2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第四节 空间直线、平面的垂直

第八章立体几何与空间向量第四节空间直线、平面的垂直课标解读考向预测1．理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单的应用．近三年高考考查空间直线、平面的垂直，主要以直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质为主，通常和空间向量结合命题，考查考生的推理论证能力和转化与化归能力，难度适中．预计2026年高考本节内容仍会考查，以解答题第(1)问的形式呈现，难度中档．必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础1．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果直线l与平面α内的_________直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．任意一条(2)判定定理与性质定理两条相交直线m⊂αn⊂αl⊥ml⊥na⊥αb⊥α射影3．二面角(1)定义：从一条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作_________的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．(3)范围：[0，π]．两个半平面垂直于棱4．平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如果它们所成的二面角是_____________，就说这两个平面互相垂直．直二面角(2)判定定理与性质定理垂线a⊂αa⊥βα⊥βα∩β＝al⊥al⊂β交线题组一走出误区——判一判(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α．(

)(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(

)(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(

)(4)若平面α⊥平面β，则平面α内一定存在直线平行于平面β．(

)×√××题组二回归教材——练一练(1)(人教A必修第二册8．6．3练习T2改编)已知平面α，β和直线m，l，则下列说法正确的是(

)A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β解析：若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊂β或l∥β或l与β相交，A错误；若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l与β相交但不一定垂直，B错误；若α⊥β，l⊂α，则l⊂β或l∥β或l与β相交，C错误；若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β，由面面垂直的性质定理可知D正确．故选D．(2)(人教A必修第二册8．6．3例8改编)如图，AB是圆柱上底面的一条直径，C是上底面圆周上异于A，B的一点，D为下底面圆周上一点，且AD垂直于圆柱的底面，则必有(

)A．平面ABC⊥平面BCD B．平面BCD⊥平面ACDC．平面ABD⊥平面ACD D．平面BCD⊥平面ABD解析：因为AB是圆柱上底面的一条直径，所以AC⊥BC，又AD垂直于圆柱的底面，所以AD⊥BC，因为AC∩AD＝A，AC，AD⊂平面ACD，所以BC⊥平面ACD，因为BC⊂平面BCD，所以平面BCD⊥平面ACD．故选B．(3)(多选)(人教A必修第二册习题8．6T20改编)如图，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任意一点，AE⊥PC，垂足为E，F是PB上一点，则下列判断中正确的是(

)A．BC⊥平面PAC B．AE⊥EFC．AC⊥PB D．平面AEF⊥平面PBC解析：对于A，PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，而BC⊂底面圆面，则PA⊥BC，又由圆的性质，可知AC⊥BC，且PA∩AC＝A，PA，AC⊂平面PAC，则BC⊥平面PAC，所以A正确；对于B，由A项可知，BC⊥AE，由题意可知，AE⊥PC，又BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC，而EF⊂平面PBC，所以AE⊥EF，所以B正确；对于C，若AC⊥PB，因为AC⊥BC，BC∩PB＝B，BC，PB⊂平面PBC，所以AC⊥平面PBC，又PC⊂平面PBC，则AC⊥PC，与AC⊥PA矛盾，所以AC⊥PB不成立，所以C错误；对于D，由B项可知，AE⊥平面PBC，AE⊂平面AEF，由面面垂直的判定定理，可得平面AEF⊥平面PBC，所以D正确．故选ABD．(4)(人教A必修第二册8．6．2例4改编)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为________．考点探究—提素养

空间中垂直关系的基本问题

已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n．其中所有的真命题是(

)A．②③ B．①④C．②④ D．①③解析：对于①，若m⊥n，过直线m上点A作直线l，使l∥n，则直线m与l确定平面γ，且l⊥m，又n⊥β，如图1，则有l⊥β，因为m⊥α，m⊂γ，有γ∩α＝c，因此m⊥c，由l⊥m且m，l，c⊂γ得c∥l，则c⊥β，所以α⊥β，①为真命题；对于②，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，令平面ABCD，平面A1B1C1D1分别为平面α，β，取棱AA1，BB1，DD1的中点分别为M，N，P，连接MN，MP，令直线MN，MP分别为直线m，n，如图2，显然满足m∥α，n∥β，m⊥n，而α∥β，②为假命题；对于③，取②中正方体，令平面ABCD，平面DCC1D1分别为平面α，β，直线AA1，A1B1分别为直线m，n，显然满足m⊥α，n∥β，m⊥n，而α⊥β，③为假命题；对于④，因为n∥β，则存在过直线n的平面δ，使得δ∩β＝b，于是有n∥b，又m⊥α，α∥β，则有m⊥β，从而有m⊥b，所以m⊥n，④为真命题．故选B．

与垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明．(2)寻找反例，只要存在反例，结论就不正确．(3)反复验证所有可能的情况，必要时要运用判定或性质定理进行简单说明．1．(2025·浙江宁波模拟)已知平面α，β，γ，α∩β＝l，则“l⊥γ”是“α⊥γ且β⊥γ”的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：由于α∩β＝l，所以l⊂α，l⊂β，若l⊥γ，则α⊥γ，β⊥γ，故充分性成立；若α⊥γ，β⊥γ，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，则存在直线a⊂γ，使得a⊥m，所以a⊥α，由于l⊂α，故a⊥l，同理，存在直线b⊂γ，使得b⊥n，所以b⊥β，由于l⊂β，故b⊥l，由于a，b不平行，所以a，b是平面γ内两条相交直线，所以l⊥γ，故必要性成立．直线与

平面垂直的判定与性质(多考向探究)考向1直线与平面垂直的判定

(2025·广东惠州模拟)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是正方形，侧面ADD1A1是矩形，点P为D1C1的中点，且PD＝PC．求证：DD1⊥平面ABCD．

1．证明直线与平面垂直的常用方法(1)判定定理．(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(4)面面垂直的性质(α⊥β，α∩β＝a，l⊥a，l⊂β⇒l⊥α)．2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．考向2直线与平面垂直的性质(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1．3．过△ABC所在平面α外的一点P，作PO⊥α，垂足为O，若点P到直线AB，AC和BC的距离都相等，则O是△ABC的(

)A．内心 B．外心C．重心 D．垂心4．(2025·山西大同一中阶段练习)如图，在四面体P－ABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA．(1)求证：PB⊥平面APD；(2)若AG⊥PD，G为垂足，求证：AG⊥BD．平面与平面垂直的判定与性质

1．判定面面垂直的方法(1)面面垂直的定义．(2)面面垂直的判定定理．2．面面垂直性质的应用(1)面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．(2)若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．5．在三棱锥V－ABC中，侧面VBC⊥底面ABC，∠ABC＝45°，VA＝VB，AC＝AB，则(

)A．AC⊥BC B．VB⊥ACC．VA⊥BC D．VC⊥AB解析：因为∠ABC＝45°，AC＝AB，所以△ABC为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠ABC＝45°，所以AC与BC不垂直，即A错误；过点V作VO⊥BC于点O，连接OA，因为侧面VBC⊥底面ABC，平面VBC∩平面ABC＝BC，所以VO⊥平面ABC，即点V在底面ABC上的投影为点O，因为OA⊂平面ABC，所以VO⊥OA．因为VA＝VB，所以OA＝OB，∠OAB＝∠OBA＝45°，所以OA⊥BC，因为VO∩OA＝O，VO，OA⊂平面VOA，所以BC⊥平面VOA，因为VA⊂平面VOA，所以VA⊥BC，即C正确；由三垂线定理知，若VB⊥AC，则BC⊥AC，这与∠ACB＝45°矛盾，故VB与AC不垂直，同理，VC与AB不垂直，即B，D错误．故选C．6．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°．(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C的高．解：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，因为∠ACB＝90°，所以AC⊥BC，又A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1，又BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C．

几何法求直线与平面所成的角与二面角

(1)利用几何法求空间线线角、线面角、二面角时要注意“作角、证明、计算”是一个完整的过程，缺一不可．(2)斜线与平面所成的角，首先作出平面的垂线，得出斜线在平面内的射影，从而得出斜线与平面所成的角，转化为直角三角形求解．(3)求空间角中的难点是求二面角，作二面角的平面角的常用方法有：①定义法：根据平面角的概念直接作，如二面角的棱是两个等腰三角形的公共底边，就可以取棱的中点；②垂面法：过二面角棱上一点作棱的垂面，则垂面与二面角的两个半平面的交线所成的角就是二面角的平面角或其补角；

③垂线法：过二面角的一个半平面内一点A作另一个半平面所在平面的垂线，得到垂足B，再从垂足B向二面角的棱作垂线，垂足为C，这样二面角的棱就垂直于这两条垂线所确定的平面ABC，连接AC，则AC也与二面角的棱垂直，∠ACB就是二面角的平面角或其补角，这样就把问题归结为解一个直角三角形，这是求解二面角最基本、最重要的方法．

平行、垂直关系的综合问题

(2025·辽宁沈阳期末)如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为SD，BC的中点．(1)证明：EF∥平面SAB；(2)若平面SAD⊥平面ABCD，∠BAD＝120°．求证：AF⊥SD．1．三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．2．垂直与平行的综合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．如果有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．课时作业基础题(占比50%)中档题(占比30%)拔高题(占比20%)题号12345678910难度★★★★★★★★★★★★★★考向空间中垂直关系的基本问题空间中垂直关系的基本问题平面与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质几何法求直线与平面所成的角与二面角平行、垂直关系的综合问题几何法求直线与平面所成的角与二面角平行、垂直关系的综合问题三垂线定理直线与平面垂直的判定与性质考点平面与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定几何法求二面角求直线与平面所成角的正切值题号111213141516171819难度★★★★★★★★★★★★★★★★★★★考向直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质几何法求直线与平面所成的角与二面角几何法求直线与平面所成的角与二面角直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质；几何法求直线与平面所成的角与二面角直线与平面垂直的判定与性质；平面与平面垂直的判定与性质平行、垂直关系的综合问题直线与平面垂直的判定与性质；几何法求直线与平面所成的角与二面角考点直线与平面垂直的性质求直线与平面所成的角几何法求二面角直线与平面垂直的判定平面与平面垂直的判定；求二面角一、单项选择题1．(2025·广东广州模拟)已知α，β，γ是三个不重合的平面，且α∩γ＝l，β∩γ＝m，则下列命题正确的是(

)A．若α⊥γ，β⊥γ，则l∥mB．若l∥m，则α∥βC．若α⊥β，γ⊥β，则l⊥mD．若l⊥m，则α⊥β解析：若α⊥γ，β⊥γ，则l∥m或l与m相交，故A错误；若l∥m，则α∥β或α与β相交，故B错误；若α⊥β，γ⊥β，则l⊥m，故C正确；若l⊥m，则α与β相交，不一定垂直，故D错误．2．(2025·新疆乌鲁木齐模拟)已知直线a，b与平面α，β，γ，能使α⊥β的充分条件是(

)A．a∥α，b∥β，a⊥bB．α⊥γ，β⊥γC．a∥α，a⊥βD．α∩β＝a，a⊥b，b⊂β解析：对于A，当a∥α，b∥β，a⊥b时，也可能α∥β，如图1，故A不符合题意；对于B，当α⊥γ，β⊥γ时，也可能α∥β，如图2，故B不符合题意；对于C，当a∥α，a⊥β时，一定有α⊥β，故C符合题意；对于D，当α∩β＝a，a⊥b，b⊂β时，不一定有α⊥β，如图3，故D不符合题意．故选C．3．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在平面ABC内的射影H必在(

)A．直线AB上 B．直线BC上C．直线AC上 D．△ABC内部解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1．因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC，所以点C1在平面ABC内的射影H必在两平面的交线AB上．故选A．4．如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，则图中与平面PCD垂直的平面是(

)A．平面ABCD B．平面PBCC．平面PAD D．平面PAB解析：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，由四边形ABCD为矩形，得CD⊥AD，因为PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD．又CD⊂平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD．故选C．5．在二面角α－l－β中，A∈α，AB⊥平面β于点B，BC⊥平面α于点C，若AB＝6，BC＝3，则二面角α－l－β的平面角的大小为(

)A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°解析：如图，因为AB⊥β，所以AB⊥l，因为BC⊥α，所以BC⊥l，又AB∩BC＝B，AB，BC⊂平面ABC，所以l⊥平面ABC，设平面ABC∩l＝D，则∠ADB为二面角α－l－β的平面角或其补角，因为AB＝6，BC＝3，所以∠BAC＝30°，因为AB⊥β，BD⊂β，所以AB⊥BD，所以∠ABD＝90°，所以∠ADB＝60°，所以二面角α－l－β的平面角的大小为60°或120°．6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设M为BC的中点，则下列说法正确的是(

)A．A1M⊥BD B．A1M∥平面CC1D1DC．A1M⊥AB1 D．A1M⊥平面ABC1D1解析：如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于A，假设A1M⊥BD，因为A1A⊥平面ABCD，所以A1A⊥BD，又A1A∩A1M＝A1，所以BD⊥平面A1AM，所以BD⊥AM．而BD⊥AC，所以AM∥AC，显然不成立，故A不正确；对于B，假设A1M∥平面CC1D1D，因为平面A1MCD1∩平面CC1D1D＝CD1，A1M⊄平面CC1D1D，所以A1M∥CD1．因为A1B∥CD1，所以A1M∥A1B，显然不成立，故B不正确；对于C，因为MB⊥平面ABB1A1，所以MB⊥AB1，又A1B⊥AB1，A1B∩MB＝B，所以AB1⊥平面A1BM，所以A1M⊥AB1，故C正确；对于D，假设A1M⊥平面ABC1D1，因为A1D⊥AD1，A1D⊥AB，且AB∩AD1＝A，所以A1D⊥平面ABC1D1，所以A1M∥A1D，显然不成立，故D不正确．故选C．二、多项选择题9．如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点，则满足MN⊥OP的是(

)解析：解法一(利用三垂线定理)：对于A，如图1，OP在上底面的射影与MN重合，因此不满足题意；对于B，如图2，OP在左侧面的射影为PQ，P，Q均为所在棱的中点，所以PQ⊥MN，根据三垂线定理可知满足题意；对于C，如图3，OP在右侧面的射影为QR，Q，R均为所在棱的中点，所以QR⊥MN，根据三垂线定理可知满足题意；对于D，如图4，OP在后表面的射影为QR，QR与MN不垂直，因此不满足题意．故选BC．三、填空题11．已知△ABC在平面α内，∠BAC＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________．解析：∵DA⊥平面α，CA⊂平面α，∴DA⊥CA，在△ABC中，∵∠BAC＝90°，∴AB⊥CA，又DA∩AB＝A，DA，AB⊂平面DAB，∴CA⊥平面DAB，又DB⊂平面DAB，∴CA⊥DB．垂直12．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件_______________________时，有AB1⊥BC1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)A1C1⊥B1C1(答案不唯一)解析：当底面A1B1C1满足条件A1C1⊥B1C1时，有AB1⊥BC1．理由如下：∵AA1⊥平面ABC，AA1∥CC1∴CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥BC，CC1⊥AC，∴平行四边形A