2026版高考物理考前讲义专题04 曲线运动（抛体运动、圆锥摆模型、绳球和杆球模型等）（四大题型）（原卷版）

曲线运动（抛体运动、圆锥摆模型、绳球和杆球模型）

【题型一】平抛运动

【例1】如图，在某军事演习区正上方距离地面4000m高空悬停着上万只无人机形成无人机群（可视为质

点），每只无人机携带一颗炸弹，无人机群向水平方向及以下方向无死角的以初速度v010m/s抛出炸弹，

在距离地面2000m处设置面积为3000m2的拦截炸弹区，不计空气阻力，以面积比为拦截炸弹比，取

g10m/s2，π3，则拦截炸弹比约为（）

A．0.5B．0.25C．0.05D．0.025

1．“化曲为直”思想在平抛运动中的应用

根据合运动与分运动的等效性，利用运动分解的方法，将其转化为我们所熟悉的两个方向上的直线运动：

(1)水平方向的匀速直线运动；

(2)竖直方向的自由落体运动。

2.做平抛运动的物体，落点不在水平面上，而是在斜面、竖直面、弧面上时，应将平抛运动的知识与几何

知识结合起来，分解速度或分解位移，在水平方向和竖直方向分别列式求解。

【例2】人们常用水泵从深水井中抽水灌溉农田，简化模型如图所示，出水管口最下端距水平地面一定高

度，出水管口横截面是圆，不计空气阻力，假如水从管口水平喷出的速度恒定，水流在空中不会中断，则

水柱落在水平地面上的形状大致是（）

A．B．C．D．

【变式1】如图所示，AB是四分之一圆弧，固定在竖直面内，O是圆心，OA竖直，C是圆弧上的一点，

D是OA上一点，CD水平，a、b、c三点将OD四等分，在O、a、b、c四点分别水平抛出一个小球，

小球均落在C点，若小球落在C点时能垂直打在圆弧面上，则小球的抛出点一定在（）

A．O点B．a点C．b点D．c点

【变式2】如图所示，弹珠发射器（可视为质点）固定于足够高的支架顶端，支架沿着与竖直墙壁平行的

方向以速度v1水平运动，同时弹珠发射器可在水平面内沿不同方向发射相对发射器速度大小为v2（v2>v1）

的弹珠。弹珠从发射到击中墙壁的过程中水平方向位移为x，竖直方向位移为y。已知发射器到墙壁的垂直

距离为L，重力加速度为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（）

vv

A．x的最小值为1LB．x的最小值为2L

v2v1

gL2gL2

C．y的最小值为2D．y的最小值为22

2v22(v2v1)

【变式3】（多选）无人机依靠其强大的机动性与灵活性，在事故现场可以为救援工作提供有力的支持。如

图，某次救援演练中一架无人机正对一山坡水平匀速飞行，先、后释放几个相同的物资包均落到山坡上，

忽略空气阻力，则先释放的物资包落在山坡前瞬间（）

A．重力势能一定较大B．动能一定较大

C．机械能一定较大D．竖直方向速度一定较大

【题型二】圆锥摆模型

圆锥摆模型

(1)圆锥摆模型的受力特点

受两个力，且两个力的合力沿水平方向，物体在水平面内做匀速圆周运动。

(2)运动实例

运动模型向心力的来源图示

飞机水平转弯

火车转弯

圆锥摆

物体在光滑半圆形碗

内做匀速圆周运动

(3)规律总结

①圆锥摆的周期

如图，摆长为L，摆线与竖直方向夹角为θ。

受力分析，由牛顿第二定律得：

4π2

mgtanθ＝mr

T2

其中r＝Lsinθ

Lcosθh

解得T＝2π＝2π。

gg

②结论

a．摆高h＝Lcosθ，周期T越小，圆锥摆转得越快，θ越大。

mg

b．摆线拉力F＝，圆锥摆转得越快，摆线拉力F越大。

cosθ

c．摆球的加速度a＝gtanθ。

(4)圆锥摆对比分析的两种常见情况

情况1：具有相同摆角的圆锥摆(摆长不同)，如图甲所示。

2

2v

由a＝gtanθ知A、B的向心加速度大小相等。由a＝ωr知ωA<ωB，由a＝知vA>vB。

r

情况2：具有相同摆高、不同摆长和摆角的圆锥摆，如图乙所示。

h2

由T＝2π知摆高h相同，则TA＝TB，ωA＝ωB，由v＝ωr知vA>vB，由a＝ωr知aA>aB

g

【例1】如图所示，让装有水的玻璃杯绕过其侧面的竖直轴匀速转动，杯中液面形状可能正确的是（）

A．B．C．D．

圆周运动动力学问题的解题方法

(1)对研究对象进行受力分析，确定向心力来源。

(2)确定圆周运动的轨道平面，确定圆心和轨道半径。

(3)应用牛顿运动定律和圆周运动知识列方程求解。

【例2】如图甲所示，游乐场里有一种空中飞椅游戏，可以将之简化成如图乙所示的结构装置，装置可绕

竖直轴匀速转动，绳子与竖直方向夹角为θ，绳子长L，水平杆长L0，小球的质量为m。不计绳子重力和空

气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（）

A．装置中绳子的拉力为mgtanθ

gtan

B．装置转动的角速度为

L0Lsin

Lcos

C．装置转动的周期为2π

g

D．装置旋转一周，小球的动量变化为0

【变式1】小车内固定有垂直于运动方向的水平横杆，物块M套在横杆上，一个小铁球用轻质细线吊在物

块底部。当小车以恒定速率v通过某一水平弯道时（可视为圆周运动），细线与竖直方向的夹角为，如图

所示。若小车以更大的恒定速率通过该弯道，设小车在通过弯道的过程中，小球、物块与小车均保持相对

静止，下列说法错误的是（）

A．细线与竖直方向的夹角变大B．细线对小球的拉力变大

C．横杆对物块的摩擦力变大D．横杆对物块的支持力变大

【变式2】如图所示，制作陶瓷的圆形工作台上有A、B两陶屑随工作台一起

转动，转动角速度为，A在工作台边缘，B在工作台内部．若A、B与台面

间的动摩擦因数相同，则下列说法正确的是（）

A．当工作台匀速转动，A、B所受合力为0

B．当工作台匀速转动，A、B线速度大小相等

C．当工作台角速度ω逐渐增大，陶屑A最先滑动

D．当工作台角速度ω逐渐增大，A、B所受的摩擦力始终指向轴OO

【变式3】（多选）一根轻质细线一端系一可视为质点的小球，细线另一端固定在一光滑圆锥顶上，如图1

所示，设小球在水平面内做匀速圆周运动的角速度为，线的张力T随2变化的图像如图2所示（图中数

值单位均为国际单位），g取10m/s2。下列说法正确的是（）

A．细线的长度为1mB．细线的长度为0.5m

C．小球的质量为2kgD．小球的质量为3kg

【题型三】绳球与杆球模型

1．在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：一是无支撑(如球与

绳连接、物体沿内轨道运动等)，称为“绳(环)约束模型”；二是有支撑(如球与杆连接、物体在弯管内运动等)，

称为“杆(管)约束模型”。

2．绳、杆模型涉及的临界问题

绳模型杆模型

常见

类型

均是没有支撑的小球均是有支撑的小球

受力除重力外，物体受到的弹力向下或除重力外，物体受到的弹力向下、等

特征等于零于零或向上

受力

示意图

过最高

由小球恰能做完整的圆周运动得

v2v临

点的临由mg＝m得v临＝gr

r＝0

界条件

(1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，

沿半径背离圆心；

(1)过最高点时，v≥gr，FN＋mg＝v2

(2)当0<v<gr时，mg－FN＝m，FN

v2r

讨论m，绳、圆轨道对球产生弹力FN；

r背离圆心，随v的增大而减小；

分析

(2)不能过最高点时，v<gr，在到达

(3)当v＝gr时，FN＝0；

最高点前小球已经脱离了圆轨道v2

(4)当v>gr时，FN＋mg＝m，FN指

r

向圆心，并随v的增大而增大

【例1】（多选）某摩天轮的直径达120m，转一圈用时1600s。某同学乘坐摩天轮，随座舱在竖直平面内

做匀速圆周运动，依次从A点经B点运动到C的过程中（）

3

A．角速度为rad/s

20

B．座舱对该同学的作用力一直指向圆心

C．重力对该同学做功的功率先增大后减小

D．如果仅增大摩天轮的转速，该同学在B点受座舱的作用力将增大

【例2】“泼水成冰”是一项极具视觉冲击力的冬日奇观。具体操作是把一杯滚烫的开水按一定的弧线均匀

快速地泼向空中，泼洒出的小水珠和热气被瞬间凝结成冰而形成壮观的场景。如图甲所示是某人玩泼水成

冰游戏的精彩瞬间，其示意图为图乙，P为最高点，在最高点时杯口朝上，泼水过程中杯子的运动可看成匀

速圆周运动，人的手臂伸直，臂长为0.6m，人在0.4s内把杯子旋转了240°，重力加速度g10m/s2。下列

说法不正确的是（）

A．P位置的小水珠速度方向沿b方向

10π

B．杯子在旋转时的角速度大小为rad/s

3

C．从Q到P，杯子所受合外力的冲量为零

【变式1】如图所示，支架固定在底座上，它们的总质量为M。质量分别为2m和m的小球A、B（可视

为质点）固定在一根长度为L的轻杆两端，该轻杆通过光滑转轴O安装在支架的横梁上，O、A间的距离为

L

，两小球和轻杆一起绕轴O在竖直平面内做圆周运动，运动过程中支架和底座一直保持静止。当转动到

3

图示竖直位置时，小球A的速度为v，重力加速度为g。对于该位置，下列说法正确的是（）

A．小球A、B的向心加速度大小相等

B．小球A的向心力大于B球的向心力

gL

C．若v，则底座对水平地面的压力为Mg＋2mg

3

D．A、B两球恰好做匀速圆周运动

【变式2】如图所示，一个光滑导轨长臂水平固定、短臂竖直，系有没有弹性轻绳的轻质圆环套在长臂上，

轻绳另一端与质量为1kg的小球相连。左手扶住圆环右手拿起小球将轻绳水平拉直，已知轻绳长度为L1m，

此时圆环距短臂x0.4L，重力加速度为g10m/s2，若将圆环与小球同时释放，则（）

A．小球开始做圆周运动

B．小球运动过程中机械能守恒

C．小球运动的最大速度大小为4m/s

D．小球运动到最低点前瞬间对绳子的拉力大小等于30N

竖直面内圆周运动问题的解题思路

【题型四】圆周运动与平抛运动的综合问题

一圆周运动与平抛运动的综合问题，是高考的热点，也是高考的重点。此类综合问题主要是水平面内的圆

周运动与平抛运动的综合考查和竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合考查。一般分为两类：

一、水平面内的圆周运动与平抛运动的综合问题

1．此类问题有时是一个物体做水平面上的圆周运动，另一个物体做平抛运动，特定条件下相遇，有时是

一个物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，有时还要结合能量关系分析求解，多以选择题或

计算题考查。

2．解题关键

(1)明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。

(2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。

(3)速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。

二、竖直面内的圆周运动与平抛运动的综合问题

1．此类问题有时物体先做竖直面内的变速圆周运动，后做平抛运动，有时物体先做平抛运动，后做竖直

面内的变速圆周运动，往往要结合能量关系求解，多以选择题或计算题考查。

2．解题关键

(1)竖直面内的圆周运动首先要明确是“轻杆模型”还是“轻绳模型”，一般要分析物体能够到达圆周最高点的

临界条件。

(2)速度也是联系前后两个过程的关键物理量。

【例1】（多选）如图所示，长为1.0m的细绳一端固定在P点，另一端拴接质量为1.0kg的小球，小球与P

点等高，细绳自然伸直。小球由静止释放后，摆动到某位置时，细绳突然断裂，继续运动0.5s后，落在地

面上。已知细绳能承受的最大拉力为24N，不计空气阻力，取重力加速度g10m/s2，下列说法正确的是

（）

A．轻绳断裂时小球的速度大小为2m/s

B．轻绳断裂时小球的速度大小为4m/s

C．小球落地点与P点的水平距离为1m

D．小球落地点与P点的水平距离为1.6m

【例2】如图所示，半径为R的半圆弧轨道ABC竖直固定在水平面上，竖直半径OB与倾斜半径OD、OE

2

的夹角为，且cos，现让可视为质点的小球从B点由静止释放，当小球运动到D点时正好脱离轨道，

3

小球此时速度的大小为v0（为未知量）；再把小球拿到E点，并使小球在E点获得大小为v（为未知量）、方

向与EO垂直斜向上的初速度，小球从E点运动到D点，运动轨迹的最高点为G点，重力加速度为g，不计

一切摩擦，不计空气作用。下列说法正确的是（）

5g

A．小球在D点的向心加速度为

3

6gR

B．小球在D点的速度v0为

2

5R

C．小球从E到D的运动时间为

3g

R

D．G、B两点的距离为

12

【变式1】如图所示，一小学生站在圆形水泥管道最低点，以水平速度v0将一个质量为m的小足球踢出，

球沿管道内壁在同一个竖直面内运动两圈多后在某一位置脱离管道，掉入小学生的背包里（背包口正好在

管道圆心处）。已知管道半径为R，重力加速度为g，不计空气阻力，小足球可以看作质点。求：

(1)足球脱离管道的位置和圆心的连线与水平方向夹角的正切值；

(2)从足球被踢出到球脱离管道，管道对足球做的功Wf。

【变式2】为了进一步解决水资源短缺和人工成本增加等问题，越来越多的绿化工程采用自动灌溉系统。

如图所示，地下的水泵将水从水管（管壁厚度不计）底部O点推向上方，水沿着水管上升H1.25m后从水

233

平水管喷出，已知水管横截面积S04cm，水的密度110kg/m，水管上端水平部分长L0.3m，通

过拍摄照片发现水落地时的速度方向与水平地面的夹角45，忽略摩擦和空气阻力，取重力加速度大小

g10m/s2。

、(1)求水管中水流的速度大小；

(2)求水泵对水做功的功率；

(3)为了能向各个方向喷水，现在让竖直水管沿竖直轴线匀速旋转，角速度

14rad/s，求水落地点围成的区域的面积。（结果保留两位有效数字）

易错点一：水平转盘上的圆周运动及其临界问题

水平转盘上圆周运动的临界问题，主要涉及与摩擦力和弹力有关的临界极值问题。

(1)如果只有摩擦力提供向心力，物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，

mv2

则最大静摩擦力Fm＝，方向指向圆心。

r

(2)如果水平方向除受摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体在水平面上转动，其临界情况要根据题设

条件进行判断，如判断某个力是否存在以及这个力存在时的方向(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉

力等)。

(3)运动实例

【例1】如图所示，A、B两个带电小球放置在一个光滑绝缘水平面上，它们之间的距离为d，带电小球C

固定在AB的垂直平分线上，三个小球刚好构成等边三角形，现在A、B两个小球绕过C的竖直轴转动（转

动角速度可变，AB之间距离不变），已知三个小球均可视为质点，A、B两个小球的质量均为m，带电量均

为q，小球C的带电量大小为4q，重力加速度为g。下列说法正确的是（）

A．C球带正电

2qk

B．A球转动的角速度ωA为

dd

23d2mg

C．若增大C球电荷量，当A、B小球刚好离开地面时，C的电荷量QC为

3kq

123mgd26kq2

D．若增大C球电荷量，当A、B小球刚好离开地面时，B球转动的角速度ωB为