高考数学压轴题突破训练-数列（含详解）

高考数学压轴题突破训练：数列

1.设函数/(A)=inA,g(A)=ax---2f(x).

x

(l)若g(x)在定义域内为单调函数，求。的取值范围；

(2)证明：①/(x)<x-l(x>0)；

x-.In2In3Inn2n2-n-\…、一、

@——+-^+—<-------------(nzwN,77>2)

2232n24(〃+1)

a2

1佃(1\，/、2ar-2x+a

1.解：(1)g'(x)=〃+r——=-----；--------

尸XJT

・・・g(X)在(0,+8)单调,

ax1-2x+a0或ax2-2x+a20在(0,+℃)恒成立，

即心令或此上在(0,+8)恒成立，

X~+1X*+1

，aW0或a>1.

(2)①设奴工)二/(幻-x+1,贝1］夕'(幻='一1,

x

当x=l时，­)=0

当Ovxvl时,“a)>0，0(x)递增，当时,(p\x)<0.・・9(x)递减，

8(X)max=W)=°

(p(x)-/(x)-x+1^0BP/(x)<x-1(x>0)

②由①，ZW<i-l(x>0)又^二，

n~n(n+1)nn+I

・•・左边百竽+喈+•••+孥卜卯等+”"）+…（T）

-(72-1)——(---------1----------1------1--------------)

222334nw+1

1/i\I/1\2〃2_〃一］七;力

=—(//—1)—(----------)=------------=石也

222〃+14(H+1)

・•・原不等式成立

2.已知/(x)=x-sinJ,数歹11｛x”｝满足;I〕=—7T,2xn+1+cosx„-7r=0o(neN*)

(1)判断并证明函数/(x)的单调性；

⑵数列｛)，〃｝满足先$“为｛%｝的前〃项和。证明：S,,<y

2.解:(1)/'(x)=l-cosx^O,仅当二=2七r(RwZ)时,/'(x)=0,故/(x)在R

上单调递增。

(2)/3)为奇函数，/(0)=0,

由（1）知当x20时，/（x）20,即x-sinx20,也就是sinxWx在［0,+8）上，恒成立。

由己知得乙N_g=_；cosx“二：sin(_r,「争

乙J乙乙

所以IMi1=gIsin(xn-y)|<^|x„-||

所以［七一］区;凡

SCW/4(/—1—H1+H----1-)-71,(-4-------1-)、<-万

〃22232,,+,22向2

3.已知数列｛〃“｝的前〃项和为S“，若q=2,小4用=S〃+〃(〃+1),

（1）证明数列｛/｝为等差数列，并求其通项公式;

q

（2）令①当〃为何正整数值时，T>T：②若对一切正整数〃，总

2nn+｝

有7；0团，求加的取值范围。

3.解：(1)令〃=1,\a2=a1+1-2,^a2-ai=2

由卜％=S“+〃(〃+l)

［("Dy=S,“+〃(〃T)

=>〃•%一("W”=。”+2〃=>%一4=2(〃>2)

Va2-a,=2,・・・4m-4〃=2(〃cN')，

即数列｛%｝是以2为首项、2为公差的等差数列，・・・/=2〃

⑵①7>泊吗»〉心=(〃+段+2)，即〃>2(〃EN.)②・・・

V3

7]=W=1,T,=T'，又・・・〃>2时，T”>「小

3

，各项中数值最大为3,♦•,对一切正整数〃，总有7；W，〃恒成立,

2-

4.已知数列｛〃"｝,｛2｝中，q=，。>0）,〃2=产，且工=，是函数

/（A）=13,1-4）/-（afl-%+i）x的一个极值点。

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）若点Pn的坐标为（1也）（〃eN*）,过函数g（x）=ln（l+f）图象上的点

（〃〃，g（。”））的切线始终与平行（点。为坐标原点）；求证：当g<l<2时，不

等式，+…+-!-<2〃一22对〃£7“成立。

4.解：(1)=0->(n,l+1-an)=t(an-anA)(n>2)

.・.%—=«〃>2)

d

・・・《川一%二(产一〃〃T=《川一/二产一〃

n,t[n2

・・・an-an_,=t-t-\an_i-an_2=r-t-，…的一4二

n

an—ax=t-tyan=t"(t1)

E时，%_%=anA-afl_2=…=%-4=0

・•・%=1

综上a“="nsN*)

(2)由a二g，@J得2=#]=高

1+41+z

/，〃、1(n八

..・一1=­1(/d1---1-).td------(r2j+—।)\=(/t-20)--(--2--'-T----l-)-<(),

h2tH「TTtn

—+—+—<-[(2+22+--+2n)+(-4--+­••+—)]

“b2bn2242"

=2"+2-")<2'.2.Jl•2-”=2"-2?

22

3.（2011年高考浙江卷理科19）（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列

m〃｝的首项(〃CR),设数列的前n项和为S“，且工，，成等匕数

qa?%

列(I)求数列M”｝的通项公式及s”(H)记4=_L+-!-+-L+...+L,

S[S?S3Sn

^,=-4-—+—+...+—,当〃22时，试比较4与&的大小.

4%%

2

【解析】(I)A-==«,^4=>(«)+d)=al(a{+3d)d=ax=a

ai%4

贝(]an=4+(n-l)d=q+(〃-1)4=na}=na，

n(n-\),n(n-\)〃(〃+l)

Sc„-a,n+------a=an+-----a=-------a

"1222

11)A,=—+—+—+•••+-=，八+--+不——+———；—

"SS,S,S1x22x33x4〃(〃+1)

123"---a----a----a-------a

2222

-2---1-+-2---1--

6tlx2a2x3

21211

+•)

a3x4an(n+1)7+T

因为二2"a,所以BH=—+—+—+=-------W-="r)

aa

qa2%*1---2

2

当〃N2时，22=C>C'+C;++C,：>〃+1即1--—<1-—；

"""n〃+lT

所以当。〉0时，An<Bn；当。<0时，An>Bn.

2

5.已知f(x)=(x-l),g(x)=10(x-l),数列｛an｝满足a1=2,

9

a_aa+

(n+in)g(n)f(an)=0,bn=—(n+2)(an-1).

(I)求证：数列包-1｝是等比数列；

(II)当n取何值时，"取最大值，并求出最大值；

fin+1

(III)若二—对任意mcN”恒成立，求实数，的取值范围

Hnb1n+1

2

5.解：(I)V(an+1-aB)g(an)+f(an)=0,f(an)=(an-I),g(an)=10(an-1),

a=0.W(a-l)(10a-9a-l)=0.

•••(n+i-an)10(an-1)+(an-1)nn+In

91

又a1=2,可知对任何明一IwO,所以a。-----------

1010

J'Q

10n10_9

••an+i

anT

an-110

・・・就一1｝是以小一1=1为首项,公比为2的等比数列.

10

O

(II)由(I)可知a0-1=(—)n'(neN*).

10

99

n

Abn=-(n+2)(an-l)=(n+2)(-).

b(n+3端严9

-12——=—(14-1

).

>(n+2)(—)n910n+2

1()

b8

当n=7时,b8=b7?

^7

3>1,

bb

当n<7时,n+l>n；

也<1,b

当n>7时,n+l<b0.

b”

98

当n=7或n=8时,bn取最大值，最大值为b7=bg=--

IO7

g.ma.m+11lOt

(in)由—,得t叫l<0

LIm+29(m+3)

依题意（*）式对任意m^N'恒成立,

①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意.

1

②当L<0时，由>0,可知lm<0(rneN+).

m+29(m+3)

而当m是偶数时J>0,因此t<0不合题意.

③当t>0时，由(mcN"),

l()t(meN-)

m+29(m+3)<。"优

9(m+3)

设h(m)=(mwN")

10(m-t-2)

9(m+4)9(m4-3)

h(m+l)-h(m)=

10(m+3)10(m+2)

10(m+2)(m+3)

h(l)>h(2)>••->h(m-1)>h(m)>•••.

・・・h(m)的最大值为Ml)=晟.

J

所以实数l的取值范围是

5

6.已知函数/(x)=or------21nx,/(l)=0.

x

(I)若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围；

(II)若函数f(x)的图象在x=1处的切线的斜率为0,且

4+1=/'(-----------)-〃？+1，己知a=4,求证：a,,>2n+2；

(in)在(II)的条件下，试比较一+^—+…与2的大小,

14-a}1+a21+1+aH5

并说明你的理由.

r\

6.解：(1)/(I)=<7-Z?=0=>=/?,.e./(X)=67X---21nx,/.f\x)=a+-^r——.

XXX

要使函数f(X)在定义域((),+8)内为单调函数，则在((),+8)内广(X)恒大于0或恒

小于0,

2

当。=0B寸，f\x)=——<0在(0,+8)内恒成立;

X

当。>小寸，要使r(_r)=ad-_L)2+a-，N0恒成立，则解得々21,

xaaa

当。<00寸，/(幻=。+:一2w0恒成立，

上'X

所以4的取值范围为[1,+8)D(-8,0].

(2)根据题意得：/⑴=0,即。十。一2=0,得。=1,/./f(x)=(--l)\

x

22

于是《川=/'(——'--)-/r+1=(a„-n)-n+1=-2natt+1,

%-〃+1

用数学归纳法证明如下：

当〃=1时，q=422x1+2,不等式成立；

假设当〃=A时，不等式422k+2成立，即知-2k22也成立，

当〃二2+1时，tz,+1=%(4—2Q+1N(2A+2)X2+1=4&+5>2(〃+1)+2,

所以当〃=A+1,不等式也成立，

综上得对所有〃£N*时，都有氏22〃+2.

(3)由⑵得%=0一一2(〃-1)]+1>4T[2(〃-1)+2-2〃+2]+1=2。11T+1，

于是勺+1N2(4一+1)(〃22)，

所以。2+122(q+1),a^+\>2(a2+1),tzw+1>2(tzn_1+1)>

累乘得：a„+\>2"T(q+1),则<-4T•J—(〃之2),

1+an21+%

111111212

所以一!一十+…+----<-----(Z1l+-+r+…+—)=-(Zl1)<-

2,,_|r

1+J1+a21+an1+q22252"5

7.(2012•四川)己知a为正实数，n为自然数，抛物线产-J+色与x轴正

半轴相交于点A,设f(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距.

(I)用a和n表示f(n)；

(n)求对所有n都有f1)-1*二成立的a的最小值；

f(n)+1

(ED当0VaV1时，比较£—r_、与空.f一f„的大

2f(k)-Lf(“2kI)4f(0)-f(1)

小，并说明理由.

考点圆锥曲线的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最

小值问题中的应用。

专综合题。

解n方

答：解：(I),••效物线产-J+号与X轴正半轴相交于点A,7.A(Q,0)

对y=-J+T求导得y,=-2x

2

抛物线在点A处的切线方程为y=-^2an(X-，

•*-y=-72a^x+an

vf(n)为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，・•.f(n)=an；

(口)由(工〉知—1】)』1则f仅)-1A^-成立的充要条件是a22n3十1

f(n)+1

即知，a,2n3+1对所有n成立，特别的,取n=2得到於行

当a=E，佗3时，an>4n=(1+3)

，l+3C“9C：+37C：=l+2n3+£n[5(n-2)2+(2n-5)]>2n3+l

当n=0,1,2时，(历),2!?+1

「•a=近?时，对所有n都有：一1成立

f(n)+1r+l

a的最小值为近吊

(HI)由(工)知f(k)=ak,下面证明：

F1>27」⑴"(n)

(k)-f(2k)4*f(0)-f(1)

首先证明：当OVxVl时,

设函数g(x)=—X(X2-X)+1,()<X<1,则g，(x)=-^ix(X--)

443

当OVxvZ时,g/(x)<0；当2VX<1时,g'(x)>0

故函数g(x)在区间(0,1)上的最小值g(x)min=g(-)=0

3

/.当OVxVl时，g(x)>0,/.—

x-x2

由OVaVl知0<ak〈l,因此一

a,

从而

£_______I______、1I1+…।1'巡k=-xa-a㈤

(k)-f(2k)a-a2a2_a4产-*J4-a

>_27旷a。27_f⑴-f(n)

41-a4*f(0)-f(1)

6.(2011年高考天津卷理科20)(本小题满分14分)

已知数列｛《』与｛2｝满足：月勺+%+么+必〃+2=°也=^+，〃EN'，且

q=20=4.

(I)求处,。4M5的值;

(口)设g生用，次.，证明：化,｝是等比数列；

(III)设S«=〃■,+%H----Fa、k,keN,证明：~~<—(〃£N).

6

【解析】本小题主要考查等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、

推理论证能力、综合分析能力和解决问题的能力及分类讨论的思想方法.

)解:由可得是奇数〃n

(Ia=3+；D”〃_N,4,2,〃是偶数,又〃4+%+%"=0,

当n=l时,q4-a2+2%=0,由4=2,%=4，得/=-3;

当n=2时,2a2+ay+&=0,可得《二一5.

当n=3时,％+&+26=0，可得%=4.

（II）证明:对任意〃£意,

生”7+〃2〃+2%,向=°忘

2a2”+42〃+1+生“+2=°，(^

生向+〃2”+2+2。2“+3=°，③

②-③得。④，

将④代入①，可得。2〃+1”2.+3=一（*+出向），即明=F（〃£N'），又

q=q+。3=

故q尸0,因此如=-1,所以匕｝是等比数列.

（in）证明;由（ID可得―十/­=（-1）£，

于是，对任意ZEM且ZN2,有

q+《=-1,

一(a3+%)=T

区+%=-1,

（-1）（见卜3+。2人-1）=

将以上各式相加，得4+（-l）%2i=一出—1）,

即味=（-1产伏+1），

此式当k=l时也成立.由④式得/=（T严伏+3）.

从而％=（〃2+4）+（4+%）+…+（a4k-2+）=一&，

S2k-\=S2k-a4k=Z+3.

所以,对任意

"i=la4ni-3

2m+22fn-12m+32m

=z(-)

"1=12m2m+22m+12m+3

盲(d+w+2-2))

2s53

2x3念2〃z(2〃z+l)(2〃+2)(2〃+3)

1白53

3£(2〃L1)(2/〃+1)(2〃+2)(2〃+3)

+(------------)]+-------------

2/z-l2〃+1(2〃+2)(2〃+3)

5_5]3

36-22//+I(2〃+2)(2〃+3)

7

<-

6.

对于n=l,不等式显然成立.

所以，对任意

二(工+区)+(邑+&)++(4L±+&L)

4生%«2n-la2n

=(1-------)+(1---；---；----；---)+…+(1------------)

4124242-(42-1)4"(4"-1)

/11、/12、1n、

-n-(—I)—(—三H—z—z---)—••■~(-z---1---------)

4124242(42-1)4”4“(4"-1)

<7?-(—+—)=72--.

4123

(2010江西理数)22.(本小题满分14分)

证明以下命题：

(1)对任一正整a,都存在整数b,c(b<c),使得/成等差数列。

(2)存在无穷多个互不相似的三角形△“，其边长4,如c”为正整数且

嫌,“，的2成等差数列。

【解析】作为压轴题，考查数学综合分析问题的能力以及创新能力。

(1)考虑到结构要证/+/=%2,；类似勾股数进行拼凑。

证明：考虑到结构特征，取特值12,52,72满足等差数列，只需取b=5a,c=7a,对

一切正整数a均能成立。

结合第一问的特征，将等差数列分解，通过一个可做多种结构分解的因式说

明构成三角形，再证明互不相似，且无穷。

证明：当磕4q；成等差数列，则北，

分解得：S.+an)(bn-an)=(cn+包)(%-bn)

选取关于n的一个多项式，4〃(〃2一1)做两种途径的分解

4〃(〃2-1)=(2〃-2)(2〃2+2〃)=(2n2-2〃)(2〃+2)4n(n2-1)

an—n~-2n-1

对比目标式，构造a=/+1(〃之4),由第一问结论得，等差数列成立,

cn=n"+2〃-1

考察三角形边长关系，可构成三角形的三边。

下证互不相似。

任取正整数m,n,若△m,△n相似：则三边对应成比例

in2-2m-1_+1_〃/+2m-1

n2-2n-[tr+1??+2〃-1

由比例的性质得：巴二l=Snm=〃，与约定不同的值矛盾，故互不相似。

n-\〃+1

(2010安徽文数)(21)(本小题满分13分)

设G，C2，…,C，…是坐标平面上的一列圆，它们的圆心都在x轴的正半轴上，且

都与直线)，=当工相切，对每一个正整数〃，圆G都y\

与圆c向相互外切，以G表示G的半径，已知匕｝为"

递增数列.I。I

(I)证明：亿｝为等比数列；第(21)题图

(H)设4=1,求数列｛4｝的前〃项和.

【命题意图】本题考查等比列的基本知识，利用错位相减法求和等基本方法，考

察抽象概括能力以及推理论证能力.

【解题指导】（1）求直线倾斜角的正弦，设C,的圆心为（4,0）,得4=2小同

理得4讨=2小|，结合两圆相切得圆心距与半径间的关系，得两圆半径之间的关

系，即｛/｝中乙小与〃的关系，证明｛，"为等比数列；（2）利用（1）的结论求｛/｝

的通项公式，代入数列I,然后用错位相减法求和.

解：（1）将直线y二苴珀勺倾斜角记为，则有tan。二立,sin。」，

332

设C的圆心为（4,0）,则由题意得知:二L得%=2%；同理

42

4+1=从而4+1=4+q+rn+i=2y+1，将4=2%代入，

解得褊=3%

故,I为公比q=3的等比数列。

（II）由于i；=l，q=3,故1；=3n，从而2=n*3'n,

rn

记Sn=-+—+.....+2•，则有

ri"Z

_,-2

Sn=1+2*3+3*3+......〃*3~

S

才=1*3一\2*3-2+……+（〃-1）*3-+〃*3-"

①-②，得

2S

—=1+3々+3-2+...+3『"一〃*3一"

3

=1——"*3-〃==3-（〃+=3）*3一〃，

222

3

c91/工3、n-9-（2〃+3）*3~

〃4224

【方法技巧】对于数列与几何图形相结合的问题，通常利用几何知识，并结合图

形，得出关于数列相邻项。“与。用之间的关系，然后根据这个递推关系，结合所

求内容变形，得出通项公式或其他所求结论.对于数列求和问题，若数列的通项

公式由等差与等比数列的积构成的数列时，通常是利用前n项和S〃乘以公比，

然后错位相减解决.

（2010天津文数）（22）（木小题满分14分）

在数列｛/｝中，a^O,且对任意ksN"a25a2k，a2k+i成等差数列，其公差为2k.

(I)证明@4也5/6成等比数列；

(II)求数列｛4｝的通项公式；

(III)记7；=~+之+-+£,证明3<2n-]<2(nN2).

出生42

【解析】本小题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数

列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力

及分类讨论的思想方法，满分14分。

(I)证明：由题设可知，出=4+2=2,6=%+2=4,q=4+4=8,

a5=%+4=12,

牝=%+6=18。

从而组二四=2,所以4,2,牝成等比数歹h

a5q2

(II)解：由题设可得知句一生i=4攵MwN*

所以%+i-4=（%+i-%j）+（。2（一1-旬-3）+…（4-4）

=4%+4（攵-1）+...+4x1

=2k(k+l),ksN*.

由4=0,得生MI=2%(攵+1),从而02P=%+[—2-=2公.

』，〃为奇数2

所以数列｛q｝的通项公式为久=f或写为q=巳-

〃为偶数2

2

nGN*o

2

(III)证明：由(II)可知如+产2々(％+1),a2k=2k,

以下分两种情况进行讨论：

(1)当n为偶数时，设n=2m(〃7£N*)

jib2

若m=1,则—=2,

人=2%

若加22,则

夫公白（2炉+34-34^+42+1

L—=X1—^+Z-——也小、

k=24«=1k=\^2k+\A=l2kk=l11）

少一!4改2+4A1c猖C"1用］

=2"?+Z4-—=2m.+〉2H——

A=124(〃十1)2Mz+1)_|白］2M

21

所以2〃一"£一L二士3+上1，从而3士＜2"-£"＜k＜2,〃=4,6,8,....

W见2〃2

（2）当n为奇数时，设〃=2m+1（加£N*）。

3_J_(2.+1『

22m2〃2(〃？+1)

=4,w+l-—L-=2H-2—L

22(w-l)2〃+l

RIL22ia”k2

所以2〃一兄一=—H----,从而一＜2〃一兄一＜2,〃=3,5,7,....

k=2%2〃+12k=2%

综合（1）和（2）可知，对任意〃N2,〃£N*,有:<2〃一（02.

2

（2010天津理数）（22）（本小题满分14分）

在数列｛〃“｝中，4=0,且对任意攵EN”.⑸，成等差数列，其公差

为4。

（I）若4=2%,证明%t，a2k+l,生人+2成等比数列（kwN"）

（II）若对任意a2k,%+1，4+2成等比数列，其公比为外。

【解析［本小题主要考查等差数列的定义及通项公式，前n项和公式、等比数列

的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决

问题的能力及分类讨论的思想方法。满分14分。

（I）证明：由题设，可得「4,i=4k,keN,0

2Z+12K-1

所以“2左+1—%=92k+］_42左—］）+（°2k_］一叱女—3）+…+（%—%）

=4k+4伏-1)+…+4x1

=2k(k+l)

由。1=0,得出心［=2k（Z+l）,从而％心-2攵=2/,41=2（%+1广

乙K十1乙K乙K十1乙K十乙

于是3+]/+]3+2/+1所以3+2=3+1。

02k卜£72fc+lka2k+\02k

所以4=2如寸，对任意ZEN*,。”,％入成等比数歹I」。

(II)证法一：(i)证明：由%/「成等差数列，及a”%]c

2K-1-A2K+12k2K+12A；+2

成等比数列，得+42=氏二1+3±1=_^+夕

2k212Z+1a力

2ka2kqk-i

当名二4时，可知/Wl,kcN’

从而=-----1-----=—!—+1,即一1-------!—=1(^>2)

”_12___1___1"-广1qk-\"-1一1

qk-\

所以一L是等差数列，公差为1。

(II)证明：q=o,d=2,可得%=4,从而％=±=2,-1—=1.由(I)有

2q}-1

-1—=1+1=女,得4=止土1人"

”一1卜

所以皿2=班±1二±±1,从而依±2=6M

a2k+\02kk。2kk

因此，

2k-2…工。=内，.”一])：..与.2=2k2.