2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第五节 离散型随机变量的分布列及数字特征

第十一章计数原理、概率、随机变量及其分布第五节离散型随机变量的分布列及数字特征课标解读考向预测通过具体实例，了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差)．预计2026年高考仍将以条件概率、相互独立事件的概率、全概率公式求概率和分布列、均值与方差的计算、统计为核心，整合构建综合解答题.必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础1．离散型随机变量一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有_______________与之对应，我们称X为随机变量；可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量的分布列一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称______________________P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．唯一的实数X(w)X取每一个值xi的概率3．离散型随机变量的分布列的性质(1)pi≥0(i＝1，2，…，n)．(2)_______________

＝1．4．离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为p1＋p2＋…＋pnXx1x2…xnPp1p2…pnx1p1＋x2p2＋…＋xnpn平均水平偏离程度5．两点分布的分布列及其数字特征若X服从两点分布，则分布列如下：期望E(X)＝____，方差D(X)＝________．提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．6．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝__________．(2)D(aX＋b)＝________(a，b为常数)．pp(1－p)aE(X)＋ba2D(X)X01P1－pp1．随机变量的线性关系若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．2．判断所求离散型随机变量的分布列是否正确，可用pi≥0，i＝1，2，…，n及p1＋p2＋…＋pn＝1检验．3．均值与方差的四个常用性质(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2．(4)若X1，X2相互独立，则E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．X25P0．30．7题组一走出误区——判一判(1)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．(

)(2)如果随机变量X的分布列由下表给出，则它服从两点分布．(

)(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．(

)(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(

)×√×√题组二回归教材——练一练(1)(人教A选择性必修第三册7．2练习T2(1)改编)抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X，则“X≥5”表示的试验结果是(

)A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点C．第一枚1点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点解析：“X≥5”表示第一枚骰子掷出的点数减去第二枚骰子掷出的点数不小于5，即只能等于5．故选D．(2)(人教B选择性必修第二册第四章复习题T5改编)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝a，那么a＝_____．(3)(人教A选择性必修第三册7．3．1练习T1改编)已知随机变量X的分布列为若Y＝2X＋3，则E(Y)的值为_____．考点探究—提素养离散型随机变量分布列的性质已知随机变量X的分布列为其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝____，公差d的取值范围是_______．X－101Pabc离散型随机变量分布列的性质的应用应用一利用“概率之和为1”可以求相关参数的值应用二利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率应用三可以根据性质判断所得分布列结果是否正确1．设离散型随机变量X的分布列为(1)求2X＋1的分布列；(2)求随机变量Y＝|X－1|的分布列．X01234P0．20．10．10．3m解：(1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3．列表为X012342X＋113579从而2X＋1的分布列为(2)由(1)知m＝0．3，列表为2X＋113579P0．20．10．10．30．3X01234|X－1|10123所以P(Y＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0．2＋0．1＝0．3，P(Y＝0)＝P(X＝1)＝0．1，P(Y＝2)＝P(X＝3)＝0．3，P(Y＝3)＝P(X＝4)＝0．3，故Y＝|X－1|的分布列为Y0123P0．10．30．30．3求离散型随机变量的分布列（多考向探究）考向1与互斥事件、独立事件有关的分布列在求几个互斥事件构成的事件的概率时，一般先利用独立事件的定义求出各个互斥事件发生的概率，然后用概率加法公式求概率，审题时应注意关键词语，如“至多有一个”“至少有一个”“恰有一个”等，在求复杂事件的概率时，应学会对事件等价分解(互斥事件的和、几个独立事件同时发生)，或者考虑结合对立事件求解，从而使问题变得更易解决．考向2与古典概型有关的分布列某校为校级元旦晚会选拔主持人，现有来自高一年级的参赛选手5名，其中男生2名，高二年级的参赛选手5名，其中男生3名．从这10名参赛选手中随机选择4人组成搭档参赛．(1)设事件A为“选出的4人中恰有2名男生，且这2名男生来自同一个年级”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中男生的人数，求随机变量X的分布列．

(1)求古典概型的离散型随机变量的分布列，要注意应用计数原理、排列组合的知识求样本点的个数及事件A包含的样本点的个数，然后应用古典概型的概率公式求概率．(2)求出分布列后，注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确．3．有编号为1，2，3，…，n的n名学生，入座编号为1，2，3，…，n的n个座位，每名学生规定坐一个座位，设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X，已知当X＝2时，共有6种坐法．(1)求n的值；(2)求随机变量X的分布列．离散型随机变量的数字特征(多考向探究)考向1数字特征的计算某班元旦联欢晚会上，设计了一个摸球表演节目的游戏：在一个纸盒中装有1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球，这些球除颜色外完全相同，同学们不放回地每次摸出1个球，若摸到黑球，则停止摸球，否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止．规定摸到红球表演两个节目，摸到白球或黄球表演1个节目，摸到黑球不用表演节目．(1)求A同学摸球三次后停止摸球的概率；(2)记X为A同学摸球后表演节目的个数，求随机变量X的分布列和数学期望、方差．

求离散型随机变量X的数字特征的步骤(1)理解X的意义，写出X的所有可能取值．(2)求X取每个值的概率．(3)写出X的分布列．(4)由均值的定义求E(X)．(5)由方差的定义求D(X)．注意E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)的应用．

4．(2025·广东大湾区模拟)一个袋子中装有6个黑球，2个白球，它们除颜色外完全相同．现每次从袋中不放回地随机取出一个球，直到2个白球都被取出为止．以X表示袋中还剩下的黑球个数．(1)记事件Ak表示“第k次取出的是白球”，k＝1，2，…，8，求P(A5|A2)；(2)求X的分布列和数学期望．随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．5．(2025·安徽蚌埠模拟)某新型双轴承电动机需要装配两个轴承才能正常工作，且两个轴承互不影响．现计划购置甲、乙两个品牌的轴承，两个品牌轴承的使用寿命及价格情况如下表：品牌价格/(元/个)使用寿命/月甲10007或8乙4003或4课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★考向离散型随机变量的取值离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的数字特征离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量的数字特征离散型随机变量的数字特征离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量的数字特征考点随机变量取相应值的含义利用“概率和为1”求参数；求特定事件的概率数字特征的计算数字特征的计算利用“概率和为1”求参数求特定事件的概率数字特征的应用数字特征的计算利用“概率和为1”求参数；数字特征的计算数字特征的应用关联点两点分布函数单调性的判断题号11121314151617181920难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考向离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量的数字特征离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量的数字特征求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列离散型随机变量分布列的性质离散型随机变量分布列的性质求离散型随机变量的分布列离散型随机变量的数字特征考点利用“概率和为1”求参数数字特征的计算求特定事件的概率数字特征的计算与古典概型有关的分布列；数字特征的计算与条件概率有关的分布列；数字特征的计算利用“概率和为1”求参数；求特定事件的概率利用“概率和为1”求参数；数字特征的计算与互斥事件、独立事件有关的分布列数字特征的应用关联点组合数的性质函数奇偶性的判断古典概型排列、组合的应用互斥事件的概率条件概率的定义一、单项选择题1．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用X表示甲的得分，则{X＝3}表示(

)A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局两次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次解析：因为甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，所以{X＝3}表示甲赢一局输两局或甲、乙平局三次．7．(2025·四川绵阳模拟)某企业计划加大技改力度，需更换一台设备，现有两种品牌的设备可供选择，A品牌设备需投入60万元，B品牌设备需投入90万元，企业对两种品牌设备的使用年限情况进行了抽样调查：更换设备技改后，每年估计可增加效益100万元，从年均收益的角度分析(

)A．不更换设备B．更换为A品牌设备C．更换为B品牌设备D．更换为A或B品牌设备均可A品牌的使用年限2345概率0.40.30.20.1B品牌的使用年限2345概率0.10.30.40.2解析：设更换为A品牌设备使用年限为X，则E(X)＝2×0.4＋3×0.3＋4×0.2＋5×0.1＝3，更换为A品牌设备年均收益为(3×100－60)÷3＝80万元；设更换为B品牌设备使用年限为Y，则E(Y)＝2×0.1＋3×0.3＋4×0.4＋5×0.2＝3.7，更换为B品牌设备年均收益为(3.7×100－90)÷3.7≈75.7万元．因为80>75.7，所以更换为A品牌设备．A品牌的使用年限2345概率0.40.30.20.1B品牌的使用年限2345概率0.10.30.40.210．核酸检测有两种检测方式：(1)逐份检测；(2)混合检测：将其中k份核酸分别取样混合在一起检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸全为阴性，因而这k份核酸只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，为了明确这k份核酸样本究竟哪几份为阳性，就需要对这k份核酸再逐份检测，此时，这k份核酸的检测次数总共为(k＋1)次．假设在接受检测的核酸样本中，每份样本的检测结果是阴性还是阳性都是独立的，并且每份样本是阳性的概率都为p(0<p<1)，若k＝10，运用概率统计的知识判断下面哪个p值能使得混合检测方式优于逐份检测方式？(参考数据：lg0．794≈－0．1)(

)A．0．1 B．0．2C．0．4 D．0．5解析：设混合检测方式中样本需要检测的总次数为Y，则Y的所有可能取值为1，11．P(Y＝1)＝(1－p)10，P(Y＝11)＝1－(1－p)10，E(Y)＝1×(1－p)10＋11×[1－(1－p)10]＝11－10×(1－p)10，设逐份检测中样本需要检测的总次数为X，则E(X)＝10，若混合检测方式优于逐份检测方式，需E(Y)<E(X)，即11－10×(1－p)10<10，即1－p>10－0.1，∵lg0.794≈－0.1，∴1－p>10lg0.794≈0.794，∴0<p<0.206．结合选项，知选AB．102412．小青准备用9万元投资A，B两种股票，已知两种股票收益相互独立，且这两种股票买入时都是每股1万元，每股收益的分布列如下表所示，若投资A种股票a万元，则小青两种股票的收益期望和为________万元．股票A的每股收益分布列股票B的每股收益分布列收益X/万元－103概率0．30．20．5收益Y/万元－34概率0．40．610．8解析：由题中两种股票每股收益的分布列可知E(X)＝－1×0．3＋0×0．2＋3×0．5＝1．2，E(Y)＝－3×0．4＋4×0．6＝1．2，所以两种股票的收益期望和为aE(X)＋(9－a)E(Y)＝1．2a＋(9－a)×1．2＝10．8．股票A的每股收益分布列股票B的每股收益分布列收益X/万元－103概率0．30．20．5收益Y/万元－34概率0．40．613．一个盒子中装有六张卡片，上面分别写着如下六个定义域为R的函数：f1(x)＝x，f2(x)＝x2，f3(x)＝x3，f4(x)＝sinx，f5(x)＝cosx，f6(x)＝2|x|＋1．现从盒子中逐一抽取卡片并判断函数的奇偶性，每次抽出后均不放回，若取到一张写有偶函数的卡片则停止抽取，否则继续进行，设抽取次数为X，则X<3的概率为_____．14．(2025·陕西咸阳模拟)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3