球的表面积和体积【教学课件】 -2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

6.6.3球的表面积和体积学

习

目

标123

1.经历从实际问题抽象出数学模型的过程2.体会”以直代曲”的极限思想3.培养空间想象能力和运算求解能力1.感受数学与生活的密切联系2.体会中国古代数学成就（祖暅原理），增强文化自信新课引入🌍情境一从微观的细胞、晶莹的露珠，到宏观的足球、篮球，再到我们赖以生存的地球，球体是自然界和人类生活中最常见、最完美的几何形状之一。新课引入🌍情境二想象一下，如果我们要给一个巨大的球形储气罐刷上防锈漆，需要计算多大的面积？或者，想知道一个西瓜大概有多重，如何通过测量它的尺寸来估算它的体积？这些问题都指向了本节课的核心——如何计算球的表面积和体积。让我们一起揭开球体度量的奥秘。互动探究活动一：类比猜想球的表面积和体积我们学过，用一个平面去截一个圆，会得到一条弦。那么，如果用一个平面去截一个球，截面会是什么图形呢？可以借助手中的篮球或地球仪进行模拟，然后分享猜想。互动探究圆柱与球的”巧合”球的表面积和体积材料：每组准备一个半球模型、一个底面半径和高都等于球半径的圆柱模型（无底）任务：1.观察：半球的截面与圆柱挖去圆锥后的截面有什么关系？2.猜想：半球体积与圆柱（挖去圆锥）体积有什么关系？

互动探究体会极限思想球的表面积和体积类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积。如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”。

构建体系1.球的截面与切线球的表面积和体积球的截面定义：用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面。大圆：截面经过球心时得到的圆。小圆：截面不经过球心时得到的圆。核心性质：球心与截面圆圆心的连线垂直于该截面。球的半径R、截面圆的半径r和球心到截面的距离d构成一个直角三角形，满足关系式：R²=r²+d²。构建体系1.球的截面与切线球的表面积和体积球的切线定义：当一条直线与球有且仅有一个公共点时，称这条直线与球相切，该公共点称为切点。核心性质：过球外一点的所有切线长都相等。

构建体系2.球的表面积与体积公式球的表面积和体积公式

体验：已知一个球的体积为36π，求该球的表面积。

典例分析题型1球的表面积和体积例1如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰激凌，如果冰激凌融化了，会溢出杯子吗？(假设冰激凌融化前后体积不变)

典例分析题型1球的表面积和体积例2:一个圆柱形的玻璃瓶的内半径为3cm，瓶里所装的水深为8cm，将一个钢球完全浸入水中，瓶中水的高度上升到8.5cm.求钢球的半径.

典例分析题型2球的截面例3.已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=18，BC=24，AC=30，求球的半径。

典例分析题型2球的截面

典例分析题型3与球有关切接问题球的切线：与圆和直线相切类似，当直线与球有唯一交点时，称直线与球相切，这一交点称为直线与球的切点，过球外一点可以作无数多条球的切线。几何体的外接球：球面经过多面体的所有顶点的球，叫做多面体的外接球；球面经过旋转体的底面圆周和顶点(如果有顶点的话)的球，叫做旋转体的外接球。几何体的内切球：与多面体(旋转体)的各个面都相切的球，叫做多面体(旋转体)的内切球。典例分析题型3与球有关切接问题

典例分析题型3与球有关切接问题

典例分析题型3与球有关切接问题

常用结论

举一反三

举一反三

举一反三

举一反三

举一反三

学海拾贝知识小结

学海拾贝关键思想和数学文化将空间问题转化为平面直角三角形问题来求解。我们了解了祖暅原理，感受到了中国