2026年中考数学第一轮专项复习-二次函数压轴题（线段周长问题）

2026年中考数学第一轮专题复习一

二次函数压轴题(线段周长问题)

1.抛物线y=ax2+3x+c与％轴交于点力和点B(4,0),与y轴交于点C(0,4),连接4C,BC.点

P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PElx轴于点E,交BC于点、F,连接4尸.

(1)求抛物线的解析式：

(2)如图，当线段4F最短时，求点P的坐标；

(3)当mWxWm+2时，设函数的最大值为力,最小值为乃，若％-%=2,直接写出沆的

值.

2.如图，抛物线y=-产+.。交"轴于小B两点，交y轴于点C,其中4(一1,0)，C(0,5).

(1)求抛物线的表达式；

(2)点P为对称轴上一点，当AACP的周长最小时，求点P的坐标：

(3)点M为对称轴上一点，点N为抛物线上一点，若以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四

边形，请直接写出点N的坐标.

3.如图，抛物线旷二X2+加；+。与不轴交于48两点，点4在％轴负半轴，点B在式轴正半轴,

与y轴交于点C,且tan乙4。。=/OC=OB,AB=3.

(1)求点力、点8的坐标：

(2)求抛物线的解析式；

(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在一个点尸，使△24C的周长最小？若存在，请直接

写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

4.如图4抛物线%=—X2+bx与不轴交于点4与直线先=—%交于点B(6,—6),点C(0,—6)

在y轴上，点P从点B出发，沿线段80方向匀速运动，运动到点。时停止.

图1图2

(I)求抛物线为=-x2+加:的解析式；

(2)当3P=3迎时，请在图1中过点P作户。_LOA交抛物线于点。，连接PC,0D,并判断四

边形。CPD能否为平行四边形，并说明理由；

(3)如图2,点P从点B开始运动时，点Q从点。同时出发，以与点P相同的速度沿%轴正方向匀

速运动，点P停止运动时点Q也停止运动.连接8Q,PC,求CP+8Q的最小值.

5.如图，已知抛物线y=。/-2皈+3与％轴交于点力(-1,0)和点以与y轴交于点C,连接

AC,过8、C两点作直线.

试卷第2页，共6页

A/O\fiNxA/0\BKx

(1)求a的值.

(2)若点。是直线BC上方的抛物线上一点，当点。到直线BC距离最大时，求点。坐标，并

求出最大距离.

(3)抛物线上是否存在点P,使NPBC+ZL4C。=45。，若存在，请求出直线BP的解析式；若

不存在，请说明理由.

6.如图，抛物线y=。/+"+2经过力(一1,0),8(4,0)西点，与y轴交于点C.

⑴求抛物线的解析式；

(2)已知点M(O,-1),在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使AMCG周长最小，如果存在,

求出点G的坐标；如果不存在，请说明理由；

⑶在y轴.匕是否存在点P使得“BP=2〃C0,若存在，直接写出点P的坐标，若不存在,

请说明理由.

7.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=—/+2工+3与无轴交于点4。(点力在点

C的右边)，与y轴交于点B,直线y=kx+b经过点力，B

(1)求A,B,。三点的坐标及直线A3的函数解析式.

(2)P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PQIIT轴交直线48于点Q,设点P的横坐

标为机（mV0）,PQ的长为L求乙与m的函数关系式，并写出机的取值范围；

（3）设抛物线的顶点为M,问在y轴上是否存在一点N,使得4NAM为直角三角形？若存在,

直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

8.如图，抛物线y=六2+"一2与％轴交于4（一1,0）而两点，与y轴交于C点.

（1）求b的值;

⑵判断△ABC的形状，并证明你的结论；

⑶点。是抛物线的顶点.点M是x轴上的一个动点，当aDCM的周长最小时，求点M的坐标.

9.如图，抛物线y=Q/-家x+c经过点4（一1,1）,9（0,_：）

（1）求该抛物线的解析式；

（2）若。（O,m）是），轴正半轴上的一点，且m>l,将点4绕点C逆时针旋转90。得到点。，且

点。在该抛物线上.

①求点D的坐标；

②连接CA并延长交x轴于点E,作E尸_Lx轴交该抛物线于点F,若点产与点。间的抛物线

上有一点G,当点G到直线力。的距离最大时，求点G的坐标.

10.如图，在平面直角坐标系中，直线y=2%+2与％轴交于点力，与y轴交于点。，点8在y轴

右侧的工轴上，抛物线y=Q/+：%+c（a不0）经过A,B,C三点，顶点为D.

试卷第4页，共6页

(2)点P在更线4c上运动，当aBOP的周长最小时，求点P的坐标；

(3)探究在AABC内部能否截出面积最大的矩形EFGH(顶点E,F,G,〃在△4BC各边上)？

若能，求出此时矩形在4s边上的顶点的坐标：若不能，请说明理由.

⑵点〃是抛物线对称轴上一动点，则aPCB周长的最小值为一；

⑶如图儿设点。是线段AC上的一动点，作DQlx轴，交抛物线于点。，求DQ的最大值,

并直接写出此时4力CD的面积.

12.如图，直线y=x-3与x轴、)，轴分别交于点B,A,抛物线y=a(x-2尸+k经过点A,

⑴求抛物线的解析式；

(2)P为直线48上方抛物线上一点，过点P作P。IIy轴交直线于点。，求线段PQ的最大值

及此时点P的坐标.

13.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+2(aH0)与％轴分别交于4B两点,

点4的坐标是(-4,0),点8的坐标是(1,0),与y轴交于点C,P是抛物线上一动点，且位于第

二象限，过点P作PDlx轴，垂足为。，线段PD与直线4c相交于点E.

⑴求该抛物线的解析式：

(2)是否存在点P,使得20E=PE,求点P的坐标.

(3)在抛物线上是否存在一点P,使得"A”=SMC。，若存在，求出点尸的坐标；若不存在,

请说明理由.

14.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c(aH0)与工轴交)\4(一1,0),8(3,0)两点，

与y轴交于点C,作直线BC.

(1)求抛物线的解析式.

(2)如图，点P是线段BC上方的抛物线上一动点，过点、P作PQ上BC,垂足为Q,请问线段PQ

是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)点M是直线BC上一动点，N是抛物线上一点，过点M作线段MNIIOC(点N在直线BC下方)，

已知MN=2,请直接写出点”的坐标.

试卷第6页，共6页

《2026年中考数学第一轮专题复习一二次函数压轴题(线段周长问题)》参考答案

1.(l)y=-x2+3%+4

(2)点/的坐标为&9

(3)m的值为,一企或一1+V2

【分析】(1)利用待定系数法求二次函数的解析式即可：

(2)根据点4和点C的坐标可得直线8c的解析式为y=-x+4,设一产十+4)(0<

t<4),则F(t,—£+4),求得力F=§2+利用二次函数的性质求解即可；

(3)求出当％=TH和x=?71+2时的函数值,利用配方法得到顶点坐标，然后分为m+24支

m>l，TH线+2三种情况，利用二次函数的增减性解答即可.

【详解】⑴解:把8(4,0)和。(0,4)代入y=ax2+3x+c得：

16a+12+c=0解得(a=—I

c=4'tc=4

J抛物线的解析式为y=-x2+3%+4：

(2)解：:BGO)和C(0,4)

・•・设直线BC的解析式为y=kx+4.

，4々+4=0,

解得k=-L

，直线8C的解析式为y=—x+4,

设P(t,-/+3£+4)(0<£V4),

又TPE1)轴,

F(t,-£+4),

令y=0,则―/+3%+4=0,

解得％=-1或%=4,

：.AF=《+1)2+(一|-4-0尸=V(t+l)2+(-t+4)2,

整理得〃尸=72t2-6t+17=12(t-1)2+y,

V2>0,

・,•当时,AF最短,

答案第1页，共31页

2

:.当t=。时，一户+3t+4=-f-)4-3x-+4=—：

2\2J24

・••点尸的坐标为G，F)；

(3)解：当x=m时，y=-m2+3m4-4；

当x=m+2时，y=-(m+2)2+3(m+2)+4=-m2-m+6；

.>1(3\2,25

y=­x2L+1O3x+4=—j4--,

工抛物线的对称轴为工=之

①当m+2c5寸，即血〈一右在对称轴左侧，y随x的增大而增大，

，最大值与最小值的差为］一血2一巾+6)-(一小？+3血+4)=2,

解得m=0,不符合题意舍去；

②当m>|时，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，

，最大值与最小值的差为"n?+3m+4)-(一加2一m+6)=2,

解得m=l,不符合题意舍去；

③当+2时，即—此时最大值为当，

22Z4

・二最小值为交—2=―,

44

若一m?+3m+4=?,则m=|—e或m=|+&(舍去)；

若一62—血+6=工，则m=一1+四或m=—二一注(舍去)；

422

故m的值为:一或或一；+V2.

2.(l)y=-x2+4x+5

(2)P(2,3)

(3)N(-3,T6)或N(l,8)或N(3,8)

【分析】(1)把A(T,0)和C(0,5)分别代入y="x2+bx+c,列方程组求出b,c的值，即可求得

二次函数解析式；

(2)因为AC是定值，所以当AP+CP的值最小时，则aACP的周长最小.作点A关于对

称轴的对称点，即为点B,连接BC,运用待定系数法求出直线BC的解析式，可得直线BC

与对称轴的交点坐标，即为点P的坐标；

(3)分别以AC、AM、AN为对角线进行分类讨论求解即可.

答案第2页，共31页

【详解】(1)解:把A(-1,O),C(0,5)代入y=r2+bx+c中得，

0=T~b+c5=c,解得b=4c=5,

:.y=-x2+4x+5；

(2)解：VA(H,O),C(0,5),

AAC=26

:.当AP+CP的值最小时，则4ACP的周长最小.

作点A关于对称轴的对称点，即为点B,

由(1)可知抛物线的解析式为y=~x2+4x+5,

・•・对称轴为直线x=Y2X(-l)=2,旦A(-1,O),

AB(5,0).

如图，连接BC,与对称轴的交点即为点P,

设宜线BC的解析式为y=kx+b(kWO),

把B(5,0),C(0,5)代入y=kx+b(k#O)中得，

5=bO=5k+b»解得b=5k=4,

・•・直线BC的解析式为y=-x+5.

•・•点P的横坐标为x=2,

...把x-2RAy—x+5得y-3,

・・・P(2,3)；

(3)解：设M(2,m),N(t,-<2+4t+5),

①当AC为对角线时，设AC中点为E,根据平行四边形的性质，点E也为MN的中点,

VA(H.O),C(O,5),

・・・E(T2,52),

・・・2+12二T2ui十(r2十4l十5)2=52,自不得I二Tni=21,

把t=T代入一t2+4t+5=-(T)2+4X(T)+5=T6,

・・・N(T,T6)；

②当AM为对角线时，设AM中点为F,根据平行四边形的性质，点F也为CN的中点,

•・・A(T,O),M(2,m),

/.F(12,m2),

・•・0+t2=125+(-t2+4t+5)2=m2,解得t=lm=l3,

答案第3页，共31页

把t=l代入Y2+4t+5=T2+4X1+5=8,

・・・N(1,8)；

③当AN为对角线时，设AN中点为G,根据平行四边形的性质，点G也为CM的中点，

VA(H,O),N(t,r2+4t+5),

・・・G(T+l2,-12+41+52),

:.-I+t2=2+02-t2+4t+52=m+52,解得t=3m=3,

把t=3代入T2+4t+5=T2+4X3+5=8,

・・・N(3,8)；

综上所述，若以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形，此时点N的坐标为(T,-16)

或(1,8)或(3,8).

【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性

质、用待定系数法求函数关系式、平行四动形的性质、地对称的性质、两点方间线段最短，

止确作出分类讨论是解答本题的关键.

3.B(2,0)

(2)y=x2-x-2

(3)存在,点P的坐标为G，—')

【分析】本题考查了二次函数的应用、正切、勾股定理、轴对称的性质等知识，熟练掌握二

次函数的图象与性质是解题关键.

(1)先求出C(O,c),0C=OB=一c,再根据正切的定义可得04=-p然后根据04+0B=

力B=3可得c的值，则可得040B的长，由此即可得；

(2)根据点48的坐标，利用待定系数法求解即可得；

(3)先求出抛物线的对称轴为直线％=|MC=V5,再作点C关于抛物线对称轴的对称点。，

连接PA,PC,P。,则当点A,P,£＞共线时,PA+PO的长最小,即△PAC的周长最小，然后利用

待定系数法求出直线力。的解析式，将％=夕弋入求解即可得.

【详解】(1)解：将3=。代入抛物线y=x2+bx+c得：y=c,

・"(0,c),OC=-c,

*：0C=OB,

：.0B=-c

答案笫4页，共31贝

•••0C148,tanZ-ACO=2

..，“八OAOA1

..tanz.ACO

：,0A=一］

2

：04+0B=48=3,

(-c)=3,

解得c=-2,

：.0A=1,OB=2,

.,.4(-1,0),8(2,0).

(2)解：将点《L0)，B(2,0)代入y=/+"+c得：

解得｛?Z~2，

••・抛物线的解析式为y=/-x-2.

(3)解：将二次函数y=/-工一2化成顶点式为y=(%-J-：，

・•・抛物线的对称轴为直线x=5

由上已得：4(-1,0),8(2,0),C(0,-2),

：.AC=V(-l-0)2+(0+2)2=V5,

如图，作点C关于抛物线对称轴的对称点D,连接P4P&PD，

则。(1,-2),PD=PC,

・•・△户力。的周长为4C+PA+PC=y[5+PA+PD,

由两点之间线段最短可知，当点4P,。共线时，P4+P0的长最小，即△PAC的周长最小,

设直线4D的解析式为y=mx+n(mH0),

将点A(T0),DQ-2)代入得：｛渭;

答案第5页，共31页

解得｛:=二:,

••・直线4。的解析式为y=-x-l,

将x=1代入函数丫=r-1得：y=-^-l=-1,

，在(2)中抛物线的对称轴上存在一个点P,使△PAC的周长最小，点P的坐标为©，-习.

2

4.(l)yx=-x+5x

⑵不能，理由见解析

(3)673

【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的

判定和性质.

(1)用待定系数法求二次函数解析式即可；

(2)作P01。/交抛物线干点D,垂足为H,连接PC,。。，力点P在y=-x匕可知OH=PH.

Z.POH=45°,连接BC,得出。8=6&，fflOW=PH=-OP=—x3>/2=3,当％=3时，

2,2r

%=-9+5x3=6,进而得出P0=9,即PDHOC,然后证明P0II。。，即可得出结论;

(3)由题意得，BP=0Q,连接在04上方作AOMQ,使得NMOQ=45。，0M=BC,

证明△CBP=△MOQ(SAS),根据CP+BQ=MQ+BQ>MB得出CP+BQ的最小值为MB,

利用勾股定理求得M8,因可得解.

【详解】(1)解：将点8(6,-6)代入泗=一/+取得―36+68=-6,解得b=5,

，抛物线的解析式为yi=-/+5%；

(2)解：四边形OCPO不能为平行四边形，理由如下：

如图1,作尸0J■。力交抛物线于点。，垂足为点H,连接PC,0D.

二,点P在力=-不上，

：・0H=PH,^POH=45°.

答案第6页,共31页

连接BC,

•；0C=BC=6,

：.0B=6V2.

<BP=3>/2,

：・0P=0B-BP=3&,

：.0H=PH=yOP=yx3V2=3.

当欠=3时，%=-9+5x3=6,

：.PD=DH+PH=6+3=9.

丁点C(0,-6),

；・0C=6.

轴,PDlx轴，

：.PD||OC,HuPD=9芋OC,

・•・四边形OCPO不可能是平行四边形；

(3)解：如图2,由题意得BP=OQ,连接BC,在04上方作^OMQ,使得乙MOQ=45。,

0M=BC.

,：0C=BC=6,BC10C,

：,Z.CBP=45°,

：,Z-CBP=乙MOQ.

•:BP=0Q,乙CBP=LMOQ,BC=OM,

・MCBP£△MOQ(SAS),

:.CP=MQ,

:.CP+BQ=MQ+BQ>MB,

答案第7页，共31页

••・CP+BQ的最小值为MB.

.:乙MOB=LMOQ+乙BOQ=45°+45°=90°,

：.MB="M2+0^2=J62+(6V2)2=6x/3,

即CP+BQ的最小值为66.

5.(l)a=-1

⑵呜9V

(3)存在点P,直线BP的解析式为y=-3x+9或y=-；x+l.

J

【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论

的思想进行求解是解题的关键：

(1)根据待定系数法即可得出结果；

(2)讨。作0EJ.8C于点E,作。尸1》轴，交BC千点、F,易得△OEF为等腰百角三角形，得

到。£=券。凡进而得到当。户的值最大时，DE最大，即点。到直线8C距离最大，进行求

解即可；

(3)分点P在直线BC下方，与点P在直线8C上方，两种情况进行讨论求解即可.

【详解】⑴解：抛物线y=。/一23+3与工轴交于点4(一1,0),

得a+2Q+3=0,

解得：a=-l：

(2)由(1)知：y=-x2+2x+3,

，当％=时，y=3,当时，

0y=-—+2%+3=0xt=3,%2=-1,

・・・。(0,3),8(3,0),

：.OB=OC=3,

•"。"二△。。8=45。，

设直线BC的解析式为y=kx+3,把(3,0)代入，得k=-1,

y=—x+3>

过。作。E18C于点£,作0尸1%轴，交BC于点F,

：-DF||y轴，

，乙DFE=Z.OCB=45°,

为等腰直角三角形,

答案笫8页，共31页

：

,DE=—2DF,

・•・当。尸最大时，0E的值最大，即点。到直线距离最大，

设。(m,-m?+2m+3),则F(m,-m+3),

DF=-m2+2m+3+m-3=-m2+3m=-(血-习+；，

・•・当m=T时，DF有最大值为豆此时0修今，的最大值为:x^二竽.

(3)解：存在点P,理由如下:

当点P在直线BC下方时，

在y轴上取点”(0,1)，作直线8H交抛物线于(异于点B)点P,

由⑵得乙OBC=45°,

:.OH=OA=1,OB=OC.Z-BOH=Z.COA=90°,

.♦.△BOHwziCOA(SAS),

•••乙OBH="CO,

乙PBC+^ACO=乙PBC+M)BH=^OBC=45。

设直线8P的解析式为y=k[X+瓦，代入点B(3,0),H(0,l)，

得产+瓦=0,解得卜=心,

(=1I九=1

故直线8P的解析式为y=+1；

当点P在直线BC上方时，如图，在刀轴上取点/(1,0),连接C/,过点8作BPIIG交抛物线于点P,

答案第9页，共31页

:•乙PBC=NBC/,

,。/=0A=1,OC=OC,Z-COI=LCOA=90°,

COI三△C04(SAS),

•••Z-OCl=Z.ACO,

Z.PBC+/.ACO=Z.BCI+Z.OCI=乙OCB=45°,

设直线G的解析式为y=k2x+62,代入点/(1，。)，。(0,3)，

k纥。,解得僚:；

故设直线C7的解析式为y=一3无+3,

8Plic7,且过点8(3,0),

故设直线8P的解析式为y=-3x+n,

/.0=-3x34-n,

解得〃=9,

直线8P的解析式为y=-3x+9.

综上所述：直线BP的解析式为y=-3%+9或y=-：无+1.

6.(l)y=-；x2+；x+2

(2)点G的坐标为(|3)

(3)点P的坐标为(0,-2)或(0,22)

【分析】(1)将点力(-1,0),3(4,0),代入抛物线y+"+2,即可求得该抛物线的解

析式；

(2)由题意可知要使△MCG的周长最小，则需要MG+CG的值最小，作点C关于抛物线对

称轴的对称点为C',连接MC，交对称轴于点G,求出直线的函数解析式即可求解出点G的

坐标；

(3)连接力C,可证△/IOC〜△COB,则44C0=NCB0,要使/C8P=2乙AC。，即只要有

4G8P=即可，第种情况为在y轴负半轴上存在一点片，使。片=OC=2,则有

答案第10页，共31页

BP\=BC,利用等腰三角形的“三线合一”的性质可得，zOBPi=NC80,点匕即为所求；第

二种情况为在y轴正半轴上存在一点P,使得/CBP'=△C8Pi=2乙AC。，利用等腰三角形

的“三线合一”的性质，求出点P1关于BC的对称点P',直线与y轴正半轴的交点即为所求.

【详解】(1)解：将点做一1,0),8(4,0)代入y=Q/+汝+2,得｛lUlLEUo，

(a=

解得V3,

(b=2

.,.y=一枭2+9+2；

(2)解：如图，设点C关于抛物线对称轴的对称点为C',连接ML交对称轴于点G,此时△MCG

周长最小，

・••对称轴为直线X=会

.•〉二一片2+弃+2,

令x-0,则y=2,

•"(0,2),

AC7(3,2),

VM(0,-l),

设直线C'M的解析式为y=mx+n,

则｛3m+n=2解得：口M

••・直线OM的解析式为y=x—l,

当x=|时，y=1,

••・点G的坐标为(i，m；

(3)解：连接力C,如图:

答案第H页，共31页

•・N(-l,0),B(4,0),C(0,2),

：,0A=1,OC=2,OB=4,

.OA1OC21

•9=,———=,

OC2OB42

・OAOC

••-----,

OCOB

又〈△AOC=乙COB=90°,

/.△AOC〜xCOB»

：./.ACO=ACBO.

①当点P在y轴的负半轴上点b处，且。Pi=OC=2时，此时8。垂直平分线段CPi，如图:

则8Pl=BC,

根据“三线合一”的性质可得，4Pl8。="80,

:.乙CBP、=2/.CBO=2(ACO,

•••此时点Pi符合题意，

，此时点P的坐标为(0,-2)；

②作点P1(0,-2)关于直线BC的对称点连接P]P'交BC于G,交汇轴于H,如图:

答案第12页，共31页

根据轴对称的性质可得=乙CBP「2^AC0,直线BP，与y轴的交点坐标即为所求的点

P的坐标，

•••B(4,0),C(0,2),Pi(0,-2),

:・BC=V22+42=2倔CP1=2+2=4,

•・0cs=/Pi•。8=•AG,

•n「CPyOH4X48r=

:・CG=JCP?-P1G?=,42-(1V5)2=2，

:•乙PiOH=乙PiGC=90°,/。匕，=乙GPC

FP,GC,

.OH_P0OW_2

t0s|||=

•,GC=pi

：.0H=1,

设直线P记的解析式为”g+62(心中0)，则色+上铲，解得『2:2

，直线P】H的解析式为y=2x-2,

设直线8c的解析式为y=&》+%(@工0)，则产3：台=0,解得卜3=4，

・•・直线BC的解析式为y=-\x+2,

(y=2x—2

将直线Pi”的解析式与直线Be的解析式联立，组成方程组卜=_ix+2，

解得13

[y=5

职)，

答案第13页，共31页

根据轴对称的性质可知，点6(然)是线段P】P'的中点,

“传3

f4/c+b=0(__11

设直线82'的解析式为丫=14%+%(％=0)，则16”4422,解得七k一2,

1《七十%=《{b4=22

・•・直线BP'的解析式为y=-^x+22.

令x=0,得y=22,

・•・此时点P的坐标为(0,22)；

综上所述，点P的坐标为(0,-2)或(0,22).

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质，利用待定系数法求二次函数解析式，一次

函数解析式，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象及性

质，利用待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，利用轴对称求最短距离，等腰三

角形的性质，相似三角形的判定与性质，分类讨论是解题的关键.

7.(1)力(3,0),8(0,3),。(-1,0),直线AB解析式为y=-%+3

(2)L=m2-3m(-l<?n<0)

(3)存在，可(0,-3或可(0,9或％(0,1)或可(0,3).

【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函

数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行

求解，是解题的关键.

(1)令％=0,求出y值，令y=0,求出工的值，进而得到48,C的坐标，待定系数法求出

直线48的解析式即可；

(2)求出Q点坐标，根据两点间的距离求II忆的解析式，根据点P在第二象限，写出机的取

值范围即可；

(3)分别以N为直角顶点，M为直角顶点和4为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可.

【详解】(1)解：••3=-/+2乃+3,

2

・••当x=0时，y=3,当y=0时，-x+2x+3=0,解得：xx=-l,x2=

•••4(3,0),8(0,3),C(-1,0),

直线y=kx+匕经过点A,B

y=—x+3：

答案第14页，共31页

(2)・・•点一的横坐标为VO),

P(m,-m2+2m+3),

,:PQII一轴,

2

yQ=—m+2m+3，

/.—m2+2m+3=-%+3,

.*.%=m2—2m,

/.Q(m2-2m,-m2+2m+3),

2

/.£=XQ—xP=m—3m,

TP是第二象限内抛物线上的一个动点，

1<771<0;

AL=m2—3m(-1<zn<0)；

(3)存在,设点N(O,T0,

Vy=-x2+2x+3=一(无-l)2+4,

V71(3,0),

.\AN2=9+n2,AM2=(3—l)2+42=20,MN?=1+(4—n)2：

①当点A为直角顶点时：9+*+20=1+(4—zip,解得：n=

②当点M为直角顶点时,，20+1+(4—n)2=9+层，解得：n=|,

・・・N(O,9；

③当点N为直角顶点时：9+n24-1+(4-n)2=20,解得：九=1或n=3,

••・/7(0,1)或/\/(0,3)；

综上：N(0,一号或N(0彳)或N(0,l)或N(0,3).

8.⑴b=-|

(2S48C是直角三角形，见解析

(3)M管,0)

【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理及其

答案第15页，共31页

逆定理，轴对称的性质，线段和最短问题，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质.

(1)利用待定系数法求函数解析式即可；

(2)根据解析式求出与坐标轴的交点坐标，然后利用勾股定理求出相关线段的长度，利用

勾股定理的逆定理即可判断三角形的形状：

(3)作点。关于乂轴的对称点则。'(0,2),连接CZD,交工轴于点M,连接CM,根据轴对

称的性质得出，当D,M,C'三点共线时，C'M+DM有最小值，利用待定系数法求出直线OD

的表达式，然后求出直线与坐标轴的交点坐标即可.

【详解】(1)解：•••点4(-1,0)在抛物线y=1/+bx-2上,

：•\x(-1)2+bx(-1)-2=0,

解得b=_|；

(2)解：是直角三角形.

证明：由(I)得，y=1r2-|x-2,

当％=0时，y=-2,

C(0,-2),

•••OC=2,

在、=*一1一2中，令y=0,即*一六一2=0,

解得必=-1»x2=4,

•••B(4,0),

.•MB=4-(-1)=5,OB=4,

vAB2=25,AC2=OA2+OC2=l24-22=5,BC2=OC2+OB2=22+42=20,

AC2+BC2=AB2,

.•.△/IB。是直角三角形；

(3)解：如图，作点C关于％轴的对称点C',则C'(0,2),连接C'O,交x轴于点如,连接CM,

答案第16页，共31页

由轴对称的性质，得C，M=CM,

DCM的周长=CM+CD+DM=C'M+DM+CD,

•・•点C和点。都是定点，

••・C。的长为定值，

・••两点之间线段最短，

.•.当0,M,厂三点共线时，LM+0M有最小值，即此时△0CM的周长有最小值.

由y47一=汾_丁谒,得呜詈)，

设直线C切的表达式为y=kx+"(kH0),将C'(0,2),D(|,—g)代入解析式得，

(2.1,,25

r.1.1-k+b=-----

则28,

bf=2

解得卜=_£

I"=2

二直线的表达式为y=-"x+2,

在、=一£％+2中，当y=0时，一£％+2=0,

解得％=g，

41

，“伟0).

八/1\222

9.(l)y=产--X--

(2)①D(2,2)；②G&-§

【分析】(1)利用待定系数法即可求解：

(2)①由旋转90。可构造一线三垂直，证全等，从而将D坐标用机表示出来，再代入二次

函数表达式即可得解；

②在函数中求斜线的最值问题，首先考虑化斜为直，所以过G作GM1AD于点M,作GLIly轴

答案第17页，共31页

交AD于点、J,过A作AKII工轴，过。作DKIIy轴，两直线交于点K,其中G/交4K于点P,证

△GM)FAKD,将GM长度转化为竖直高G/的长度，进而求解即可.

【详解】(1)解：将力(一1,1),8(0,-§代入y=ax2—^ax+c得,

2

a+-a+c=1

3

2

(a=1

解得c=」

••­y=x-x

(2)解：①如图，过C作GHIIx轴，过4作力G1G”于点G,过。作DH1G”于点儿

：,AG=m-1,CG=1,

vZ.ACD=90°,

二Z.ACG=Z-CDH=90。一乙DCH,

•：AC=CD,NG=N"=90°,

:.&ACG三△CDH(AAS),

•••DH=CG=1,CH=AG=m—1,

二D(m—l,m—1),

•••点。在该抛物线上,

•••m-1=(m-I)2-1(?n-1)-

解得771=;或771=3,

vm>1,

m=3,

•••0(2,2)；

答案第18页，共31页

②如图，过G作GM于点M,作GLIly轴交力D于点/过A作/K||x轴，过Z）作DKIIy轴,

两直线交于点K,其中G/交力K于点尸，

••"(0,3),

设直线AC解析式为丫=版+匕，将4和C代入得,

「解得《：3•

・••直线4c解析式为y=2x+3,

令y=。得％=

・•.E(-|,0),

同理可得直线4D解析式为y=+：，

*5*5

设G(7n,m2一|加一|),则+

(7/=1m4-—(m2—gm—=—m2+m+2,

0(2,2)

:.AK=3,DK=1,

:.AD=y/AK2+DK2=V10,

•••Z.AMG=/-APG=90°,

乙DAK=乙MGJ,

•••乙GMJ=^AKD=90°,

△GMJs^AKD,

GMAK3xfl0

:.----=-----=--------.

GJAD10

答案第19页，共31页

27、项

...GM=(—zn2+m+2)=

那(…丁40

当?71=决寸，GM由最大值,

此时/-刎-铝/

•■'G(?-;)-

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质、二次函数点的坐标特征、相似三角形的判

定和性质、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握用关知识是解题的关键.

10.⑴y=-*+7+2,5(4,0).呜1)：

⑵P偌，期

⑶能，48边上的顶点的坐标为(一表0),(2,0)或(|,0).

【分析】(1)求得点A,。坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式：利用抛物线的

解析式令y=0,解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标；

(2)利用勾股定理及其逆定理得到为C1BC,延长8c至点",使B'C=BC=2小,连接勾股

交直线y=2x+2于点P,利用轴对称的性质可得夕,3关于直线y=2%+2对称，此时△BDP

的周长最小，过点?作B'Elx轴于点E,利用三角形的中位线定理得到点夕坐标，利用待

定系数法求得直线血的解析式为y=-^X+YY，再与直线y=2x+2联立即可求得点P坐

标；

(3)利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设EF与OC交于点K,设

利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积丁=-式+会利用二次函数

的性质得到当m=：时，矩形EFGH的面积取得最大值为(再利用三角形的中位线定理解答

即可；②顶点E，F,G,，在△4BC各边上，，与点C重合，设GF=m,利用矩形的性质，

L2

相似三角形的判定与性质求得据的面积y=-2(m-苧)+|,利用二次函数的性质得到当

血=争寸，矩形E"，的面积取得最大值为畀再利用三角形的中位线定理解答即可.

【详解】(1)解：y=2工+2中，

令％=0,则y=2,

."(0,2),

令y=0,则0=2x+2,

答案笫20页，共31页

Ax=—1

・M(-LO)，

:抛物线y=。/+,%+；7(。装0)经过/1,B,C三点,

c=2

'c=2

/.c1，

a=—2

工抛物线的解析式为y=-1x2+1x+2.

令y=0,则0=+gx+2,

Ax=-1,或％=4,

，8(4,0).

Vy=-lz2+|x+2=-i(x-1)2+^

工顶点D(|,§)；

(2)V?!(-1,0),8(4,0),C(0,2),

：.OA=1,OB=4,OC=2,

：.AB=5,AC=\/OA2+OC2=V5,BC=yjOB2+OC2=2瓜

f：AC2+BC2=5+20=25=AB2,

•ZC8=90。，

：.AC1BC,

延长BC至点B',使8£=夙？=2遥，连接夕0,交直线y=2%+2于点P,如图,

则反，B关于直线y=2%+2对称，此时△BDP的周长最小,

过点作8'E1%轴于点E,

•••8'Elx轴，0c1%轴，

：.OCIIB'E,

答案第21页，共31页

,:B'C=BC,

・・・0C为△88'E的中位线,

・・・0E=0B=4,B'E=20C=4,

设直线B'O的解析式为y=kx+b,

—4k+b=4

•**lk+b=2i

28

k=--

44

b=-

11

・•・直线B'D的解析式为y=-^x+^,

4411

7,37

.Jy=---4-4Xd--1-1

.y=2x+2

12

62'

1y」

・J偌剧

(3)在△4BC内部能撤出面积最大的矩形E/G”(顶点E,F,G,"在△ABC各边上)，此

时矩形在力8边上的顶点的坐标为(一0),(2,0)或80).

，在△ABC各边上，设EF与。C交于点K,

丁四边形EFGH为矩形，KOLAB,

・•・四边形E〃OK,FGOK为矩形,EFWAB,

：.0K=EH,

*：EF||AB,

/•△CEFCAB9

.EFCF

••,

ARnr

答案第22页，共31页

•m2-EH

•_•,-

S2

••.E，=亨，

，矩形EFGH的面积=EF・EH

10-2m

=m'-5

20

o

2/5\25

=~5^~2)+2

2

Va=--<0,

5

・•・当m=|时，矩形EFGH的面积取得最大值为|.

〈EHII0C,EH=\0C,

，〃为。4的中点,

同理，点G为。B的中点，

••・G(2,0).

②如图，顶点E,F,G,"在A/BC各边上，”与点C重合,

设G/7=m,

•••四边形为矩形,

：.FGIIAC,

△BFGBAC»

.FGBG

••-A-C--B-C-9

答案第23页，共31页

.m_2y/5-GH

一海二2北，

：,GH=2花一2m,

，矩形的面积=FG-GH

=m（2V5-2m）

Va=-2<0,

・•.当in=9寸，矩形EFGH的面积取得最大值为J.

AG/y=2V5-2m=V5,

J点G为的中点，

VFG||AC,

.••FG为△ABC的中位线，

：,BF=-AB=-

22

：,OF=OB-FB=l，

2

・・・F信0).

综上，在A/IBC内部能截出面积最大的矩形EFGH(顶点E,F,G,，在a/BC各边上)，此

时矩形在”边上的顶点的坐标为(一(°)，(2,0)或住,0).

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标

的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，釉对称的性质，分类讨

论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点

的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键.

11.(l)y=—x2—2x+3

(2)3V2+A/W

(3)DQ的最大值为:；△"。的面积为六

4o

【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，熟知二次函数的相关知识是解

题的关键.

(1)利用待定系数法求解即可；

答案第24页，共31页

(2)求出点B坐标,进而求出线段BC的长；B(1,O),连接P4由抛物线的对称性可得P4=PB,

则可推出当P、A、C三点共线时PC+PA有最小值，且最小值为线段AC,即此时aPBC的

周长有最小值，最小值为4C+8C的值，据此利用勾股定理求出AC的长即可得到答案：

(3)求出直线AC解析式为y=%+3；设Q(t,t+3),则D(£,一/—2t+3),则。Q=-£?一

2

2t+3-(t+3)=-(t+|)+£据此求出DQ的最大值，再根据=SMDQ+%DQ求

出对应的面枳即可.

【详解】(1)解：•・•抛物线y=-x2+bx+c交向轴于点4(一3,0)和点从交y轴于点C(0,3),

.[-9-3b+c=0

Yc=3

・T葭，

Ic=3

••・抛物线解析式为y=-炉-2x+3；

(2)解：在y=-/-2z+3中，当y=0时，一%2—2丫+3=0,

解得％=-3或%=1,

••・BC=V(i-o)2+(o-3)2=V10；

如图所示，连接P4

由抛物线的对称性可得24=PB,

PBC的周长=PC+P8+BC=PC+PA+BC=PC+PA+x410,

••・当P、A、。三点共线时PC+PA有最小值，且最小值为线段4C,即此时△P8C的周长有

最小值，最小值为4C+BC的值，

*：AC=V(-3-0)2+(0-3)2=3V2,

.,・△P8C的周长的最小值为：3V2+V10,

故答案为：3V2+V10：

(3)解：设直线4C解析式为y=znx+n,

则「3m+q=0.

In=3

答案第25页，共31页

.•.1二,

(71=3

/.直线力。解析式为y=x+3；

设Q(t"+3),则。(，一£2-2亡+3),

:・DQ=-t2-2t+3-(t+3)

=-t2-3t

V-l<0,-3<t<0,

・•・当t+；0,即"一手寸，DQ有最大值,最大值为支

，此时SMC。=^AADQ+S'CDQ

=•(町-xA)+^DQ-(xc-x0)

=^OQ-(xc-xA)

乙

19

=2X4X3

27

—__

-8"

12.(1)抛物线的解析式为y=-3+4%-3

(2)线段PO的最大值为;及此时点P的坐标为G，3

【分析】本题考查了一次函数图象与性质，二次函数的解析式求解，二次函数的最值问题和

函数图象上点的坐标关系.

(1)根据一次函数y=x-3,分别令％=0和y=0,求出直线与y轴、》轴的交点力、