2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第五节 空间向量及其运算

第八章立体几何与空间向量第五节

空间向量及其运算课标解读考向预测1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直．从近三年高考来看，本节内容主要与立体几何知识结合考查．预计2026年高考中仍然会与立体几何知识结合，考查空间向量的线性运算及数量积运算，难度中档．必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础名称定义空间向量在空间中，具有______和______的量相等向量方向______且模______的向量相反向量方向______且模______的向量共线向量(或平行向量)表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相______或______的向量共面向量平行于_____________的向量1．空间向量的有关概念大小方向相同相等相反相等平行重合同一个平面2．空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使________．(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在______的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在______的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫做空间的一个基底．a＝λb唯一唯一3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝_______________．(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．|a||b|cos〈a，b〉向量表示坐标表示向量加减a±b(a1±b1，a2±b2，a3±b3)共线a＝λb(b≠0，λ∈R)_________________________数量积a·b_________________a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3a1b1＋a2b2＋a3b3(3)空间向量数量积的运算律①(λa)·b＝λ(a·b)；②a·b＝b·a(交换律)；③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．a1b1＋a2b2＋a3b3＝04．投影向量(1)向量a在向量b上的投影先将向量a与向量b平移到同一平面α内，如图1，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．(2)向量a在直线l上的投影如图2，向量c称为向量a在直线l上的投影向量．题组一走出误区——判一判(1)对于非零向量b，若a·b＝b·c，则a＝c．(

)(2)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(

)(3)空间直角坐标系中，在yOz平面上的点的坐标一定是(0，b，c)．(

)×√×题组二回归教材——练一练(1)(人教A选择性必修第一册习题1．2T2改编)若{a，b，c}为空间的一个基底，则下列各项中，能作为空间的一个基底的是(

)A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}解析：∵λa＋μb(λ，μ∈R)与a，b共面，∴A，B，D不符合题意．故选C．3(0，2，2)考点探究—提素养

空间向量的线性运算

空间向量线性运算中的三个关键点共线、共面向量定理的应用(1)已知{a，b，c}是空间的一个基底，m＝2a＋3b－c，n＝x(a－b)＋y(b－c)＋4(a＋c)，若m∥n，则x＋y＝(

)A．0 B．－6C．6 D．53．若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝______．－3

空间向量的数量积及其应用(多考向探究)考向1求空间向量的数量积解析：因为|a＋b|＝|3a－b|，所以|a＋b|2＝|3a－b|2，即a2＋2a·b＋b2＝9a2－6a·b＋b2，则a·b＝a2，因为a＝(2，1，3)，所以a2＝22＋12＋32＝14，故a·b＝14．故选B．

空间向量数量积的计算方法(1)定义法：设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ．(2)坐标法：设a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)，则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2．－1[0，1]考向2利用数量积求长度与夹角课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★考向空间向量的线性运算空间向量的数量积及其应用空间向量的线性运算空间向量的数量积及其应用共线、共面向量定理的应用共线、共面向量定理的应用空间向量的数量积及其应用空间向量的数量积及其应用空间向量的线性运算考点利用向量的数量积求夹角共面向量定理的应用共面向量定理的应用利用向量的数量积求模求空间向量的数量积题号101112131415161718难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★考向空间向量的数量积及其应用共线、共面向量定理的应用共线、共面向量定理的应用空间向量的线性运算空间向量的数量积及其应用空间向量的数量积及其应用空间向量的数量积及其应用共线、共面向量定理的应用共线、共面向量定理的应用考点利用向量的数量积求距离共线向量定理的应用共线向量定理的应用求空间向量的数量积求空间向量的数量积共面向量定理的应用共面向量定理的应用2．(2025·安徽滁州模拟)已知向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)，若(2a－b)·b＝1，则x＝(

)A．－3 B．3C．－1 D．6解析：向量a＝(1，1，x)，b＝(－2，2，3)，则2a－b＝(2，2，2x)－(－2，2，3)＝(4，0，2x－3)，(2a－b)·b＝1，则－8＋3(2x－3)＝1，解得x＝3．故选B．5．已知a＝(1，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，5，