答案】C

【解析】因为y=sinx在(0,；)内单调递增，

=sinO<sinl.02<sin]=1,即sinl.02e(0,1)♦

又因为y=In%在(0,4-oo)内单调递增，

则a=ln(sinl.O2)<Ini=0,c=lnl.02>Ini=0,可得a<c；

令x=0.02,则c=ln(l+x),

构建f(x)=ln(l+x)-^==,x>0,

则/a)二工一际一品=-(际？<o,

7'J1+x1+x2(1+X)V1+X

可知/'(%)在(0,+8)上递减，则/(0.02)V/(0)=0,即cvb;

综上所述：Qvc<b.

故选：C.

2.若a=g,b=cos(g—g)，c=：,则a、b、c满足的大小关系式是().

A.a>b>cB.a<b<cC.a>c>hD.b>c>a

【答案】A

【解析］显然:>工，即a>c,而》=cos(：—三)=sin；,

37i323

设/(%)—x—sinx(0<x<1),求导得/'(x)=1—cosx>0,fQ)在(0,1)上单调递增,

则f(x)>/(O)-0,即/OVxVl时，x>sinx,因此a=->sin-=b；

33

设g(x)=sinx—x+—(0<x<1),求导得g'(x)=cosx—1+—,

62

x2

令(p(x)=cosx-14-y(0<x<l),@'(x)=—sinx4-x>0,

则函数9。)，即“(不)在(0,1)上单调递增，g'a)>g'(o)=o,

即函数g(x)在(0,1)上单调递增，于是g(x)：>g(0)=0,则当0<%VI时，sinx>x-^,

6

从而sin2>2—玄二巳一」-二竺七0.327,而2ao.318,即有b=sin2>上=c,

3363162162n3n

所以a>b>c.

故选：A

3.设。=V3—1,匕=二c=1—In三，则()

22

A.c>a>bB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

【答案】B

［解析］因为a=Vc-1>VZ25-1=1,所以a>b；

因为函数y=Inx单调递增，Ve>|,所以吗<111捉，即呜<g则1一］蟾>：,所以c>b；

构造函数/(外=e*T-2x+1+Inx,则尸(无)=e"I-2+p

令g(%)—ex-1-2+则g'(%)=ex-1—点，

显然g'G)在［1,+8)上单调递增，所以g，(%)>g，⑴=0,

故尸(%)在［1,+8)上单调递增,所以尸(%)之/■'⑴=0,所以f(x)在［1,+8)上单调递增,

从而/G)>八1)=°，故有五-2x,+1+ln；>0,整理得

所以Q>C,故Q>C>b.

故选：B

考点五：数形结合

解题思路：

转化为两函数图象交点的横坐标

【典例5・1】函数/(%)=2乂+无，gM=log2x+x,h(x)=4+x的零点分别为Q,b,c,则Q,b,

的人小顺序为()

A.a>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b

【答案】C

【解析】令f(x)=0,即2"=T,

令g(x)=0,即log2%=一%,

令人(%)=。，即近二一工，分别作出y=2，y—log2x,、=返和、=一刀的图象,

如图所示：

故选：C.

【典例5・2】实数a,b,c£R满足。-4=m2<0,/?-3=ln^<0,c-2=ln^<0,则a,b,c的大小为

432

()

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>c>aD.c>b>a

【答案】D

［解析】设/(幻=x-lnx,则〃(x)=号，令f'(x)>0=x>1,ffW<0=>x<l,

・•./(%)在(0,1)上单调递增,在(1,+8)上单调递减,/(x)>/(I)=1

由条件可知f(a)=/(4)>f(b)=/(3)>/(c)=f⑵,

且=d-3=ln^<0,c-2=ln^<0,故有Q<4,bV3,c<2,

432

如下图所示，件出函数简图，可知a,b,c<l,由，(a)>f(b)>f(c)fa<b<c,

【变式5・1】|新考法|已知函数/(力=三.设a+b+c=0,abc<0,则()

A.f(a)+f(b)+f(c)<IB.f(a)+f(b)+f(c)转

C./(a)+fW+fM>|D./(a)+