高考数学考前预习：函数与导数

函数与导数(12)

1.[2019•辽宁沈阳教学质量检测]已知函数Xx)=(x-1)2+

mlnx,m^R.

(1)当m=2时，求函数«r)的图象在点(1,0)处的切线方程；

(2)若函数,/U)有两个极值点即，X2,且不＜%2,求华1的取值

范围.1

解析：(1)当阳=2时，J(x)=(x—l)2+21nx,f(x)=2(x—1)

所以/(1)=2,即切线斜率为2,

又切点为(1,0),所以切线方程为Zv—y—2=0.

IY1

(2)函数的定义域为(0,+°°),/(x)=2(x—1)+:=

lx?—2x+"

x•

因为汨，©为函数1犬)的两个极值点，所以为，©是方程

—2x+m=0的两个不等实根，由根与系数的关系知汨+、2=1,

X1'2=E，(*)

又X1<X2,所以易知0<5<3<X2V1,

等=翅二咛3,将(*)式代入得

4[A]

©1=(X2-1)2+2顼1-枷应=]f+%]n检

为1~X2

令g⑺=1—r+2Hnhre1

则g，(0=21nt+1,令g'(。=0,解得，=1.

当P强田时，g'⑺〈O’g⑺在佳，山上单调递减;

,“时，gf(0>0,g⑺在七,

当re1上单调递增.

7

“ICl22\/e(1}

所以g(，)min=g[R=l一%=1一寸,g«)vmaxjg⑸，g(l)卜

1-ln2<0=g⑴，

的取值范围是[i—芈，0.

,e7

2.[2019•陕西省高三教学质量检测]已知〃£R,函数"Y)=

x2—alnx.

⑴讨论函数（r）的极值；

⑵当tz>0时,方程段）=依存在唯一的实根，求实数a的值.

解析：（1）函数«x）=/—Hnx的定义域为（0,+°°）,

厂“a2X2一。

且/（工尸2%--=-.

当时,f（x）>0,加0在（0,+8）上单调递增，段）无极

值;

若xe（o,苗2]，/w<o,y（x）单调递减;

当a>0时,

若研，+°°]»/（x）>0，/U）单调递增,

所以7U）有极小值无极大值.

综上，当时，大X）无极值;

当a>0时，4)有极小值1一飘*无极大值.

(2)令/t(x)=f(x)—ax=x2—alnx-ax,

外,a2^—ax—a

则h(x)=2x—~—a=---------.

因为。>0,x>0,令/?'(x)=0,得沏="+；+8",

所以力(x)在(0,向)上单调递减，在(xo,+8)上单调递增,

所以人⑴的极小值/2(加=0,

即看一“In的一6°=0,①

且2看一axo—Q=0,②

联立①②可得21nxo+x。-1=0.

2

令m(x)=21nx+x—1,得m'(x)=一X+1>0,

故阳(x)在(0,+8)上单调递增.

又加(1)=0,所以沏=1,

即"甲双],

解得a—1.

2

•东北三省四市一模]已知函数

3.[2019QER,.«x)=X-+Hnx,

xe(0,6).

(1)讨论人x)的单调性；

(2)若x=2是信)的极值点,且曲线y=/(x)在两点P(xiJUD),

2(X2,大处))342)处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截

距分别为人仇，求从一岳的取值范围.

解析：(l)fa)=-£+f=^r^,x£(0,6),

・••当〃W0时，/(x)<0在x£(0,6)上恒成立，

・・・/(x)在(0,6)二单调递减，无单调递增区间；

21

当〃>0,且426,即0<QWQ时，f'(x)<0在(0,6)上恒成

wf—J

立，

・・・火幻在(0,6)二单调递减，无单调递增区间；

21(2、

当。>0,且;;<6,即时，在入£0,-±,/(x)<0,在

(2)

xe-6±,/(x)>0,

(2、(2)

・・・人九)在0,々上单调递减，在彳6上单调递增.

综上，当时，7W在(0,6)上单调递减，无单调递增区间；

当月时，於)在(0,三上单调递减，在层6)上单调递增.

2

(2)Vx=2是式x)的极值点，J由(1)可知力=2,

***6Z=1.

则曲线y=#x)在P3,#为))处的切线方程为y—佟+ln=|=

\A1)

(2.1]

〔一京+京(x—为)，

2W211

在。(松，|处))处的切线方程为y——+\nx=-7+7(X—

\A227\人242，

也),

21

・・,这两条切线互相平行，・.・一京+3

X\X22，

・1_1±又°4仆2<6,.1111.111

-

**X2262x\x\4xi3

.•・汨£(3,4).

44

令x=0,则〃i=1+lnxi—1,同理，%=1+1。尤2-1.

X\X2

(2n1工_1

「・仇—匕2=4a_1、+lnxi—lnx2=47一7—In—+ln

一Ui2；Xi

Jix2>XIJXI>

令T(n

,则g(£)=412L引Tn/+ln

,1116^-8/+1(4L1>

.•・g⑺=8-7一1=2-」=亍7<0

fl

・・・g⑺在区间q布"3上递减，得朝<g⑺<七｝

2(2、

即q-In2Vg⑺v().故小一岳的取值范围是In2,0.

4.[2019•湖北黄石一中第二次模拟]已知函数氏0=炉一/,

g(x)=xlnx~~+5.

X

⑴讨论g'(x)的单调性；

(2)若V加，〃£292，/(加)一g(〃)+2<0恒成立，求实数a

的取值范围.

解析：(l)g'(X)=%+lnx+l(x>0),令E(x)=g'(x),则尸(x)

x2-2Q

=-p—(x>0).

①当。<0时，/。)>(),所以建(x)单调递增.

②当a>0时，屋⑴在区间(0,怎)上单调递减；在区间(也,

+8)上单调递增.

⑵由题意得/eg,2时，g(X)min》网)+2]max恒成立.

因为l/U)+2「=31-2x=x(3x-2),

―12]「2一

所以当/专，时，函数y=/(x)+2单调递减；当工£匕，2

时，

函数y=/U)+2单调递增.

又娘+2勺⑵+2=6,所以当2,孙)+2]max=6.

所以工£2时，ga)min2[/U)+2]max恒成立，可转化为

5,2时，g(x)=;dnx—9+5N6恒成立，即aW/lnx—x恒成

立.

设h(x)=^\nx—x,则h'(x)=2x\nx+x—1.

设0(x)=/2'(x)=2xlnx+x—1,当2时，9'(x)=2In

x+3>0,

可知今(x)在;，2上单调递增，又/(1)=0.

所以当xe1,1时，hf(^)<0,〃(x)单调递减；当了£口,2]

时，〃'(%)>(),/©)单调递增.

所以/z(x)min=/l(l)=-1.所以实数a的取值范围为(一8,—

1].

5.[2019•河南洛阳市高三统一考试]已知函数/WUnx+J2

一2"(正R).

(1)讨论於)的单调性;

.3

(2)若/U)有两个极值点X1，冗2，且M<X2，证明：凡V2)V—,

解析：(1)/(%)=Inx+^~2kx,x£(0,+0°),

,,..1,x2—2H+1

所以/M=~+x~2k=---------，

・14

①当ZW0时，/(尢)>0,所以“X)在(0,+8)上单调递增；

②当Q0时，令心)=f—2日+1,

当/=43一4＜0,即0＜Z〈l时，*x）20恒成立，即/（x）20

恒成立，

所以./U）在（0,+8）上单调递增，

当/=43一4〉（），即Q1时,炉一2日+1=0,

则心）的两根为k±\llc—\,

所以当x£（（）,Z—，公一1）时，f（x）＞0,

当—yj/c—1,4+.A2—1）时,f（x）＜0,

当（出+［小—1,+8）时，/（x）＞0,

故当攵£（一8,1］时，兀r）在（0,+8）上单调递增;____

当攵£（1,+8）时，/U）在（。，%一［当—1）和（攵+=公一1,十

8）上单调递增，在（攵一自设-1,攵+2/—1）上单调递减.

（2）证明：y（x）=ln2丘（心＞0）,

f(x)=^+x—2k,

人

由（1）知当&wi时，火幻在（0,+8）上单调递增,此时段）无

极值，

当上＞1时，f(x)=：+x—2Z=x2-2丘+1

x

由，（x）=0,得x2—2日+1=0,

J—4（Z?—1）＞（）,设♦—2Ax+1=0的两根为Xi,X2,

则汨+必=2攵，为•冗2=1,

其中0＜¥|=攵一年炉一1＜1VX2=＜+\M—1,

段）在（0,即）上量调递增，在（即，即）上单调递减，在（必+

8）上单调递增.

从而兀¥）有两个极值点汨，X2,且汨＜¥2,

火工2）=In必+彳於-2日2

—In、2+%3—(X1+尤2)12

=lnX2

—1,

令g(x)=lnx一/一1(元＞1),

则g'(x)=J—x<0,

所以g(x)在(1,+8)上单调递减,

且g⑴=一|,且«X2)<一|・

6.［2019•重庆铜梁一中月考］已知〃£R,函数於)=ln(x+l)

一/+办+2.

(1)若函数式幻在［1,+8)上为减函数，求实数。的取值范围；

(2)令〃=—1,Z?£R,已知函数g(x)=b+2/?x—%2,若对任

意汨£(—1，+8),总存在松£［—1,+°°),使得火为)=熟>2)

成立，求实数的取值范围.

解析：(1)因为«x)=ln(x+1)—e+ca+Z,x£(—1,+°°),

所以，(x)=},—2X+CL

要使在［1,+8)上为减函数，则需/，*)W0在［1,+8)

上恒成立，

即4・21—不、在［1,+8)上恒成立.

易知21一士在［1,+8)上为增函数，所以2x一士在口，

人I1人I1

+8)上的最小值碧3，所以3即〃的取值范围为(一