2027届新高考数学热点突破复习数列的概念与表示

2027届新高考数学热点突破复习数列的概念与表示课标要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）.2.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数，理解单调性是数列的一

项重要性质，可用来求最值.目录/CONTENTS考点一数列的概念01考点二由an与Sn的关系求通项公式02提能点由数列的递推关系求通项公式03课时跟踪训练0401PART考点一数列的概念1.

数列的概念概念含义数列按照

⁠排列的一列数数列的项数列中的

⁠数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项an与

⁠之间的关系式前n项和数列{an}中，Sn＝

⁠确定的顺序

每一个数序号n

a1＋a2＋…＋an提醒：数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的

位置序号.2.

数列的分类及性质3.

数列的表示方法列表法列出表格表示n与an的对应关系图象法把点

⁠画在平面直角坐标系中公式法通项公式法递推公式法（n，an）

4.

数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R

的函数，其自变量是

，对应的函数值是

⁠，

记为an＝f（n）.序号n

数列的第n项an

提醒：{an}的前n项和Sn也是关于n的函数.

题组练透

√

A.

－36B.36C.

－6D.6

√3.

写出下列各数列的一个通项公式，它们的前几项分别是：（1）1，3，7，15，31，…；解：由1＝2－1，3＝22－1，7＝23－1，15＝24－1，31＝25－1，…，

可得an＝2n－1.

练后悟通由数列的前几项归纳通项公式时应注意的4个特征（1）分式中分子、分母的特征；（2）相邻项的变化特征；（3）拆项后的特征：把数列的项拆分成变化的部分和不变的部分；（4）各项的符号特征.02PART考点二由an与Sn的关系求通项公式

A.2×32

024B.32

024C.32

025D.2×32

025D

（2）已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an

＝

⁠.

规律方法1.Sn与an关系问题的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解；方向2：利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为只含an，an－1的关系式，再求解.2.已知Sn求an的基本步骤（1）先利用a1＝S1求出a1；（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1

（n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式；（3）对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，若符

合，则可以把数列的通项公式合写；若不符合，则应该分n＝1与n≥2两

段来写.

n

（2）已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝n2＋2，则{an}的通项公式

为

⁠.

03PART提能点由数列的递推关系求通项公式递推公式：如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来

表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.

（1）已知a1＝2，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝

⁠；

（2）若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n，则数列{an}的通项公式为an

＝

⁠.

2n－1规律方法

又a1＝1也满足上式，

斐波那契数列教材母题：〔人A选修二P10阅读与思考〕1202年，一位意大利数学家斐

波那契（Leonardo

Fibonacci）写了一本书，叫《算盘书》.这本书中提出

了一个关于兔子繁殖的问题，斐波那契在解答过程中发现了数字的自然

增长模式——即大名鼎鼎的斐波那契数列，又称“兔子数列”“黄金分

割数列”.其数值为：1、1、2、3、5、8、13、21、34……，其中从第三

个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.细研教材：数列{an}满足：a1＝1，a2＝1，且an＝an－2＋an－1（n≥3）.

（1）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，

1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，即F1＝F2＝1，Fn＝Fn－1＋Fn－2

（n≥3，n∈N*），此数列在现代物理、化学等领域都有着广泛的应用.若

此数列被2整除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2

026项的

和为（

D

）A.674B.675C.1

348D.1

351解析：由题意可得a1＝1，a2＝1，a3＝0，a4＝1，a5＝1，a6＝0，a7＝1，

a8＝1，a9＝0，…，从而可得数列{an}是以3为周期的数列，所以数列{an}

的前2

026项的和为675（a1＋a2＋a3）＋a1＝675×2＋1＝1

351.D（2）〔一题多解〕（2024·新高考Ⅰ卷8题）已知函数f（x）的定义域为

R，f（x）＞f（x－1）＋f（x－2），且当x＜3时，f（x）＝x，则下

列结论中一定正确的是（

B

）A.

f（10）＞100B.

f（20）＞1

000C.

f（10）＜1

000D.

f（20）＜10

000B解析：法一（常规解法）

由题意可取x＝1得f（1）＝1，取x＝2得f

（2）＝2，取x＝3得f（3）＞f（2）＋f（1）＝3，同理依次可得f（4）

＞f（3）＋f（2）＞5，f（5）＞f（4）＋f（3）＞8，f（6）＞f（5）＋

f（4）＞13，f（7）＞f（6）＋f（5）＞21，f（8）＞f（7）＋f（6）＞

34，f（9）＞f（8）＋f（7）＞55，f（10）＞f（9）＋f（8）＞89，f（11）＞f（10）＋f（9）＞144，f（12）＞f（11）＋f（10）＞233，f

（13）＞f（12）＋f（11）＞377，f（14）＞f（13）＋f（12）＞610，f

（15）＞f（14）＋f（13）＞987，f（16）＞f（15）＋f（14）＞1

597，…，f（20）＞1

000.故选B.

法二（斐波那契数列解法）

由题意可知f1＝1，f2＝2，所以f3＞f2＋f1＝

3，依题意可得fn＞an＋1，由斐波那契数列递推公式可得a11＝89，a12＝

144，故f10＞89，但仅根据现有推导不能确定f10与100、1

000的准确大小关

系，A、C错误.写出斐波那契数列的第10到17项依次为：55，89，144，

233，377，610，987，1

597，显然f20＞1

000，B正确，但根据条件f20可以

无限大，D错误；故选B.

04PART课时跟踪检测（时间：60分钟，满分：90分）[备注：单选、填空题5分，多选题6分]1.

已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝n2－1，则a3＝（

）A.

－5B.5C.7D.8解析：

因为Sn＝n2－1，所以a3＝S3－S2＝（32－1）－（22－1）＝5.1234567891011121314√2.

（2026·甘肃金昌期末）数列－4，7，－10，13，…的一个通项公式为

（

）A.

an＝（－1）n（3n＋4）B.

an＝（－1）n（3n＋1）C.

an＝（－1）n＋1（3n＋4）D.

an＝（－1）n＋1（3n＋1）解析：

由符号来看，奇数项为负，偶数项为正，所以通项公式中应该含有（－1）n，4，7，10，13满足3n＋1，所以数列－4，7，－10，13，…的一个通项公式可以为an＝（－1）n（3n＋1）.故选B.

√1234567891011121314

A.30B.31C.45D.46解析：

由已知得an＋1－an＝3n，∴a2－a1＝3，a3－a2＝6，…，a6－

a5＝15，上述等式左右分别相加可得a6－a1＝3＋6＋9＋12＋15＝45，∴a6

＝1＋45＝46.故选D.

√12345678910111213144.

已知数列{an}满足an＋1＝（－1）nan，且a1＝1，则a18＋a19＝（

）A.

－2B.0C.1D.2

√12345678910111213145.

对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如表，数列{xn}满足：x1

＝1，且对于任意n∈N*，点（xn，xn＋1）都在函数y＝f（x）的图象上，

则x1＋x2＋…＋x2

024＝（

）x123456789y375961824A.7

569B.7

576C.7

584D.7

590√1234567891011121314解析：由题意，数列{xn}满足x1＝1，且点（xn，xn＋1）都在函数y＝f（x）的图象上，可得x2＝f（x1）＝f（1）＝3，x3＝f（x2）＝f（3）＝5，x4＝f（x3）＝f（5）＝6，x5＝f（x4）＝f（6）＝1，…，则数列{xn}是周期为4的周期数列，即数列{xn}满足x4k－3＝1，x4k－2＝3，x4k－1＝5，x4k＝6，k∈N*，则x1＋x2＋…＋x2

024＝506×（1＋3＋5＋6）＝7

590.故选D.

12345678910111213146.

〔多选〕若数列{an}的前4项分别为2，0，2，0，则这个数列的通项公

式可能是（

）A.

an＝1＋（－1）n＋1B.

an＝1－cos

nπD.

an＝1＋（－1）n－1＋（n－1）（n－2）√√√1234567891011121314

1234567891011121314

解析：设a4＝m，则m∈[2，3]，得a3＝m－1，a2＝2（m－1）＝2m－

2，所以a1＝2m－3∈[1，3].[1，3]12345678910111213148.

（2026·广东深圳期末改编）已知数列{an}满足a1＋3a2＋…＋3n－1an

＝n·3n，则a2

027＝

⁠.解析：n≥2时，a1＋3a2＋…＋3n－2an－1＝（n－1）·3n－1，与原式相减

得3n－1an＝n·3n－（n－1）·3n－1＝（2n＋1）·3n－1，则an＝2n＋

1，经检验，n＝1时也成立，故an＝2n＋1，即a2

027＝4

055.4

05512345678910111213149.

已知Sn为数列{an}的前n项和，且log2（Sn＋1）＝n＋1，则数列{an}

的通项公式为

⁠.

1234567891011121314

（1）求a2的值；

1234567891011121314（2）求数列{an}的通项公式.

1234567891011121314

11.

〔创新考法〕数列{Fn}：1，1，2，3，5，8，13，21，34，…，称为

斐波那契数列，又称黄金分割数列，是由十三世纪意大利数学家斐波那契

以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.该数列从第三项开

始，每项等于其前相邻两项之和.记该数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列

结论正确的是（

）A.

S2

024＝F2

026＋2B.

F2

026＝S2

024＋1C.

S2

025＝F2

026＋2D.

S2

025＝F2

026－1√1234567891011121314解析：

根据题意，F1＝1，F2＝F1，F3＝F2＋F1，F4＝F3＋F2，…，

F2

025＝F2

024＋F2

023，F2

026＝F2

025＋F2

024，则F3－F2＝F1，F4－F3＝

F2，…，F2

025－F2

024＝F2

023，F2

026－