柱、锥、台的体积【教学课件】 2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

6.6.2柱、锥、台的体积学

习

目

标12

理解柱、锥、台体积公式之间的内在联系，体会”特殊与一般”的数学思想新课引入🏭情境二：历史情境引入祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”——南北朝数学家祖暅意思是：两个几何体如果被平行于底面的任意平面所截得的截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。祖暅利用这一原理推导球的体积公式，同时也适用于柱体体积的推导。互动探究

分组实验：每组准备：等底等高的圆柱容器和圆锥容器各一个、细沙（或水）操作步骤：1.用圆锥容器装满细沙2.倒入圆柱容器中3.记录需要倒几次才能装满圆柱实验次数圆锥体积圆柱体积比值123结论：

这个实验结果对棱锥和棱柱是否也成立？互动探究互动二：公式关系探究——柱、锥、台的”一家人”思考：当台体的上底面S'=S时，台体变成什么？体积公式变成什么？当台体的上底面S'=0时，台体变成什么？体积公式变成什么？推导：

构建体系柱锥台的体积知识点一：柱体体积

分类内容详情推导思路依据祖暅原理：等高的两个几何体，若所有等高处截面面积恒相等，则体积相等2.任取柱体，构造同底面积S、同高h的长方体3.柱体与长方体任意等高处截面面积均等于底面积S，截面面积处处相等4.二者体积相等，即：==Sh适用范围棱柱、圆柱等一切直/斜柱体通用构建体系柱锥台的体积知识点二：锥体体积

序号推导方法详细推导步骤核心结论1实验法已在互动中完成可通过实验验证三棱锥体积与对应棱柱的体积关系2分割法一个三棱柱可以分割成三个等体积的三棱锥；2.三棱柱ABC-A₁B₁C₁可分割为：①三棱锥A₁-ABC②三棱锥A₁-BCC₁③三棱锥A₁-AB₁C₁3.可证明三个三棱锥等底等高，体积相等==Sh构建体系柱锥台的体积知识点三：台体体积

序号推导方法详细推导步骤核心结论1补形法1.将圆台补成完整的圆锥；2.设圆台上底面半径为r，下底面半径为R，高为h；3.设补上的小圆锥高为h₁，则大圆锥高为h₁+h；4.由圆锥相似性：=，解得h₁=；5.圆台体积=大圆锥体积-小圆锥体积，即：=-=πR²(h₁+h)-πr²h₁；6.代入h₁化简后得到最终公式。V=2直接公式法1.对于一般台体，存在通用体积计算公式；2.设台体上底面面积为S’，下底面面积为S，高为h；3.直接代入通用台体体积公式计算。V=典例分析类型一柱锥台的体积

典例分析类型一柱锥台的体积例2.已知一正四棱台的上底边长为4cm，下底边长为8cm，高为3cm.求其体积.

典例分析类型一柱锥台的体积

典例分析类型一柱锥台的体积

典例分析类型一柱锥台的体积例4.

(2)已知圆台的上、下底面半径和高的比为1:4:4，母线长为10，则圆台的体积为224π。

典例分析类型一柱锥台的体积

典例分析类型二利用体积关系求体积

典例分析类型二利用体积关系求体积

方法小结等体积法是针对当所给几何体的体积不能直接套用公式或涉及的某一量（底面积或高）不易求解时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算，该方法尤其适用于三棱锥的体积。典例分析类型三割补法求体积例8.如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方形，EF∥AB，EF=2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该多面体的体积。

典例分析类型三割补法求体积例9.如图，在△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，DB⟂平面ABC，且AE∥FC∥BD，BD=3，FC=4，AE=5。则此几何体的体积为▁。

方法小结对于给出的一个不规则的几何体求其体积时，不能直接套用公式，常常需要通过“割”或“补”化复杂图形为已熟知的简单几何体，并作体积的加、减法，从而较快地找到解决问题的突破口。举一反三

举一反三

举一反三

3.已知体积为52的圆台，一个底面积是另一个底面积的9倍，那么截得这个圆台的圆锥的体积是

A.54

B.54πC.58D.58π举一反三

举一反三

举一反三

5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PBC为正三角形，M，N分别为PD，BC的中点，PN⟂AB。求三棱锥P-AMN的体积。学海拾贝📌知识网络几何体体积公式关键点柱体底面积×高锥体

因子台体统一形式学海拾贝📌核心思想数学思想：-