2026年中考数学二轮复习《函数实际应用》含答案

2026年中考数学二轮复习知识清单04函数实际应用第一部分命题解码洞察命题意图，明确攻坚方向►►考向聚焦►考查形式►能力清单第二部分技法清单构建思维框架，提炼通用解法►►知识必备/二级结论►母题精讲&答题技法►变式应用技法01解决营销问题技法02函数方案问题技法03一次函数行程问题技法04一次函数其他应用问题技法05二次函数图形问题技法06二次函数实物建模问题技法07二次函数的其它应用问题技法08与反比例函数有关的跨学科问题技法09反比例函数与其它函数的实际应用第三部分分级实战分级强化训练，实现能力跃迁命题解码焦技法01解决营销问题：主要考查将销售中的数量关系抽象为函数模型的能力。常以求一次函数或二次函数解析式为基础，结合不等式求自变量取值范围，最终利用函数性质求最大利润。技法02函数方案问题：重点考查方案设计与择优的建模能力。常以“租车方案”“进货方案”等形式出现，要求根据限制条件列出函数关系式，通过不等式组确定 可行方案，并从中选择最优解。技法03一次函数行程问题：考查从函数图象中获取信息解决行程问题的能力。常以两车（或两人）运动为背景，图象表示距离与时间的关系，要求求速度、相遇时间、相距距离等。技法04一次函数其他应用问题：涉及用其它等实际情景。常考查分段函数的理解与应用，要求根据图象写出解析式，比较函数值。技法05二次函数图形问题：考查利用二次函数解决几何图形中的面积最值问题。常见类型：用篱笆围矩形场地、在三角形或矩形内截取图形等，要求确定边长使面积最大。技法06二次函数实物建模问题：以抛物线形实物（如拱桥、喷泉、投篮轨迹）为背景，考查建立坐标系求二次函数解析式的能力。常要求计算高度、宽度或判断是否通过某点。技法07二次函数的其它应用问题：包括二次函数运动轨迹综合问题等。常与方程、不等式结合，考查综合应用能力。技法08与反比例函数有关的跨学科问题：常与物理（压强与受力面积、电流与电阻）、化学等学科知识结合，考查反比例函数模型的跨学科应用。技法09反比例函数与其它函数的实际应用：考查反比例函数与一次函数综合的实际问题。如工程问题（工作量一定，人数与时间关系）、行程问题（路程一定，速度与时间关系），常要求比较两种函数的差异或求交点意义。式函数应用是中考数学的核心应用板块，考查呈现建模+计算+解释的完整流程。一次函数应用（技法01-04）侧重方案设计与行程问题，强调从图象获取信息；二次函数应用（技法05-07）侧重最值问题与实物建模，强调顶点坐标的实际意义；反比例函数应用（技法08-09）常与其他学科或函数综合，强调积为定值的模型特命题趋势上，注重真实情境创设，考查学生将实际问题转化为函数模型并解释结果的能力。单数学建模能力：从实际问题中抽象出函数关系，建立数学模型。运算求解能力：准确求函数解析式，解方程（组）与不等式（组），计算最值。数形结合能力：从函数图象中读取信息，利用图象分析问题。逻辑推理能力：分析自变量取值范围，分类讨论不同方案，检验解的合理性。跨学科综合能力：将物理、化学等学科知识与函数模型结合。实际意义解释能力：将数学结果还原为实际问题的答案，判断解的合理性。技法清单知识必备一次函数、二次函数的解析式与性质、一元一次不等式（组）、利润公式、最值问题、自变量取值范围的确定。答题技法牢记利润问题核心公式：总利润＝(售价－进价)×销售量。先根据“每涨价x元，销量减少y件”等条件确定销售量与售价的函数关系，再代入利润公式得到二次函数，最后在自变量取值范围内利用顶点坐标求最值（注意顶点是否在范围内）。母题精讲【典例01】（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达1.8万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息：①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于6元/瓶②统计售价x（元/瓶）与需求量y需求（箱）的数据：发现当售价为3元/瓶时，该矿泉水的需求量为100箱，售价每上涨0.5元，需求量就减少5箱.③该矿泉水的供给量y供给（箱）关于售价x（元/瓶）的函数关系如下表所示：售价x（元/瓶）3456y供给④5~10月份该矿泉水的售价x售价（元/瓶x成本（元/瓶）关于月份t的函数表达式分别为x售价=，x成本=-函数图象见图2.(1)写出需求量y需求（箱）和供给量y供给（箱）关于售价x（元/瓶）的函数关系式.(2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利x利润（元/瓶）最大？并说明理由.(3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润.【典例02】（2025·云南·模拟预测）为传承云南本土非遗文化，某学校开展“非遗文化进校园”主题活动，计划采购A、B两种非遗文创用品（A为傣族织锦书签，蕴含对称、比例等数学元素；B为永子围棋迷你摆件，承载传统工艺中的数学配比智慧经调查，购进A种文创用品的费用y元与购进数量x件之间的函数关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式；(2)现学校准备购进A、B两种非遗文创用品共200件，其中购进A种非遗文创用品不少于60件，且不超过B种非遗文创用品件数的3倍，若B种非遗文创用品每件60元，设购进两种非遗文创用品的总费用为W元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？【典例03】（2024·广东·模拟预测）【综合与实践】生活中的函数.(1)基础知识考察：在反比例函数，当x<-1时，y的取值范围是；当y<1时，x的取值范围是.(2)一夜银装裹，飞雪满京城．北京位于华北平原地区，冬季时燕山山脉与太行山脉让来自西伯利亚与蒙古的季风爬过大坡才能抵达北京，极易丢失水汽．1951年至2019年，北京平均每年大雪以上天数仅有0.4天．2023年12月13日这场大雪可谓是个稀罕事.北京特色茉莉香茶成本为40元/袋．受大雪影响，其销售单价y（元）与降雪量k（毫米）之间的关系如下表：降雪量k(毫米）2.03.0销售单价y（元）474544日销售量p（袋）与降雪量k（毫米）之间的函数关系式为请你根据以上材料，回答以下问题：①已知y与k之间的变化量规律符合一次函数关系，请求出其关系式.②仅看下雪天的情况，其中k的取值范围如图所示．问降雪量多大时，销售利润最大？最大利润是多少？③在②的条件下，为了提高销售量，店铺在大雪时（降雪量为8.0毫米）进行“买三送一”活动，并调整了售价．小敏阿姨此时趁机入手20袋，回到家才发现这比不做活动时买还贵了20元．你知道此时店铺的一袋茉莉香茶多少钱吗？变式应用【变式01】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）某公司销售一种新型节能产品，现准备从线上和线下两种销售方案中选择一种进行销售．若只在线上销售，每件售价y（元）与月销量x（件）之间的函数表达式为x+150，每件成本为20元，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为W线上（元利润＝销售额-成本-广告费若只在线下销售，每件售价为150元，受各种不确定因素影响，每件成本为a元（a为常数，且210≤a≤40当月销量为x件时，每月还需缴纳100x元的附加费，设月利润为W线下（元）（利润＝销售额-成本-2(1)当x=1000件时，y=_____；W线上=_____；(2)分别求出W线上、W线下与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围(3)当x为何值时，W线上的值最大？若W线下的最大值与W线上的最大值相同，求a的值；(4)如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策：选择在线上销售还是在线下销售才能使所获月利润较大？【变式02】（2025·安徽亳州·一模）学校计划租用客车送师生到金寨县某红色教育基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题.材料一：租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，租用2辆A型客车和3辆B型客车共载客220人；租用4辆A型客车和1辆B型客车共载客240人.材料二：A型客车租车费用为2400元/辆；B型客车租车费用为2000元/辆.材料三：优惠方案：租用A型客车m辆，每辆车的费用减少100m元；租用B型客车，租车费用打七折.材料四：租车公司最多提供6辆A型客车；学校参加研学活动师生共有430人，租用A，B两种型号客车共10辆.任务一：A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少?任务二：求m的取值范围；任务三：若本次研学活动学校的租车费用为w元，求w与m之间的函数表达式，并求本次研学活动学校的最少租车费用是多少?【变式03】（2024·湖北·模拟预测）根据以下素材，探索完成任务.如何设计实体店背景下的网上销售价格方案？【素材1】某公司在网上和实体店同时销售一种自主研发的小商品，成本价为40元/件.【素材2】据调查，该商品的网上销售价为60元/件时，平均每天销售量是200件，而销售价每降低x元(0≤x≤20)，平均每天就可以多售出20x件.【素材3】该公司在实体店的销售价定为80元/件．据调查，该实体店的销售受网上影响，其销售量为(100-2x)件.问题解决：【任务1】确定函数模型：①求网上每天销售该商品的毛利润y（单位：元）关于x的函数关系式；②求该公司每天销售该商品的总毛利润W（单位：元）关于x的函数关系式总毛利润=网上毛利润+实体店毛利润）【任务2】探究函数最值：当该小商品的网上销售价是每件多少元时，该公司每天销售这种小商品的总毛利润最大？最大总毛利润是多少？【任务3】拟定价格方案：经综合分析，该公司认为总毛利润在8140±10元时，是每天销售这种商品的最佳方案．请求出该商品在网上销售的价格，并指出相应的总毛利润.知识必备一次函数解析式与性质、一元一次不等式（组）、整数解的实际意义、方案设计、最优化选答题技法第一步设未知数并表示相关量；第二步根据“总费用不超过…”等限制条件列出不等式组，求出整数解得到方案数；第三步列出总利润（或总费用）与变量的函数关系式；第四步利用一次函数的增减性确定最大值（或最小值）对应的方案。母题精讲【典例01】（2025·山东青岛·模拟预测）某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元.(1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？(2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？【典例02】（2025·广东广州·一模）某商户购进苹果1575千克，为寻求合适的销售价格，试销情况如下：天第2天天第4天天售价x（元/千9销售量y（千50607590(1)根据表中的数据，从一次函数和反比例函数中选择一个函数模型，使得它能近似的反映试销期间这批苹果每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间的函数关系，并求出这个函数关系式（不要求写出x的取值范围）;(2)若在这批苹果的后续销售中，每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间都满足（1）中的函数关系．在试销5天后，该商户决定将这批苹果的售价定为10元/千克，但销售10天后，该商户为清空库存，计划用不超过2天的时间全部售完，则新的售价最高定为多少元/千克，才能使后面2天都按新的售价销售且能如期全部售完？【典例03】（25-26九年级上·河北·期末）为了提高检票效率，减少运营成本，某高铁站的调配团队研究了排队人数y（人）与检票时间x（分钟）、开放检票通道数量n（个）之间的关系，有以下发现：发现1：候车总人数（人）y1=-x2+30x+50；发现2：已检票人数（人）y2=6nx；发现3：排队人数（人）y=候车总人数y1-已检票人数y2.（其中0≤x≤15，0≤n≤10且x为整数）请你结合调配团队的发现，完成下面问题：(1)当开放4条检票通道，排队人数y（人）与检票时间x（分钟）的函数关系式为；(2)在（1）的条件下，排队人数y（人）在第几分钟达到最大值，最大值是多少？(3)若要求排队人数最晚在第7分钟后（包括第7分钟）开始减少，且尽量少安排检票通道，以节省开支，请你直接写出至少应打开几条检票通道？变式应用【变式01】（2025·河南开封·一模）春节期间，某商场对某类商品推出两种优惠活动，并规定购物时只能选择其中一种优惠.活动一：所购商品均按原价八折出售；活动二：所购商品按原价每满200元减50元.(1)若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需付______元，选择活动二时需付______元.(2)若设某商品原价为x元，当400<x<600时，请分别写出选择这两种活动的实付金额y（元）与原价x（元）之间的函数表达式，并说明选择哪种活动更省钱.【变式02】（2025·天津西青·二模）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯净水的费用，另一部分是其它费用780元，其中，纯净水的销售价x（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系.(1)求y与x的函数关系式；(2)若该班每年需要纯净水380桶，且a为120时，请你根据提供的信息分析一下：该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料，哪一种花钱更少？(3)当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯净水一定合算，从计算结果看，你（不超过30字）【变式03】（2025·广东深圳·三模）随着城市短距离出行需求的变化，共享滑板车成为一种新兴的出行方式．某共享出行公司在A、B两个区域投放共享滑板车，相关信息如下：信1A区域初始投放了100辆共享滑板车，B区域初始投放了20辆．将一辆滑板车从A区域调配到B区域，包含车辆运输与系统重置在内，成本为100元；公司基于运营数据和区域需求预测，规定每次只能从A区域向B区域调配滑板车，且调配数量不能超过20辆信息2B区域共享滑板车的日租借率会随着从A区域调配来的滑板车数量变化．当从A区域调配x辆滑板车到B区域时，B区域共享滑板车的日租借率为(50%+5%x)，但受限于B区域的停车空间和市场容量，日租借率最高不超过80%信息3每辆共享滑板车成功租借一次，公司可获得10元收入题1在信息一的条件下，若从A区域调配x辆滑板车到B区域，用含x的式子表示调配这些滑板车的总成本y（元并写出x的取值范围题2在满足信息二的条件下，求B区域共享滑板车的公司日租借收入W关于x的函数关系式，并求出公司日租借收入W的最大值.题3公司为激励运维团队在滑板车调配工作中的积极性，制定了两种奖励方案：方案一：每调配一辆滑板车，奖励负责调配的运维人员40元.方案二：一次性给予运维团队800元奖励.请计算并分析在不同调配数量下，选择哪种方案对运维团队更有利？知识必备一次函数图象与性质、待定系数法、行程问题中的路程＝速度×时间、相遇与追及问题、分段函数。答题技法遵循“识图→析图→用图”三步。先明确横纵轴意义（如距离与时间注意图象的起点、终点、拐点含义；再根据图象上的点用待定系数法求解析式；最后将行程问题中的等量关系（相遇：路程和＝总距离；追及：路程差＝初始距离）转化为方程求解。母题精讲骑单车，乙由家长开汽车送去，汽车开出5分钟后遇到早高峰，车速变缓，结果乙比甲晚4分钟到校．图1是甲、乙行驶的路程S与时间t的函数图象.(1)分别写出甲、乙的行驶路程S与时间t的函数表达式；(2)求途中甲乙相遇时的时间t；(3)设甲到校前，甲、乙两人之间的距离为W，图2是W关于t的函数图象，则a=______，变式应用【变式01】（2025·天津·一模）甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行20min后因事停留了20min，然后继续按原速骑行40min到达B地；乙骑行75min直接到达B地，已知A，B两地相距15km．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系.请根据相关信息，解答下列问题：(1)填空：①图中a=，b=；②甲出发50min离A地的距离是______km；③乙骑行的速度为______km/min.(2)请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围；(3)当甲乙相距1.5km时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可）【变式02】（2025·山东青岛·三模）小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为t（分钟图1表示两人之间的距离s（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象；图2中线段AB表示小明和商店的距离y1（米）与时间t（分钟）的函数关系的图象的一部 分，请根据所给信息解答下列问题：(1)点M的坐标是______；(2)请求出图2中线段AB表示的小明和商店的距离y1（米）与时间t（分钟）的函数关系式，并指明自变量t的取值范围；在图2中画出妈妈和商店的距离y2（米）与时间t（分钟）的 函数关系的图象；(3)直接写出t为何值时，两人相距180米.知识必备一次函数解析式、分段函数、待定系数法、方程（组）与不等式（组）、方案比较。答题技法对于分段函数，关键找准分界点对应的函数值。方案比较问题，先列出两种方案的函数解析式，再通过解方程求临界值，最后结合图象或不等式确定不同范围内的最优选择。母题精讲【典例01】（2026·陕西·一模）《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.数学小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行实验探究．实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到下表：供水时间x（小时）02468箭尺读数y（厘米）642(1)小组成员将以上数据整理并在平面直角坐标系中描点，观察各点的分布规律，发现它们在同一条直线上，请求出y与x之间的函数关系式；(2)如果本次实验记录的开始时间是上午8∶00，那么当箭尺读数为66厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）变式应用【变式01】（2025·江苏连云港·二模）某地区交通管理部门通过对道路流量的大数据分析可知，某高架路上车辆的平均速度y(千米/时）与高架路上每百米车的数量x（辆）的关系如图所示.(1)求y关于x的函数关系式；(2)如果某时刻监测到这一高架路上车辆的平均速度为50千米/时.①求该时刻高架路上每百米车的数量；②监测发现从此刻开始这一高架路上每百米车辆数每2分钟增加3辆．已知该高架路上车辆的平均速度小于20千米/时，高架路将严重拥堵，需启动限流措施．为了避免严重拥堵，那么最晚多少分钟需启动限流措施？【变式02】（25-26八年级上·山东济南·期中）函数在生活中无处不在。图1展示了两种水杯的外形，1号水杯为厚底圆柱形，2号水杯为底部厚度忽略不计的普通圆柱形。图2描述的是1号水杯中水的体积V1(ml)与水面到水平桌面的距离的函数图象；(1)求V1与h之间的函数表达式不需要写出自变量的取值范围）(2)2号水杯中水的体积V2(ml)与水面到水平桌面的距离h（cm）之间的关系如下表所示．在图2中，画出V2与h之间的函数图象，并直接写出函数表达式不需要写出自变量的取值范02468/ml0200250(3)求出当h（cm）为多少时，1号杯和2号杯中水的体积相差10ml？知识必备几何图形周长、面积公式、二次函数的解析式与最值、自变量取值范围的确定、数形结合思答题技法先用变量表示相关边长（注意利用围墙等条件简化表达式再列出面积与变量的二次函数关系式，化为顶点式，结合自变量取值范围（通常由几何边长非负确定）求最值。母题精讲【典例01】（2024·湖北·模拟预测）问题探究：与△ABC的高之比为；AC上，顶点F、G在边BC上，若设DG=x，求当x取何值时，矩形DEFG面积最大.问题解决：（3）某市进行绿化改造，美化生态环境．如图③,现有一块四边形的空地ABCD计划改造四边形公园ABCD内建造一个矩形活动场所PQMN，顶点M、N同在边BC上，顶点Q、P分别在边AB、CD上，为了满足居民需求，计划在矩形活动场所PQMN中种植草坪，在公园内其它区域种植花卉．已知花卉每平方米100元，草坪每平方米40元，则绿化改造所需费用至少为多少元？变式应用【变式01】（2025·陕西·模拟预测）如图①,在学校实践基地矩形MNKL中，一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上．现要对该花坛内种植区域进行划分，如图②,AB=6米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且OP=9米．根据种植需求规划方案如下：第一步：在线段OP上确定点C，使上ACB=90。，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植牡丹；第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E，用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季.为方便记录划分数据，在图②中以点O为原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为y轴建立平面直角坐标系.(1)求花坛所在抛物线的函数表达式；(2)若在实施过程中，进行第二步分隔时恰好用完6米材料，求DE与CF的长.【变式02】（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，用一段长为36m的篱笆围成一个一边AD靠矩形ABCD面积为ym2.(1)y关于x的函数解析式为（写化简后结果x的取值范围是；(2)求菜园ABCD面积的最大值，并求此时BC的长；(3)在（2）的前提下，若将矩形ABFE和矩形EFCD分别种植甲、乙两种农作物．甲农作物的年收入W1（单位：元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W1=-2S2+210S，乙农作物的年收入W2（单位：元）与种植面积S（单位：m2）的函数关系式为W2=70S，两种农作物年收入之和不小于8918元，并且乙农作物的种植面积不小于甲农作物的种植面积的两倍．设BF=am，求a的取值范围.知识必备二次函数的图象与性质、待定系数法、点的坐标、实际问题的数学建模。答题技法根据题意合理建立平面直角坐标系（常以顶点为原点或对称轴为y轴设出合适的解析式形式（顶点式或一般式代入已知点坐标求待定系数。注意检查实际意义（如高度为正、母题精讲【典例01】（2025·贵州遵义·一模）【活动背景】如图1，南昌复兴大桥主拱是桥梁的标志性建筑．某兴建小组将复兴大桥主拱截面视为抛物线L1，若L1跨度AB为200m，L1最高点（顶点）到桥面的距离为90m.【建立模型】（1）请在图2、图3中任选一种，求出抛物线L1的函数表达式；【初步应用】（2）在（1）的条件下，在主拱与桥面之间设置等距的吊杆（垂直于桥面共设置9根吊杆，求从左到右第3根吊杆的长度；【拓展应用】（3）如图4，在L1右边修建副拱为抛物线L2，L2与射线AB交于点K、F（点K在点F左边80≤BF≤120，L2的顶点需在一个正方形MNPQ内（包括边界，点P在点N右边MN垂直桥面于点D，DN=20，DM=30，BD=40，求抛物线L2二次项系数的取值范围.变式应用【变式01】（25-26九年级上·山西大同·期末）综合与探究【问题情境】甲、乙两名同学进行羽毛球比赛，羽毛球发出后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．如图，建立平面直角坐标系，羽毛球从O点的正上方发出，飞行过程中羽毛球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间近似满足函数关系y=a(x-h)2+b(a<0).【问题解决】比赛中，甲同学连续进行了两次发球.（1）甲同学第一次发球时，羽毛球的水平距离x与竖直高度y的七组对应数据如表：水平距离x/m0123456竖直高度y/m12.7544.755n4根据以上数据，回答下列问题：①当羽毛球飞行到最高点时，水平距离是m；②在水平距离5m处放置一个高1.55m的球网，羽毛球（填“能”或“不能”）过网；【综合应用】（2）根据表格数据，求出二次函数的解析式；（3）甲同学第二次发球时，羽毛球的竖直高度y与水平距离x之间近似满足函数关系y=-0.2(x-4.5)2+5.2．乙同学在两次接球中，都是原地起跳后使得球拍达到最大高度2.75m时刚好接到球，记乙同学第一次接球的起跳点的水平距离为d1，第二次接球的起跳点的水平距离为d2，请比较d1，d2的大小关系，并说明理由.【变式02】（2025·湖北·一模）阅读以下材料，完成项目主题任务：【项目主题】圆形喷水池喷射形状和高度探究.【项目背景】寻找生活中的数学，九年级（1）班分成四个小组，开展数学项目式实践活动，获得数据共享，对圆形喷水池喷射形状建立数学模型.【项目任务】如图①是一个圆形喷水池，其以vm/s喷出的水流呈抛物线型，水流的高度h（单位：m）与水流运动时间t（单位：s）之间的关系式为：h=vt-5t2，请你解决以下问题：任务一：当v=30m/s时，求水流从喷出到落地需要的时间，并在图②中画出函数的图象；任务二：根据设计需求，水流从喷出到落地的时间需保持在4s及以上，求v的最小值；任务三：为了喷水池的美观以及安全考虑，园方要求水流喷出的最大高度h的范围为20≤h≤25，求水流速度的取值范围.知识必备二次函数的图象与性质、一元二次方程与不等式、实际问题建模、数形结合思想。答题技法审题时抽象出变量间的等量关系，建立二次函数模型。若涉及“利润不低于某值”等问题，需解一元二次不等式或利用函数图象求解。注意检查解的合理性。母题精讲【典例01】（2025·湖北襄阳·模拟预测）某数学兴趣小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察刹车距离.【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车系统是车辆行驶安全的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离称为刹车距离【探究发现】汽车研发中心设计了一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试．兴趣小组成员记录其中一组数据如下：刹车后行驶的时间t0124刹车后行驶的距离s0274872发现：①开始刹车后行驶的距离s（单位：m）与刹车后行驶的时间t（单位：s）之间成二次函数关系②汽车刹车后行驶的距离随刹车后行驶的时间t的增大而增大，当刹车后行驶的距离最远时，汽车完全停止.【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题：(1)求s关于t的函数解析式，不要求写出自变量的取值范围；(2)当汽车刹车后行驶了63m时，求t的值；(3)当汽车司机发现正前方处有一辆抛锚车停在路面时立刻刹车，若刹车时汽车距离抛锚车76m，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚车？试说明理由.变式应用【变式01】阅读下列材料：实验数据显示，一般成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间的增加逐步增高达到峰值，之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低.小带根据相关数据和学习函数的经验，对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量（毫克/百毫升x表示饮酒后的时间（小时）.下表记录了6小时内11个时间点血液中酒精含量y（毫克/百毫升）随饮酒后的时间x（小时x>0）的变化情况.饮酒后的时间x（小时）… 14 2341543223456…血液中酒精含量y（毫克/百毫升）…237522003752225222522254452256…下面是小带的探究过程，请补充完整：(1)如图，在平面直角坐标系xOy中，以上表中各对数值为坐标描点，图中已给出部分点，请你描出剩余的点，画出血液中酒精含量y随时间x变化的函数图象；(2)观察表中数据及图象可发现此函数图象在直线x=两侧可以用不同的函数表达式表示，请你任选其中一部分写出表达式；(3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20:30在家喝完250毫升低度白酒，第二天早上7:00能否驾车去上班？请说明理由.【变式02】（2025九年级下·广东佛山·学业考试）综合与实践【发现问题】“速叠杯”是深受学生喜爱的一项运动，杯子的叠放方式如图1所示：每层都是杯口朝下排成一行，自下向上逐层递减一个杯子，直至顶层只有一个杯子．爱思考的小丽发现叠放所需杯子的总数随着第一层（最底层）杯子的个数变化而变化.【提出问题】叠放所需杯子的总数y与第一层杯子的个数x之间有怎样的函数关系？【分析问题】小丽结合实际操作和计算得到下表所示的数据：第一层杯子的个数x12345…杯子的总数y136…然后在平面直角坐标系中，描出上面表格中各对数值所对应的点，得到图2，小丽根据图2中点的分布情况，猜想其图象是二次函数图象的一部分：为了验证自己的猜想，小丽从“形”的角度出发，将要计算总数的杯子用黑色圆表示（如图3再借助“补”的思想，补充相同数量的白色圆，使每层圆的数量相同，进而求出y与x的关系式.【解决问题】(1)直接写出y与x的关系式；(2)现有28个杯子，按【发现问题】中的方式叠放，求第一层杯子的个数；(3)杯子的侧面展开图如图4所示，ND，MA分别为上、下底面圆的半径，NDⅡMA，AB所对的圆心角7AOB=120O，OA=18cm，OD=8cm．将这样足够数量的杯子按【发现问题】中的方式叠放，但受桌面长度限制，第一层摆放杯子的总长度不超过108cm，求杯子叠放达到的最大高度和此时杯子的总数.知识必备反比例函数的图象与性质、跨学科公式（物理、化学）、待定系数法、实际意义检验。答题技法理解跨学科背景中的公式（如压强P＝F/S、欧姆定律I＝U/R将其转化为反比例函数关系。根据已知条件代入求k值，再解决相关问题。注意单位统一。母题精讲如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图1，即FA×L1=FB×L2受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点O在竖直平面内转动，支点O距左端L1=1m，距右端L2=0.4m，在杠杆左端悬挂重力为80N的物体A.(1)若在杠杆右端挂重物B，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为N.(2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物B的重力变化时，L2的长度随之变化．设重物B的重力为xN，L2的长度为ym．则：①y关于x的函数解析式是.②完成下表：x/N…20304050…y/m…8a832b…③在图2的直角坐标系中画出该函数的图象.变式应用【变式01】（2025·吉林·三模）如图①,这是一个可改变体积的密闭容器的简易图，在该容器内装有一定质量的氧气，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，随着容器体积的改变，该密闭容器内氧气的密度p（单位：kg/m3）随容器体积V（单位：m3）变化的关系图象如图②所示．结合图③信息窗中的内容，解答下列问题.(1)该容器内氧气的质量为______kg.(2)求容器内氧气的密度P关于体积V的函数解析式.(3)若该容器的体积V为25m3，求氧气的密度P.【变式02】（2026·上海闵行·一模）人工智能已经逐渐融入我们的生活．某餐厅为了跟上时代的步伐，购买了一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．在水平地面上，当机器人对地面的压力一定时，地面所受压强与接触面积之间存在的反比例函数关系（数据如表一所示餐厅的地面由玻璃、木地板和大理石三种材质拼接而成．地面材质与地面承受的最大压强的关系如表二所示.表一：地面所受压强与接触面积之间的关系地面所受压强p(Pa)……4445……接触面积Sm2)……1.2×10-3……表二：地面材质与地面承受的最大压强的关系地面材质玻璃木地板大理石能承受的最大压强p（Pa）77(1)求地面所受压强p(Pa)关于接触面积S(m2)的函数表达式（不写定义域(2)求该机器人与地面的接触面积至少为多少平方米？【变式03】（2025·浙江杭州·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻R1的大小，从而改变电路中的电流I，最终通过显示器显示物体质量．电流I(mA)与总电阻R（单位：kΩ)成反比例，其中R=R1+R2，已知R2=10kΩ.放置物体质量为1.2kg时，电流表显示为0.2mA.(1)当放置物体质量为1.2kg时，求总电阻R的值；(2)求I关于总电阻R的函数表达式；(3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为0.15≤I≤0.5（单位：mA求该电子秤所称物品质量的最大值.知识必备反比例函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、方程组求交点、实际问题的数学建模。答题技法先根据题意判断是反比例关系（积为定值）还是一次关系（差为定值）。用待定系数法分别求出解析式，联立方程组求交点坐标，理解交点在实际问题中的含义（如两人完成任务时间母题精讲【典例01】（2025·广东广州·二模）如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分示意图.该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到一4。C时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下降到一20。C时停止制冷，温度开始逐渐上升；当温度上升到一4。C时，再次开始制冷，…按照以上方式循环工作.通过研究发现，当0≤x≤4时，温度y是时间x的一次函数；当4≤x≤t时，温度y是时间x的反比.(1)求当4≤x≤t时的反比例函数关系式，并求出t的值；(2)若规定温度不高于—8oC的时间为有效制冷时间，那么在一次循环制冷过程中，有效制冷时间是多少？变式应用【变式01】（2024·浙江台州·三模）某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率=220—年龄该小组在九年级学生中随机抽取了20位男生（年龄都是16岁测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表：跳绳持续时间x（单位：秒）0306090…平均相对心率y（%）40607076…(1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示y随x变化的规律，请你说明理由.(2)该小组请教体育老师和保健医生后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢．他们计算表中y—100的值，画出散点图如下图所示，发现(y100)是(x+a)（a是常数）的反比例函数，求y与x之间的函数表达式.(3)该小组查阅资料发现：热身运动合适的心率范围是最大心率的50%～60%；减脂运动合适的心率范围是最大心率的60%～70%；有氧耐力运动（锻炼心肺功能）合适的心率范围是最大心率的70%～80%；无氧耐力运动合适的心率范围是最大心率的80%～90%，从健康角度考虑，相对心率不应超过90%.根据这些信息，请你帮学校设计一套适合男生跳绳持续时间的训练方案.【变式02】（2025·江苏泰州·二模）综合实践项目主题：从函数角度探究“大型滑滑梯的设计”.抽象建模如图1为滑滑梯实物图．首先，把滑滑梯的滑道抽象地看成一条曲线，如图2所示．其次，建立平面直角坐标系：以水平面为x轴，过曲线最高点A垂直于水平面的直线为y轴，探究发现该曲线整体不是单一的二次函数或反比例函数图像的一部分，但可近似看成是某个二次函数图像一部分与某个反比例函数图像一部分的结合．整条曲线共为AB、BC、CD三段，其中，曲线AB为冲刺部分，曲线BC为缓冲部分，曲线CD为降速部分.数据与定义已知A(0,5)，B(2,2)，C(4,1)．现给出如下定义：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，a称作该二次函数图像的“曲度”；对于反比例函数称作该反比例函数图像的“曲度”．点P到曲线竖直距离是指：点P(x0,y0)到曲线上横坐标为x0的点的距离.问题解决(1)从二次函数及反比例函数图像特征看，降速部分是（只需填序号：①二次函数图像的一部分②反比例函数图像的一部分(2)根据曲度的定义，为使滑梯更安全，曲线AB所在的函数图像“曲度”应该调（填“大”或“小”(3)兴趣小组发现整条曲线各段所在函数图像的“曲度”是一致的，且缓冲部分曲线BC是冲刺部分曲线AB或降速部分曲线CD所在函数图像的一部分，为进一步验证，可计算曲线BC上一点到这两段曲线所在函数图像的竖直距离，通过比较距离大小来判断（距离越小，则属于该函数的图像的可能性越大现测得缓冲部分一点E(3,1.33)，通过计算判断曲线BC更可能是哪段曲线所在函数图像的一部分.【变式02】（2025·浙江温州·二模）某种糖质工艺品制作材料从加热到自然降温的过程中，温度y(℃)与时间x(min)的函数图象如图所示，其中加热阶段为一条线段，且该材料从30℃加热到60℃需要10min；自然降温阶段可以看成某反比例函数图象的一部分.(1)求材料加热到90℃的时间.(2)求材料自然降温时，y关于x的函数表达式.(3)已知该工艺品操作时温度需保持在60~90℃（包括60℃,90℃),为节约能源，工厂设计了两种方案（见表格仅从工作时间和加热成本考虑，设一天工作8小时（包括加热升温阶段时间请通过计算说明，哪一种方案更节约成本？方案间歇加热工作过程①从30℃加热到60℃;②保持60℃进行加工.①从30℃加热到90℃;②自然降温到60℃;③再次加热到90℃;循环②③两个阶段.加热成本加热升温阶段每分钟需花费100元；恒温阶段每分钟需花费60元注：自然降温阶段不产生成本）巩固提升12025·河南许昌·一模）为了模拟高速公路入口“超限超载”检测站升降检测设备的工作原理，某数学兴趣小组自制了一个超限站工作模型：如图1，R1是定值电阻，质量不计的托盘和压敏电阻R2绝缘并紧密接触，已知电源电压恒定且压力表量程为0-6V，压力表示数U1与R2的函数图象如图2所示，R2（单位：Ω)与检测物的质量m（单位：kg）的函数关系式为R2=-2m+240(0≤m≤120)，则下列说法不正确的是()A．当U1=4V时，R2的阻值为30ΩB．当托盘上货物的质量为110kg时，U1=3VC．在一定范围内，U1随R2的增大而减小D．因为压力表量程为0-6V，所以该模型可测量检测物的最大质量是115kg22025·四川绵阳·一模）当今，越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后，更加喜欢同名科幻小说，该小说销量也急剧上升，书店为满足广大顾客需求，订购该科幻小说若干本，每本进价为20元，根据以往经验：当销售单价是25元时，每天的销售量是250本，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10本，书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元.(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量y（本）与销售单价x（元）之间的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当销售单价定为多少时，书店每天销售利润最大？最大利润为多少元？(3)书店决定每销售1本该科幻小说，就捐赠a(0<a≤6)元给困难职工，每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元，求a的值.32025·江苏淮安·二模）甲、乙两车从A地出发沿同一路线驶向B地，甲车先出发匀速驶向B地，40分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了50千米/时，结果与甲车同时到达B地．甲、乙两车距A地的路程y1（千米y2（千米）与乙车行驶时间x（小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题：(1)a的值为______；甲车的速度为______千米/时；(2)求乙车减速前的速度，以及图中线段EF所表示的y与x的函数关系式.42025·辽宁沈阳·二模）某科技公司在专用测试场地的一段直路上对Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人进行测试，下表是此次测试的相关信息：测试场地信息这段测试直路上依次有A，B，C三个记录点，A，C两点相距1200米.测试运动过程Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人分别从A，C两点同时出发，匀速相向而行，分别到达目的地C，A后停止运动.测试图象信息如图，OD，EF分别表示Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人离A点的距离y（米）与运动时间x（分）的函数关系图象．OD与EF相交于点G(m,n).请结合上述测试相关信息，解决下列问题：(1)求点G的坐标，并解释点G的实际意义；(2)Ⅱ型机器人到达B点比Ⅰ型机器人到达B点少用时1.2分钟，求B，C两个记录点间的距离；(3)在Ⅱ型机器人到达B点前，求Ⅰ型和Ⅱ型两款机器人运动过程中相距不超过300米的运动时间x的取值范围.52025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分y（分）与投放质量x(kg)的函数关系如图所示，已知投放纸张超过10kg后，奖励积分为25分/kg，规定积分满400分，可以兑换智能扫地机器人一台.(1)求投放8kg塑料的奖励积分；(2)求a的值；(3)若投放mkg的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的倍，求一次性投放mkg塑料和mkg纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明.625-26九年级上·山西太原·期末）综合与实践问题情境：某篮球队为提高球员的投篮技术，运用科学手段追踪记录球员的每次投篮，发现在理想状态下，球员所投出去篮球的运动路线可看作抛物线：测量数据：篮球从距地面2m的球员手中投出，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面3.8m，最高点与篮球出手点的水平距离为3m.数学建模：如图，将篮球的运动路线抽象为抛物线，其顶点为E，对称轴为直线l，篮球出手点为A，落地点为C．以水平地面为x轴，过点A且与水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，O为原点.（1）请直接写出顶点E的坐标，并求该抛物线的函数表达式；问题解决：已知投出去篮球的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变；（2）如图，若球员原地垂直起跳0.25m投篮，篮球出手点记为B，即AB=0.25m，篮球落地点为D，求起跳点O与落地点D的水平距离OD的长；（3）已知在距点O水平距离5.8m，垂直高度3.082m处是篮框．若该球员向篮筐方向沿直线OC运球一定距离后，再垂直起跳0.25m投篮，篮球可准确落入篮筐内，请直接写出该球员向篮框方向沿直线OC运球的距离.72025·湖北·一模）某农庄计划在30亩空地上全部种植蔬菜和水果，种植蔬菜面积大于种植水果面积，且均为正整数，菜农小张和果农小李分别承包了种植蔬菜和水果的任务．小张种植每亩蔬菜的工资y（元）与种植面积x（亩）之间的函数关系为y=-2x+180；小李种植水果所得报酬s（元）与种植面积n（亩）之间的函数关系为s=120n+300.(1)若小张种植蔬菜为x亩，用含x的代数式表示下列各量：①小李种植水果的面积为亩；②小张种植蔬菜所得的总工资为元；③小李种植水果所得的报酬为元；(2)若农庄支付小张和小李的总费用为4332元，求小张与小李种植的面积各为多少亩？(3)直接写出农庄支付给小张和小李的总费用的最大值.82025·广东深圳·模拟预测）【项目式学习】【项目主题】绿波畅行，高效出行【项目背景】绿波带是通过科学设置交通信号灯配时与车辆行驶速度，使车辆连续通过多个绿灯的交通优化方案．如图1，某城市计划在两个相距500米的直线型路口实施绿波带，绿波控制系统设定：车辆在第一个路口绿灯亮起后出发，第二个绿灯在10秒后亮起，绿灯时间为30秒，为保证安全，该路段限速60km/h为确保车辆能连续通过第二个路口的绿灯（车身长忽略不计某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动.任务一查阅资料经过查阅相关资料，可知汽车在匀加（减）速直线运动过程中，行驶的速度v与行驶时间t满足一次函数关系：v=v0+at，其中v0为初始速度，a为加速度，当汽车加速行驶时a的值为正数，当汽车减速行驶时a的值为负数；行驶的路程s与行驶时间t满足二次函数关系：如图2，假设当车辆从第一个绿灯亮起时出发，先进行匀加速直线运动，4秒时间加速到速度为v1m/s后，进行匀速直线运动，为确保经过路口的安全性，在接近第二个红绿灯时进行匀减速直线运动，2秒时间减速到速度为v1m/s时恰好到达第二个路口.任务二数学计算当v1=时，汽车在加速行驶过程中的加速度为m/s2，在减速行驶过程中的加速度为m/s2；（2）判断当时，汽车是否能够连续通过第二个绿灯？任务三方案设计（3）求出汽车在加速行驶与减速行驶过程中，行驶的路程s与行驶时间t分别满足的二次函数关系式（用含v1的式子表示，不用写自变量的取值范围并直接写出要连续通过第二个绿灯，则v1的取值范围为.92025·广东东莞·二模）综合与实践：生物生长规律的模型研究.如图1，砗磲(chēqú)是地球上最大的双壳类动物，某海洋研究院对南海的砗磲样本进行分析，得到某砗磲样本年龄x(单位：岁)与平均日生长速率y(单位：μm/天)的数据如下表：x052025y9.5【模型构建1】如图2，数学小组A在直角坐标系中描出以表中的值为坐标的点，根据图1点的分布情况，猜想其函数图象是过(0,26.0)的抛物线，设解析式为y=ax2+bx+26.（1）选取两个点(10,14.0)，(20,7.0)，求抛物线解析式，并直接写出该砗磲样本平均日生长速率最小时的年龄.【模型构建2】数学小组B观察表格中数据，发现后四组数据中x与y的乘积分别为k1=140，=137.5，猜想当x≥10时y与x符合反比例关系，设解析式为y=.（2）为减少偏差，取k=求反比例函数解析式.【模型应用】研究发现，正常情况下砗磲的平均日生长速率总体随年龄增长持续降低.（3）为求该砗磲样本35岁时的平均日生长速率，请从上述模型中选择恰当的一个，说明选择的理由并计算.102025·广东佛山·二模）综合与实践【问题情境】小明在海边看到一艘装有四根大圆筒的轮船（如1图所示通过查阅资料了解到这是马格努斯转子船，当圆筒高速旋转时，可以助推货轮前进，其原理是旋转的物体在流体（如空气或水）中运动时，会受到一个垂直于运动方向的力，这种物理现象被称为马格努斯效应（如2图所示生活中的足球“香蕉球”、乒乓球弧圈球，都是马格努斯效应的常见例子.【设计方案】小明与同学组成科技小组，设计实验验证马格努斯效应．实验装置如3图所示，圆柱体模拟转子船的圆筒（圆柱体半径和高度都可以调节已知装置产生的推力满足公式．F=k.①.v其中k为比例系数（与圆柱体侧面积A有关，实验条件下关系近似为k=0.5Aω为电机控制圆柱体旋转的角速度（单位：rad/sv为电风扇模拟的风速（单位：m/s产生的推力F可用测力计测量（单位：N现有实验数据如下：实验组旋转角速度ω（rad/s）推力F（N）15424【问题解决】(1)保持风速不变，若要推力达到48N，求此时旋转角速度；(2)保持风速不变，已知圆柱体的最高旋转角速度ω为10rad/s.①现有装置能否产生100N的推力？请说明理由；②已知初始时圆柱体半径r=0.5m请设计一个改变圆柱体半径的方案（高度不变使得装置在最高旋转角速度下能产生100N推力结果保留2位小数，计算过程中π取3）冲刺突破12025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用.【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到A点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间t(s)、运动快慢v(cm/s)、运动路程y(cm)的数据.【收集整理数据】运动时间t(s)04820…运动快慢v(cm/s)8642…运动路程y(cm)044…【数学建模探究】【猜想】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：v与t之间的关系可以近似地用函数表示，y与t之间的关系可以近似地用函数表示选填：一次、二次、反比例）【检验】根据猜想求出v与t,y与t之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证.【应用】当弹珠到达水平轨道上A点时，前方B点处有一辆电动小车以3cm/s的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么AB的最大值是多少？22025·江苏盐城·中考真题生活观察］小明通过观察发现，将运动中的羽毛球看成一个点，扣杀球和网前吊球这两种击球的运动路线可以近似抽象成如下两种，如图（1）、（2）所示.［数学建模］小明发现扣杀球的路线近似为一条直线，网前吊球的路线近似为抛物线．羽毛球运动轨迹的剖面图如图（3）所示，从A点击球，击球点是拋物线的最高点，点A到地面的距离AO=2.4m，球网上端点B到地面的距离BC=1.55m，人与球网之间的距离OC=1.6m，假设两种击球路线都经过点B正上方0.05m处的点D，网前吊球和扣杀球的落点分别为点E、F.（1）请在图（3）中建立合适的平面直角坐标系，并分别求出两种击球路线的函数表达式.［模型应用］（2）网前吊球的落点到球网的距离CE的长是m.（3）甲在A处击球，扣杀球时，羽毛球的平均速度约为36m/s．网前吊球时，羽毛球下降的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h=5t2．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少需要0.5s．请通过计算说明，乙能接到哪种方式的击球.32025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点M出发沿同一路线匀速步行前往N处参加活动．甲比乙早出发6min，两人途中均未休息，先到达N处的人在原地休息等待，直到另一人到达N处．两人之间的路程y(m)与甲行走的时间t(min)的函数图像如图所示.(1)乙步行的速度为m/min,MN之间的路程为m；(2)当18≤t≤50时，求y关于t的函数表达式；(3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为450m.42025·山东青岛·中考真题）小磊和小明练习打网球．在一次击球过程中，小磊从点O正上方1.8米的A点将球击出.信息一：在如图所示的平面直角坐标系中，O为原点，OA在y轴上，球的运动路线可以看作是二次函数y=ax2+bx+1.8（a，b为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离，图象经过点(2,3.2)，(4,4.2).信息二：球和原点的水平距离x（米）与时间t（秒0≤t≤1.6）之间近似满足一次函数关系，部分数据如下：t（秒）0…046…(1)求y与x的函数关系式；(2)网球被击出后经过多长时间达到最大高度？最大高度是多少？(3)当t为1.6秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数y=-0.02x2+px+m（p，m为常数）图象的一部分，其中y（米）是球的高度，x（米）是球和原点的水平距离．当网球所在点的横坐标x为2，纵坐标y大于等于1.8时，p的取值范围为（直接写出结果）.52025·吉林长春·中考真题）某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息：a．20名男生的臂展与身高数据如下表：编号123456789身高/cm臂展/cm编号20身高/cm臂展/cmb．20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表：平均数中位数众数身高/cmm臂展/cmnc．20名男生臂展的频数分布直方图如图①将臂展数据分成5组：160≤a<165，d．20名男生臂展与身高的散点图如图②,活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展y(cm)与身高x(cm)之间关联关系的直线l.根据以上信息，回答下列问题：(1)写出表中m、n的值：m=，n=；(2)该校九年级有男生240人，估计其中臂展大于或等于170cm的男生人数；(3)图②中直线l近似的函数关系式为y=1.2x-40，根据直线l反映的趋势，估计身高为185cm男生的臂展长度.62025·贵州·中考真题）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①,小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点F，运动路径近似为抛物线C1，且C1:y=ax2+bx+c，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点G，运动路径近似为抛物线C2，且C2:y=-x2+mx+n小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）如图②,当a=-时，若点F坐标为(2,0)，求抛物线C1的表达式；(2)在（1）的条件下，若FG=4，在水面上有一个截面宽AB=1，高BC=0.5的矩形ABCD的障碍物，点A的坐标为(4.5,0)，判断此时石块沿抛物线C2运动时是否能越过障碍物？请说明理由；(3)小星在抛掷石块时，若C1的顶点需在一个正方形MNPQ区域内（包括边界且点F在(3,0)和(4,0)之间（包括这两点其中M的取值范围在抛掷过程中正方形与拋物线C1在同一平面内）72025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具（如图①),有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB=1m．若图中人物竖直向下施加的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小星发现F与l有一定的关系，记录了拉力的大小F与l的变化，如下表：点A与点O的距离l/m123拉力的大小F/N300200a(1)表格中a的值是；(2)小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画F与l之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；(3)根据以上数据和图象判断，当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由.82025·内蒙古·中考真题）问题背景：综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图所示.外形参数：如图1，装置整体图案为轴对称图形，外形由上方的抛物线L1，中间的矩形ABCD和下方的抛物线L2组成．抛物线L1的高度为8cm，矩形ABCD的边AB=8cm，BC=6cm，抛物线L2的高度为4cm．在装置内部安装矩形电子显示屏EFGH，点E，F在抛物线L2上，点H，G在抛物线L1上.问题解决：如图2，该小组以矩形ABCD的顶点A为原点，以AB边所在的直线为x轴，以AD边所在的直线为y轴．建立平面直角坐标系．请结合外形参数，完成以下任务：(1)直接写出B，C，D三点的坐标；(2)直接写出抛物线L1和L2的顶点坐标，并分别求出抛物线L1和L2的函数表达式；(3)为满足矩形电子显示屏EFGH的空间要求，需要EH边的长为15cm，求此时EF边的长.92024·山东青岛·中考真题）5月中旬，樱桃相继成熟，果农们迎来了繁忙的采摘销售季．为了解樱桃的收益情况，从第1天销售开始，小明对自己家的两处樱桃园连续15天的销售情况进行了统计与分析：A樱桃园第x天的单价、销售量与x的关系如下表：单价（元/销售量天5020第2天4830天4640第4天4450B樱桃园第x天的利润y2（元）与x的关系可以近似地用二次函数y2=ax2+bx+25刻画，其图象如图：………第x天10x+10第x天的单价与x近似地满足一次函数关系，已知每天的固定成本为745元.(1)A樱桃园第x天的单价是______元/盒（用含x的代数式表示(2)求A樱桃园第x天的利润y1（元）与x的函数关系式利润=单价×销售量—固定成本）(3)①y2与x的函数关系式是______；②求第几天两处樱桃园的利润之和（即y1+y2）最大，最大是多少元？(4)这15天中，共有______天B樱桃园的利润y2比A樱桃园的利润y1大.102025·山西·中考真题）综合与实践问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线．我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60cm，起跳点与落地点的距离为160cm.数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M．以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.（1）请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变.点Q在x轴的正半轴上．求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长；（3）实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的其中7ABC=7BCD=90O，AB=57cm,BC=40cm,CD=48cm．仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物．若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物．请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）.技法清单知识必备一次函数、二次函数的解析式与性质、一元一次不等式（组）、利润公式、最值问题、自变量取值范围的确定。答题技法牢记利润问题核心公式：总利润＝(售价－进价)×销售量。先根据“每涨价x元，销量减少y件”等条件确定销售量与售价的函数关系，再代入利润公式得到二次函数，最后在自变量取值范围内利用顶点坐标求最值（注意顶点是否在范围内）。母题精讲【典例01】（2025·山东青岛·模拟预测）在中国大陆长达1.8万公里的海岸线上，屹立于黄海之滨的崂山“试比天高”，其山脉以主峰为中心向四方延伸，演绎着山海相依的浪漫和道法自然的美学．小飞一家在崂山风景区开了一家超市，为迎接将要到来的旅游黄金季（每年5月到10月小飞拿出了去年对某种矿泉水（如图1）销售情况的统计数据进行参考，提供如下信息：①工商管理局规定：该矿泉水零售价不得高于6元/瓶②统计售价x（元/瓶）与需求量y需求（箱）的数据：发现当售价为3元/瓶时，该矿泉水的需求量为100箱，售价每上涨0.5元，需求量就减少5箱.③该矿泉水的供给量y供给（箱）关于售价x（元/瓶）的函数关系如下表所示：售价x（元/瓶）3456④5~10月份该矿泉水的售价x售价（元/瓶x成本（元/瓶）关于月份t的函数表达式分别为x售价=，x成本=-函数图象见图2.(1)写出需求量y需求（箱）和供给量y供给（箱）关于售价x（元/瓶）的函数关系式.(2)哪个月出售这种矿泉水每瓶获利x利润（元/瓶）最大？并说明理由.(3)求该矿泉水需求量与供给量相等时的售价，以及按照该价格出售获得的总利润.y需求=-10x+130；y供给=(2)6月出售这种矿泉水每瓶获利x利润最大(3)该矿泉水需求量与供给量相等时的售价为4元，按照该价格出售获得的总利润为2160元【分析】本题综合考查了一次函数、反比例函数、二次函数的应用，通过分析题目中的数量关系，建立相应的函数模型来解决问题；（1）根据题意列出一次函数与反比例函数解析式，即可求解；根据x利润=x售价-x成本=根据二次函数的性质，即可求解；（3）依题意，-10x+130=得出x=4，进而求得t=7，进而根据单件利润乘以数量，即可求解.【详解】（1）解：∵当售价为3元/瓶时，该矿泉水的需求量为100箱，售价每上涨0.5元，需求量就减少5箱100-×5=-10x+130，3≤x≤6，根据信息③可得y供给（箱）与售价x的乘积相等，设y供给=代入x=3,y=120得，k=360，（2）解：6月出售这种矿泉水每瓶获利x利润最大，理由如下，依题意，x售价=，x成本=-∴当t=6时，即6月出售这种矿泉水每瓶获利x利润最大；（3）解：依题意+130当该矿泉水需求量与供给量相等时，-10x+130=解得：x1=