江西吉安市2025-2026学年高二年级上册期末教学质量检测数学（解析版）

江西吉安市2025-2026学年高二上学期期末教学质量检测

数学试题

(测试时间：120分钟卷面总分：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷

上无效.

3.考试结束后，将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.倾斜角为135°,在)，轴上的截距为-I的直线方程是()

A.x-y+\=0B.x--1=0C.x+y-1=0D.1=0

【答案】D

【解析】

【分析】先求出直线的斜率，再利用在y轴上的截距是用斜截式写出直线方程.

【详解】•・•直线倾斜角是135°,

・••直线的斜率等于-1,

•・•在y轴上的截距是-1,

由直线方程的斜截式得：y=-IXx-I,

即y=-x-I,

故选：D.

2.圆心为(2,1)且过点(-1,5)的圆的标准方程为()

A.(1-2)2+(>-1)'=49B.(x+l)2+(y+2)'=49

C.(x-2)2+(y-l)2=25D.(x+2)2+(>'+1)2=25

【答案】C

【解析】

【分析】由条件求得圆的半径，进而可求解.

【详解】由题意可得圆的半杼尸=J(2+l)2+(l-5)2=5.

所以圆的标准方程为3-2）2=25,

故选:C

3.二项式（4一2工）的展开式中第四项的系数是（）

A.15B.20C.-160D.240

【答案】C

【解析】

【分析】由通项公式（+i=（-2）'C"3i2,即可求解.

【详解】由2=晨（二］（一2步=（—2>C43I2,r=0,1,,,6.

当r=3时，第四项系数（一2）3（：：=-160,

故选：C

22

4.设片,尸2为椭圆。：5+?=1的两个焦点，点。在。上，若雄;，6=0,则|出讣归月1=（）

A.4B.8C.16D.20

【答案】B

【解析】

【分析】由条件得到尸5，设夕£一〃2,尸乙一九，结合椭圆的定义及勾股定理即可求解.

22

【详解】因为椭圆C：三+22=1,所以。=31=2,。=逐，

94

又因为巴「P鸟=0,所以叫1叫，即P4，尸死，

设尸£=tn,PF2=n，则m+〃=6且加2+/=20,

得到=所以|尸/讣|?周二8.

故选：B

—3------I

5.如图，二棱锥O—ABC中，OA=a,OB-b,OC=c»且OM=—OA,CN=—CB,则/WN二（

52

o

A.-a+—b-\--c

533

D.-九十"c

522

【答案】D

【解析】

一3一.]

【分析】由MN=MO+OC+CN，再结合。M=1。4,。7二不。8即可求解.

JJ

——.—.—.—•1一3一—•1一—•

【详解】MN=MO+OC+CN=-OM+OC+-CB=--O\+OC+-(OB-OC)

252

=--OA+-OB+-OC=--a+-b+-c.

522522

故选：D

6.从5人中选出4人分别到上海、香港、台北、澳门四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游

览一个城市，且这5人中甲、乙两人不去上海游览，则不同的选择方案共有()

A.120种B.96种C.72种D.48种

【答案】C

【解析】

【分析】先确定去上海游览的人，再确定剩下三个城市游览的人，即可求解.

【详解】分两步：首先从除甲乙之外的3人中选1人去上海游览，共有C；=3种,

其次从剩余4人中选3人到其他三个城市游览，共有A：=24种,

共有C；A：=72种，

故选：C

7.已知过原点的直线/与圆6':*-3)2+()，-4)2=41相交于用”两点，则|加凶的最小值为()

A.8B.回C.10D.45/6

【答案】A

【解析】

【分析】由原点在已知圆内部，确定当直线/_LOC时，弦长最小，进而可求解.

【详解】由（0—3『+（0—4『=25<41,即原点在已知圆内部，

由于直线过原点。，要使|MN|最小，只需直线/_LOC，

而|C0="+4?=5,

所以最小|MN|=2741-25=8.

故选：A

8.己知点P为椭圆C:言+裔=1上第一象限的一点，左、右焦点为耳,鸟,/耳。鸟的平分线与大轴交于

点M，过点g作直线PM的垂线，垂足为H,0为坐标原点，若|。”|=1,则AGPF2面积为（）

A.472B.8C.872D.12

【答案】C

【解析】

【分析】延长片”，交「死的延长线于点N,确定AP£N为等腰三角形，进而得到

\F2N\=2\OH\=2,设|与产|=根，再由椭圆定义求得加，进而可求解.

【详解】如图所示，延长E”，交P6的延长线于点N,

因为PH为/"P5的平分线，PHLF}N,

故.尸£N为等腰三角形，

即为耳N的中点,

因为。为"鸟的中点，所以。，为耳鸟的中位线,

故怩N|=2|O//|=2,设优产|二根，由椭圆定义知,

诲4=10-/〃，故10-〃z=〃z+2,解得〃2=4,

故|£P|=|耳才|=6，后卜=4在△64K中,F2P边上高为•

故"/鸟面积为gx4及x4=8夜.

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知空间向量〃?二(-1,2,4),〃=(1,—2,x),则下列选项中正确的是()

A.当机〃”时，X=-4B.当〃Z_L〃时，X=2

4

C.当|利+〃|=5时，X=1D.当x=5时，sin〈九〃

【答案】ABD

【解析】

【分析】A选项，根据平行得到比例关系，进而求出x；B选项，根据垂直得到向量数量积为0,进而可

求出x；C选项，利用模长公式可求出工；D选项，先求出两向量夹角余弦，再由同角三角函数关系得到

正弦值.

-124

【详解】A:〃?//〃，则一,可得x=-4,A对；

1—2x

B：m.Ln,MO-l-4+4x=0»可得x=一,B对；

4

C：m+九=(0,0,4+x),所以|十〃J(4+JV)2—5，可得穴=1或*=9,C错；

—._—]—4+205QAA

D：x=5,则〃=(L—2,5),故cos。4/=一,i,A”=-^，则sin〈〃?,〃〉二1—,D对.

Jl+4+16・Jl+4+25V7014

故选：ABD

52345

10.^(2x-l)=a0+a1(x-l)+a2(x-l)+^3(x-l)+a4(x-l)+a5(x-l),则下列结论中正确的是

()

A.4)=-1B.a4=80

_310_I

C.同+同+同+同+闷=3，D.(4)+〃2+44)(4+。3+。5)=4

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A,令x=l,即可判断，对于BC,由(2工一1)5=[2(工-1)+1]5,由系数计算公式和令

x=2进行判断，对于D,分别令工=2和x=0,得到《)+4+%+G+%+%=3’和

/一q+%-%+4-。5=一1，进而可判断.

【详解】对于A,取x=l,得4=1'=1,A错；

对干B.(2x—炉=[2(x—1)+1/展开式中(九一I)，项的系数为C；-24=80,B对；

对于C,令x=2,

可得二项式[2(x-l)+lF=4)+q(x-l)+/(％—1)2+/(工―1)3+q(1-1)4+%。一|)'，

展开式中各项系数均为正，

即同+闻+同+同+同+|匈=%+4+4+。+包+。=35,

又%=1

同+同+同+㈤+同=3,-1，C错；

对于D,取工=2,得％+q+生+。3+4+%=3,,

取上=0,得%—q+“2-%+4—%=-1，

35—1+]

联立解得4+生+。4=---，4+/+。5=---，

310_i

因此(《)+%+%)(%+%+%)=—，D对.

故选：BD

11.天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距嗡之积为常

数的点的轨迹是卡西尼卵形线.已知两定点耳(一2,0),中(2,0),动点P(%％)满足|尸制・|巡1=4,设

点P的轨迹为曲线C,下列说法口正确的有()

A.尸的横坐标取值范围是[-2&,2&]B.不存在点尸，使得尸耳J_P8

C.俨国+俨周最小值为4D.地产身的面积最大值为2

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用轨迹方程的代数关系来证明相关选项，对于A,利用纵坐标放缩去求横坐标范围：对于B,利

用方程组消元看是否有解即可得；对于C,借助基本不等式计算即可得；对于D,利用定义求面积最大值即

可得.

【详解】由|百|疗闻=4,可得J（x°+2）2+），；♦J（x°—2）2+y；=4,

即［（君+¥+4）+缶］［（*+y；+4）-4x0］=16,

即（x；+y；+4）~—16x；=16，整理得y；=一片+4&+1-4；

对于A,由），：=一石+4&TT-420，则4&+124+*：

故16片+162x：+8x；+16,即片（片一8）三0,解得一2也</<2及，

即产的横坐标取值范围是［-2及,20］,故A对；

对干B,若存在点。，使得■尸鸟，则有片+火=4,

又yj=-%；+4JM+1-4,则4—温=—xj+4Jxj+1-4♦

即jN+l=2,解得x0=±G，所以存在点P,使得尸4_LP8，故B错误；

对于C,归周+归局N2阿两=4,

当且仅当|P£|=归勾=2时等号成立，故C对；

对于D,56”=3~用归周而/月26=25访/月巴"则.片尸鸟面积最大值为2,

JT

由上知存在/片尸鸟=万的最大值点儿故D正确.

故选：ACD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

22

12.若双曲线的一条渐近线方程为），=△，则。的离心率为.

【答案】2

【解析】

【分析】利用双曲线渐近线定义计算即可得.

【详解】依题意。=3,则双曲线C的渐近线为y=±gx,

又双曲线一条渐近线方程为y=7区，所以〃=36，

-----------c6

故c=+/?2=,9+27=6»所以双曲线的离心率为一=—=2.

ClJ

故答案为：2.

13.直线4：〃ir+3〃zy—6=0与直线L：（4一〃7）X+〃“+〃72-4〃?=0,若/利4，则"z=.

【答案】3

【解析】

【分析】根据两直线平行，列出有关”的等式，即可求出实数〃的值，再验证直线的关系.

【详解】由“〃2,则根2一3根・（4一，〃）=0,化简得462一12〃7=0,可得加=0或加=3,

当〃2=0时，直线4的方程为-6=0,此时4不是直线，故舍去，所以〃?=3

故答案为:3.

14.阅读材料：空间直角坐标系。一孙z中，过点P（天,），0,20）且一个法向量为〃=（〃力,。的平面。的方程

为〃（五一改））+/?（y-%）+c（z-Zo）=O.阅读上面材料，解决下面问题：已知平面。的方程为

x+2y-z-l=0,更线/是两平面x-y+5=0与y+z+2=0的交线，则直线/与平面a所成角的正弦

值为.

【答案】巫

3

【解析】

【分析】根据向量法计算直线与平面所成角的正弦值；

【详解】设宜线/的方向向量为/=（x,y,z）,

由材料可知平面1十2y一2—1=（）的一个法向量4=（1,2,-1）,

平面工一），+5=。的一个法向量％=。,-1,0）,

平面），+z+2=0的一个法向量*二（0,1,1）,

因为直线/是两平面x—y+5=0与y+z+2=0的交线，则有,

即/•丐=0且/•%=（）,不妨取/=（1,1,一1）

1+2+1_2及

所以,

1My/3-y/6~~

则直线/与平面a所成角的正弦值为逆.

3

故答案为；述.

3

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.某社区文化节需安排4个不同节目（古筝演奏、相声、吉他弹唱、民族舞），按表演先后顺序排定4个

时段，每个时段表演一个节目，且节目不重复.请根据以下不同条件，分别计算符合要求的节目安排方案

总数：

（1）民族舞节目不能安排在第一个表演时段；

（2）古筝演奏节目与相声节目必须相邻.

【答案】（1）18（2）12

【解析】

【分析】（1）先从古筝演奏、相声、吉他弹唱选一个安排第一个表演，再对剩下3个全排列即可求解；

（2）将古筝演奏和相声看作•个整体，再和吉他弹唱、民族舞全排列即可求解.

【小问1详解】

先安排第一个表演时段，有古筝演奏、相声、吉他弹唱3种选择；

剩下3个时段，对剩下3个节目全排列，有A；种，

所以总数为3xA；=18种；

【小问2详解】

将古筝演奏和相声看作一个“整体”，内部有A；种排列方式；

再把这个“整体”和吉他弹唱、民族舞进行全排列，有A；种排法,

所以总数为A；xA；=12种.

16.已知双曲线=/>0）的离心率e=2,且过点（告，等］

（1）求双曲线的标准方程；

（2）已知尸为双曲线的左焦点，P为双曲线上一点，且线段尸F的中垂线倾斜角为150。，求|尸0|的值

（。为坐标原点）.

【答案】（1）x2-^-=\

3

⑵叵

2

【解析】

53

代入双曲线方程得到方”联立求解即

【分析】（1）由离心率得到从=3片,4?

可；

（2）法一：由直线垂直关系确定Pb斜率，得到其直线方程，再联立双曲线方程求得P坐标，即可求解:

法二：设右焦点为b'，根据双曲线定义结合余弦定理得尸|=」，在APFO中,再结合余弦定理即可

2

求解.

【小问1详解】

解得〃2=1,从=3

・•・双曲线方程为V一上二|

3

【小问2详解】

解法一•・,线段尸尸的中垂线倾斜角为150°，

••・中垂线斜率为tan150.=-且.

3

•・•中垂线与PF垂直，

・•・直线夕夕的斜率为6.

又•.•直线P尸过点尸（-2,0）,

・•・直线尸产方程为），二0（工+2）.

y=6(X+2)

’53\?3、

联立方程组〈El,解得点尸的坐标为一“二

3

。为坐标原点,

解法二•・•线段尸尸的中垂线倾斜角为150°，且中垂线与垂直，

设中垂线与夕尸交于点A,与“釉交于点。，

则44Bb=30。，又NE4B=90L

所以NAFB=60。

即直线小的倾斜角为60，与渐近线y=&的倾斜角相等，

即直线尸尸与渐近线y=JIr平行.

工点P在双曲线左支上.

设右焦点为b'，根据双曲线定义可得

\PFf\-\PF\=2a=2.

设|户”|=加，则|〃"1=〃?+2.

在八PFF中，由余弦定理得：

(m+2)2=nr+42-2wx4x—,

33

解得〃z=一,即|P初|=一.

22

在△尸尸。中，由余弦定理得：iPOl'b+j?丫一2x2x2xL=R亘

11VUJ222

17.已知圆心为M的圆经过点42,2),B(-2,6),半径为4,且圆心M位于第二象限，

(1)求M的标准方程；

(2)过点4的直线/交圆M于另一点C,连接MA,MC,若扇形M4C的面积为"，求直线/的方

3

程.

【答案】(1)(x+2)2+(y-2)2=16

(2)x-百》+26-2=0或尤+岛-26-2=0.

【解析】

【分析】(1)设圆心再根据圆半径及过点4(2,2),3(-2,6),列出相应方程组，即可求解;

（2）由扇形面积可求得圆心角NAMC=——，即可求出圆心到直线距离d=2,再结合直线与圆相交的

3

弦长公式即可求解.

【小问I详解】

设圆心加（。力），因圆心在第二象限，故圆的标注方程为（1一。）2+（丁一〃）2=16.

将A（2,2）,3（—2,6）代入方程，得:

（2-4：（2-13解得］a=-2a=2

b=6（舍去）

（-2-。尸+（6-=16.b=2-

所以圆"的标准方程为：（x+2）2+（y—2）2=16.

【小问2详解】

扇形面积公式为S=」|a|/,已知S=3F/=4,代入得:

23

5=等=；1。1」6,解得|。|二,，

即圆心角NAMC=」.

3

所以圆心”（一2,2）到直.线I的距离d=rcos-=2.

3

①当直线/斜率不存在时，直线/_Lx轴，不合题意，舍去.

②当直线/斜率存在时，设斜率k,

则直线/的方程为y-2=k（x—2）,即心:-y-2%+2=0.

\-2k-2+2-2k\=2,解得t=±且.

则E

3

所以直线/的方程为x—JJy+2qg—2=0或不+石），一26一2=0.

18.如图，在四棱锥P-A5CZ）中，AB//CD,AD=BC=AB=-CD=2,NCBP=NADP=90,.

2

(1)证明：PD_L平面4BCQ：

(2)若点P,A,B,C,。都在半径为2夜的球。的表面上，

(i)求户。的长度；

(ii)棱。8上是否存在一点E，使得二面角七一4£＞一2的余弦值为勺5,若存在，求出名的值；若

7PB

不存在，请说明理由.

【答案】(1)答案见解析：

(2)(i)PD=4(ii)棱夕4上存在满足题意的点石，此时PE=2PZr

4

【解析】

【分析】(1)连接8。，过点B作BF上CD于点F,通过勾股定理得到3CJ_8O,进而得到8CJ_平面

BDP,得到3C_LPQ,再结合尸即可求证；

(2)(i)以点。为原点，DC,OP所在直线分别为y轴，Z釉，在平面A4C。上作过点。且垂直于。。的

直线为工轴，设。。=2«，＞0),得到球心为0(0,2").结合半径列出等式求解即可；(ii)PE=APB，

求得平面法向量，代入夹角公式即可求解.

【小问1详解】

连接B。，过点B作B/_LC。于点尸，

在RtVBC厂中，BF=\IBC?-CF?=瓜

在RtVBD/中，BD=NBF+DF?=25

.\BD2+BC2=CD2.

：.BCA-BD.

.•ZCBP=90\即8C_LBP,且BDcBP=B,8Ou平面8OP,8Pu平面BOP,

BC_L平面BOP.

...BC工PD,

又「也)，AO，且与AC相交，A£>u平面48皿,8。(=平面48。。.

.•.P。_1_平面八88,

【小问2详解】

(i)如图，以点。为原点，DC,。。所在直线分别为了轴，z轴，

在平面48CO上作过点。且垂直于CO的直线为不轴，建立空间直角坐标系,

则£)(0,0,0),46,1,0),8(后3,0).

人AC/)为等腰梯形，且BC工BD

.•.A3CD的外接圆圆心为CQ的中点，记为G.

根据球心的性质可知，球心。在过点G且垂直.于底面ABCO的垂线上.

设PO=2t(t>0),则球心为0(0,2,0.

由球的半径R=00=20，得>/(()-Of+(2-Of+(”0)2=2及，

解得f=2,故0(022).

从而PQ=2f=4.

(ii)由(i)可知，DP=(0,0,4),DX=(x/3J,0)

设P巨=2PB=M6,3,-4)=(、回434,-4A),

则DE=DP+PE=(0,0,4)+(行尢34一4丸)二(百434,4—44).

设平面ADE的一个法向量〃2=(•%乂z),

m-DA=y/3x+y=0,

则<.

m-DE=+3Ay+(4-4A)z=0.

令Z=一&九,则工=24—2,丁二道(2—22).

故可取m=(22-2,2百-26入,-出入).

设平面PA。的一个法向量〃=c),

n-DA=>/3a+/?=0,

则<

Ln-DP=4c=0.

令〃=1,则b=->/3,c=0.

故可取〃=(],一6,0).

•・•二面角石一AO—P的余弦值为逑，

7

.[cos〈m,ri)|=，

I2A-2-6(26-26l)|4x/3

即-Ilt-----------二~，

27(22-2尸+(2x/3-2V32)2+3储7

解得2=1或一L(负值舍去).

42

・•・棱相上存在满足题意的点E，此时

4

/oX22

19.已知点P(0,-2),Q彳/为椭圆与十二=1(〃〉〃>0)上的两点，点7(3,2)为椭圆外一点.

12；a~b-

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过点了作椭圆的两条切线，切点分别为43,其中点A在x轴下方，连接A3.

(i)求A3两点的坐标；

(ii)过点T作椭圆的一条割线，交椭圆于C。两点(A氏C。是四个不同的点)，再过点C作一条与

直线AT平行的直线，该直线交直线A8于点E,点G满足C£=EG，求证：直线。G恒过定点.

2V2

【答案】(1)C:^v-+—=1

43

(3、

(2)(i)A-,-l,B(0,2)；(ii)证明见解析

(2)

【解析】

(3)

【分析】(1)将P(0,-2),。-,1代入椭圆方程，即可求解；

I4/

（2）（i）易知直线87的斜率为0,即可求8坐标，设直线A7的方程为）」2=%（工一3）,联立椭圆方程,

f3、

由判别式为0,求得左=2,即可求解；（ii）先通过QG方程为：y=-l,猜测点A,再通过证

IZ7

明AO//AG即可求解.

【小问1详解】

40,

r+k=L

crb~

由题意得解得/=4,从=3,

a~4Z?~

v2r2

所以椭圆的标准方程为^-+—=1.

43

【小问2详解】

（i）显然直线87的斜率为0,点8为（0,2）,

直线4r斜率存在且不为0,设直线AT的方程为了一2=叔九-3）