二次函数的特殊三角形存在性问题-浙教版九（上）数学知识点训练（含答案）

二次函数的特殊三角形存在性问题一浙教版数学九(上)知识点训练

一、二次函数的特殊三角形存在性问题

1.如图,已知抛物线k：y=-%2与直线y=-i相交于小B.

(1)AB=；

(2)抛物线Li随其顶点沿直线y=向上平移，得到抛物线上，抛物线上与直线＞=-1相交于C，D

(点C在点D左边)，已知抛物线6顶点”的横坐标为机.

①当机=6时，求抛物线G的解析式及CD的值；

②连接当△MCO为等边三角形时，求点M的坐标.

2.已知抛物线与x轴交于点4(一2,0)、8(3,0),与y轴交于点C(0,4).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图1,点P是抛物线上位于第一象限内的一点，请连接8C,求出的面积最大值及此时点P

(3)如图2,将抛物线向右平移;个单位，再向下平移2个单位.记平移后的抛物线为y',若抛物线y'与

原抛物线对称轴交于点Q.点E是新抛物线y'对称轴上一动点，在(2)的条件下，当是等腰三角形

时，求点E的坐标.

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图2

3.如图、已知直线、=+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线y=Q/+6第+c经过A,C两

(1)求抛物线的表达式;

(2)抛物线对称轴上的点P,使得以点B,C,P为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点P称为“圣和

点''、此题中，是否存在“圣和点”、若存在，请求出“圣和点”P的坐标：若不存在，请说明理由.

4.如图，抛物线y=ax24-bx4-c的图象与x轴交于A(-1.0),B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,

3),顶点为D.

(1)求此抛物线的解析式.

(2)求此抛物线顶点D的坐标和对称轴.

(3)探究对称轴上是否存在一点P,使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出

所有符合条件的P点的坐标，若不存在，请说明理由.

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5.已知二次函数y=m/+2%-1，其中mH0.

（1）若该二次函数的图象与x轴仅有一个公共点4求实数7n为值.

（2）在（1）的条件下，若直线y=kx-1的图象与二次函数的图象交于两点8。1，%）,。（>2，，2），且％1〈必.

请直接写出当k的值为多少时，△ABC为直角三角形.

6.如图，已知二次函数N=QX2+2X+C的图象与％轴交于48两点，4点坐标为（-1,0）,与y轴交于点C

（0,3）,点M为抛物线顶点，点E为48中点.

（1）求二次函数的表达式；

（2）在直线8C上方的抛物线上存在点0.使得110。8=2口48。，求点。的坐标；

（3）已知。，尸为抛物线上不与48重合的相异两点.

①若点尸与点C重合，D（/H,-12）,且m>1,求证：D,E,歹三点共线；

②若直线力。，BF交于点P,则无论。，/在抛物线上如何运动，只要。，E,歹三点共线，口力MP,

□MEP,中必存在面积为定值的三角形，请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积,，不必说明理

由.

7.已知四个不同的点4（%1，%）,8（%2,3/2），。（工3，乃），。。4，、4）都在关于X的函数丫=ax2+bx+c（a,b,c是常

数，QW0）的图象上.

（1）当A,B两点的坐标分别为（一1,一4）,（3,4）时，求代数式2024Q+1012b+9的值；

（2）当A,B两点的坐标满足/+2Qi+丫2）。+4yly2=0时，请你判断此函数图象与％轴的公共点的个

数，并说明理由；

（3）当。>0时，该函数图象与工轴交于E,F两点，且A,B,C,D四点的坐标满足：2a2+2（必+

222

%）Q+为2+%2=o,2a-2（y3+y4）a+y3+y4=。.请问是否存在实数机（m>1），使得•EF这

三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3?若存在，求出租的值和此时函数

的最小值；若不存在，请说明理由（注：表示一条长度等于EF的m倍的线段）.

8.如图，抛物线Q:y=a/十红一4的图象经过点0（1,-1）,与入轴交丁•点4点B.

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(1)求抛物线G的表达式；

(2)将抛物线G向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线G，求抛物线。2的表达式，并判断

点D是否在抛物线0上；

(3)在x轴上方的抛物线C2上，是否存在点P,使APB。是等腰直角三角形.若存在，请求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由.

9.如图，抛物线丫=--+故+£:与％轴交于点4(-3,0)和点8,与y轴交于点C(0,3),点。在脑物线上.

(2)当点0在第二象限内，且△ACD的面积为3时，求点。的坐标；

(3)在直线8C上是否存在点P,使AOPO是以P0为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点P的

坐标；若不存在，请说明理由.

10.如图，二次函数y=ax?+bx+c交x轴于点A(1,0)和点B(3,0),交y轴于点C,抛物线上一点D的

坐标为(4,3)

(1)求该二次函数所对应的函数解析式;

(2)如图1,点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，PE/仅轴，PF〃y轴，求线段EF的最大值;

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（3）如图2,点M是线段CD上的一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点N,当DCBN是直角

二角形时，请直接写出所有满足条件的点M的坐标.

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答案解析部分

1.【答案】（1）2

(2)解：①对于y=2x，

当X=6时，y=ix6=3»

，抛物线乙2的顶点坐标为(6,3),

・•・抛物线42的解析式为y=-(X-6)2+3,

当y=-1时,-1=-(%-6)2+3,

解得：x=8或4,

・"(4,-1),B(8,-1)

:.CD=4；

故答案为：y=—(%—6)2+3；4

②解：丁点M在直线y=/；dt,

•1

・,・抛物线42的解析式为y=—(x—m)2+

当y=-l时，-1=一(不一7n)2+*?n,

解得：％=在耍+皿或工=—在更1+m，

2z

•一」，2?n+4.,V2m+4、

,•C(—2-----Fm,-1)»0(-------------Fm,-1),

***CD=72m+4,

如图，过点乂作时。1。£于点£,则用5=2加+1,（^=必骡，

乙L

•「△MCD是等边三角形，

：.LMCE=60°,

ME标+1r-

/.tanzMCE=了-?=V3,

CEv2m+4

解得：加二4或一2（不合题意，舍去）,

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・••点M的坐标为(4,2)

【解析】【解答］解：(1)对于y=--,

当y=-1时，-1=-%2,

解得X=±1,

**•点4(-1,-1),8(1,-1),

：.AB=2；

故答案为：2

【分析】(1)根据直线与一次函数的交点结合题意令y=-l即可求解：

(2)①先确定二次函数平移后的顶点坐标，结合m的值即可得到抛物线匕的解析式是y=-(%-6)2+3,

进而令y=-l即可求出交点坐标，从而得到CD；

②过点M作于H,先确定抛物线乙2的解析式，再求出二次函数人与y="的交点C(m-

+D(m++1,-1)，过点”作MDJ.CE于点E,则ME=2加+1，CE="五，根据

MFlm+1「

等边三角形的性质得到乙MCE=60，，根据正切函数得到tan乙MCE=卷=全/=万，从而即可求解。

2.【答案】(1)解：•••抛物线与无轴交于点4(一2,0)、8(3,0),

•••设抛物线的解析式为：y=a(x+2)(%-3)(。n0),

把C(0,4)代入y=。(％+2)(%—3)(。装0)中，得

4=-6a,

2

•••抛物线的解析式为：y=-|(x+2)(x-3)，

即y=~^x2++4；

(2)解：设p点的坐标为。一号尸+4亡+4),过点P作PNJ.不轴于点N,与BC交于点M,如图1,

设直线8c的解析式为y=kx+b(k00),则

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[3/c+b=0

Id=4

解得」

■b=4

・・・直线BC的解析式为：y=-^x4-4,

4

**•M(£,—氐£+4)>

2

PM=-^t2+2t,

.：S^BPC=S&PMC+S&PMB=；PM,ON+PM,BN=弃MOB,

12229

-f--£2X3++-

2k33t4

*.*cz=-1<0,

•••当t=，时，S4BPC的最大值为I

.•・此时p点的坐标为(|1);

(3)解：；抛物线y=—+[%+4=——52+寻，

・••将抛物线向右平移④个单位，再向下平移2个单位.记平移后的抛物线为y',

y,的解析式为炉=_|a_A/+得_2=_|(x_1)2+9

.•・抛物线y'的对称轴为直线x=1,

...抛物线y=-1x2+|x+4=_|(工_犷+•

...抛物线y=-|x2+2+4的对称轴为直线X=

把％=/代入y=—>2+寺工+方中，得)/=2,

.•・Q点的坐标为(2,2),

设E的坐标为(1,九)；

①当尸E=QE时，贝I」PE2=QE2,

27212

即©?T)+(介九)=(1-1)+(1)2,

解得，/=?，

②当PQ=QE时，贝IJPQ2=Q/2,

2

即(A/+(72)=(1-1)Z+(n-2齐

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解得，71=2±b，

E点的坐标为(1,2十遍)或(1,2-V5);

③当PQ=PE时，则PQ2=p£2,

3222

艮p

/+=1l\+

V2---2)-y-

7

解得n-+

2--V3

•••点E的坐标为(1，5+或(1，5—YG).

综上，当^PQE是等腰三角形时，点E的坐标为(1,早)或(1,2+逐)或(1,2—V5)或(1；+V5)或(1；-V3).

【解析】【分析】(1)根据待定系数法求抛物线的解析式即可；

(2)设P点的坐标为一号产+女£+4),过点P作尸Mix轴，与BC交于•点M,待定系数法求出直线BC的解

析式，据此可表述出点M的坐标，根据三角形的面积公式表示AP8C的面积，最后根据二次函I数的性质即可

求解；

(3)根据抛物线的平移规律求出y'的解析式，根据抛物线的对称轴求出点Q的坐标，设E的坐标为(1,71)：分

三种情况：当PE=QE时；当PQ=QE时；当PE=PQ时.分别列出关于E的纵坐标方程，解方程求出n的值，

即可求解.

(1)解：•••抛物线与％轴交于点4(一2,0)、8(3,0),

•••设抛物线的解析式为：y=a(x+2)(%-3)(Q*0),

把C(0,4)代入y=。。+2)。-3)(。工0)中，得

4=—6a,

2

•••a二・司，

••・抛物线的解析式为：y=-枭无+2)(、一3)，

即y=-|x2++4；

(2)解：设p点的坐标为。一最产+,t+的，过点p作PNix轴于点N,与BC交于点M,如图1,

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图1

设直线8。的解析式为丫=4工+8(女声0),则

(3/c+b=0

tb=4"

解得“=一4，

-b=4

二直线BC的解析式为：y=-+4,

4

M(£,—a£+4)>

2

PM=号C+23

S^BPC=SAPMC+S“MB=*PM.0N+*PM・BN=^PM.OB,

*.a=-l<0,

••・当t=4时，Swc的最大值为/

L4

.••此时P点的坐标为GJ);

(3)解：,•,抛物线y=-枭2+枭+4=一女¥一*)2+寻

・•・将抛物线向右平移*个单位，再向下平移2个单位.记平移后的抛物线为y',

••.y'的解析式为y'==-i(x-l)2+^

J3vzZ763、76

抛物线y'的对称轴为直线％=1,

,•,抛物线y=—1x24-4-4=—^(x—i)2+等，

••・抛物线y=-1x2+|x+4的对称轴为直线％=I

把x=)(弋入/=一/2十条十净机得/=2,

乙JJ乙

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Q点的坐标为(2,2),

设E的坐标为(1,九)；

①当PE=QE时，则PZ?2=QE2,

即©-1)2+弓一孔)2=(1一办2+(几-2)2，

解得，九=?，

・•・E(l4).

②当PQ=QE时，贝IJPQ2=QE2,

即(A4)+6一2)=(1-1)+(1)2,

解得，n=2±V3»

E点的坐标为(1,2+g)或(1,2-百)；

③当PQ=PE时，，则PQ2=PE2,

鼻〔272o272

即弓一刃+(2_2)=应-1)+(2一町，

解得，九=：±V3»

点E的坐标为(1J或(1,q—、谷).

综上，当4PQE是等腰三角形时，点E的坐标为(1,芋)或(1,2+逐)或(1,2-百)或(1；+V5)或(1；-V3).

3.【答案】(1)解：•・•一次函数的表达式为：y=4x+4,

4

得

时

OoX+4解X3y-4

3一

A/I(-3,0),C(0,4),

•・•二次函数称轴为直线x=—l,

.*.5(1,0),

设二次函数表达式为：y=a(x+3J(x-1)»

把C(0,4)代入得：4=a(0+3)(0-l),解得：a=-1

・•・二次函数表达式为：y=-1(x+3)(x-l),

整理得:y——ix2—+4.

(2)解：存在，理由如下

①当BC=PC时，如图：此时Pi(-l,0)；

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有两种情况,

:・BC=BP=Vl2+42=g，

令对称轴与x轴交于点Q,

・・•对称轴为直线x=-1,

••・BQ=l-(-l)=2,

；.PQ=717-22=V13,

・・・尸2（-1，m），尸3（-1，_旧）；

③当BP=CP时，过点C作CM垂直于对称轴，垂足为点M,

•・•对称轴为直线％=-1,

，点P横坐标为-1,CM=1,BQ=2,

设点P［一l,a),

•'.PM=4-a,PQ=a,

222

：,CP=CM+PM=1+(4-。)2,Rp2=RQ2+PQ2=4+口2,

•:BP=CP,

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1+(4-a)2=4+a2,解得：Q=0，

.”4(T豆)

综上存在“圣和点''，点P坐标为：(-1,0)或(一1,“初或(一1,一“司或(-1,第

【解析】【分析】(1)根据x轴上点的坐标特征令y=0,代入直线解析式可得力(-3,0),C(0,4),根据二次函

数对称性可得8(1,0),设二次函数表达式为：y=a(x+3)(x-l),根据待定系数法将点C坐标代入解析式

即可求出答案.

(2)根据等腰三角形性质分情况讨论，结合一次函数性质及勾股定理即可求出答案.

(1)解：•・•一次函数的表达式为：y=ix+4,

，当y=0时，0=《％+4,解得：x=-3,当x=0时，y=4,

."(-3,0),C(0,4),

•・,二次函数称轴为直线％=-1,

设二次函数表达式为：y=a(%+3)a-l),

4

-

把C(0,4)代入得：4=a(0+3)(0-l),解得：Q=3

・，・二次函数表达式为：y=-^(x+3)(x-1),

整理得：y--ix2-fx+4.

(2)存在

①当BC=PC时，如图：此时Pi(—l,0)；

②当BC=8P时，如图：有两种情况,

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:8(1,0),C(0,4),

••BC=BP=Vl2+42=V17，

令对称轴与x轴交于点Q,

•・•对称轴为直线％=-1,

:.BQ=1-(-1)=2,

:・PQ=V17-22=V13,

・加(-1，m)〃3(-1，一项；

③当8P=CP时，过点C作CM垂直于对称轴，垂足为点M,

•・•对称轴为直线％=-1,

・••点P横坐标为-1,CM=1,BQ=2,

设点P(-l,a),

；・PM=4—a,PQ=a,

/.CP2=CM2+PM2=1+(4-a)2,BP2=BQ2+PQ2=4+a2,

♦：BP=CP,

/.I+(4-a)2=44-a2,解得：Q二学，

.”4(-1，竽)

综上存在“圣和点”，点P坐标为：(-1,0)或(-1,项或(-1,-项或(-1,豹

4.【答案】解：(1)因为抛物线y=a/+b%+c的图象与x轴交于A(-1.0),B(3,0)两点，与y轴交

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(Q-b+c=O(Q=l

于点C(0,-3),所以收。+3b+c=0,解得：b=—2,

2

即此抛物线的解析式是y=X-2X-3;

(2)因为一次函数可化为y=x2-2x-3=(x-l)2-4，

所以此抛物线顶点D的坐标是(1,-4),对称轴是直线x=l；

(3)存在一点P,使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，

设点P的坐标为(1,y),分三种情况讨论：

①当PA=PD时J(-1-1猿+(0-y)2=J(l-1)2+(-4一丫产

解得，y=—9,即点P的坐标为(1,-1)；

②当DA=DP时，J(-l-l)2-f-[0-(-4)]2=J(1-l)24-(-4-y)2»

解得，y=-4±2近，即点P的坐标为(1,-4-2V5)或(1,-4+2V5):

③当AD=AP时，J(-l-1)2-f-|0-(-4)]2=J(-1-I)2+(0-y)2»

解得，y=±4,即点P的坐标是(1,4)或(1,-4),

当点P为(1，-4)时与点D重合，故不符合题意.

由上可得，以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形时，点P的坐标为(1,一^)或(1,-4-2V5)或

(1,-4+2V5)或(1,4).

【解析】【分析】(1)根据抛物线y=Q/+"+C的图象与x轴交于A(-1.0),B(3,0)两点，与y轴交

于点C(0,-3),代入点的坐标，列山方程组，求得a,b,c的值，即可得求得抛物线的解析式；

(2)根据(1)中的解析式化为顶点式，得到此抛物线顶点D的坐标和对称轴；

(3)减少存在点P,使得以点P、D、A为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况讨论，结合勾股定理，

分别列出方程，求得y的值，进而得到答案.

5.【答案】(1)解：•・•二次函数的组象与x轴仅有一个公共点4

/.□=22-4m'(-l)=0,

1T1=-1.

(2)解:由(1)知：y=-x2+2x-1=-(x-1)2,

AA(1,0),

直线y=—1的图象与二次函数的图象交于两点8(靠1，%),(?(%2，¥2)，且.=k3-1过定点(0,-1),

<X2»

AB(0,-1),

YAB=X-1,

:□ABC为直角三角形，

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.,.□BAC=90OB£[ABC=90°,

当口ADC=90。时，即直线AD□直线y=kx-1,则KABK-l，

/.k=-l,

当□BAC=90。时，即直线AB□直线AC,

/.yAc=-x+l,

联立K1驾「解吸三闻力

AC(2,-I)

/.yBc=-l,

k=0,

综上可知:当k=0或k=・l时,△ABC为直角三角形.

【解析】【分析】(1)由二次函数的图象与x轴仅有一个公共点4可得□=b2-4ac=0,据此解答即可；

(2)先求A(1,0),B(0,-I),从而求出yAB=x-l,根据题意分两种情况：当匚BAC=90。或「ABC=90。,

分别求出直线y=kx—l的解析式，即得结论.

6.【答案】(1)解：将A(-1,0),C(0,3)代入y=ax2+2x+c,

得：｛"2+广0,,

解得：『二:，

・•・抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

(2)解:对于y=-x?+2x+3,令y=0,

-x2+2x+3=0,

解得：X|=-1,X2=3,

/.B(3,0),

.\OB=OC=3,

•••□OBC是等腰直角三角形，

.\[)ABC=45°,

•・•匚QCB=2匚ABC,

・•・[QCB=90°,

如图所示，过点C作CQ-BC交抛物线于点Q,过点Q作QGZIy轴于点G,

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.•.□GCQ=90°-□ABC=45°,

•••□GCQ是等腰直角三角形，

•；CG=QG,

设Q(q,・q2+2q+3),则G(0,-q2+2q+3),

ACG=-q2+2q,GQ=q,

-q24-2q=q,

解得：q=0(舍去)或q=l,

Z.Q(1,4)；

(3)解：①证明：点F与点C重合，则F(0,3),

•・•点E为AB中点，A(-1,0),B(3,0),

AE(1,0),

设直线EF的解析式为y=kx+b(MO),代入E(1,0),F(0,3),

(k+b=O

Ib=3

解得:忆力

:.y=-3%4-3,

联立F；二女2：产

解得北:网马2,

r.D(5,-12),在直线EF上，即D,E,F三点共线；

②解：DABP的面积为16是定值.

【解析】【解答】解：⑶②设D(xi,yi),F(X2,y2),

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VD,E,F三点共线，E(1,0)

・••设DF的解析式y=k(x-1),

y=k(x-1)

联立y=-x2+2x+3'

消去y得，-x?+(2-k)x+(3+k)=0,

/.XI+X2=2-k,xix?=-3-k,

VA(-1,0),B(3,0),

设直线AD解析式为y=ki(x+I),直线BF的解析式为y=k2(K-3),

y=/q(x+l),

联立

y=k2(x-3),

X=

解得:

iM2，

yv=k2~kl

ki+3k2轨也

一力_丁/一1)_y2

1'电一一一

-Xi+1-Xi+103X2-3

/(/一1)(%2—1)”“旗％2—1)T)

12"(.+1)(X2—3)，2L%2-3%1+1

4k2(%]一1)(%2—D

4k水2=(%1+1)(%2-3)=4koi-1)3T)=4k[%62—(%1+%2)+1]

—

kz—kjk%-1)_kg-1)-2(%1+%2)—4-2(xt+x2)4

X2—3X1+1

4/c(—3—k—2+/c+1)

=2(2—k)-4=8

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/勺-1)[3仁-1)_1、

勺+1十

而然=X2-3?_4%1%2-6%1+2%2_2XX—3X+X

1212不为定值,

k(x2-l)k(x}-l)2(巧+%2)一4一(％1+小)-2

石一3-]+l

・・・P在直线y=8上运动,

・・・P到x轴的距离为定值8,

•・•直线AD,BF交于点P,则无论D,F在抛物线上如何运动，只要D,E,F三点共线，DAMP,DMEP,

ABP中必存在面积为定值的三角形,P到AM,EM的距离是变化的,

・・・[ABP的面积为448xyp=1x4x8=16是定值.

【分析】(1)利用待定系数法可求出抛物线的解析式；

(2)令抛物线解析式中的y=0算出对应的自变量x的值可得点B的坐标，进而可判断出DOBC是等腰直角

三角形；过点C作CQ「BC交抛物线于点Q,过点Q作QGIy轴于点G,易得：GCQ是等腰直角三角形，

根据点的坐标与图形性质设Q(q,-q?+2q+3),则G(0,-q2+2q+3),根据两点间的距离公式表示出

CG、GQ,然后根据CG=QG建立方程，求解得出q的值，从而求出点Q的坐标；

(3)①点F与点C重合，则F(0,3),由中点坐标公式得E(1,0),利用待定系数法可求出直线EF的解

析式，联立直线EF与抛物线的解析式，求解可得点D的坐标在直线EF上，即D,E,F三点共线；

②设D(xi,yi),F(X2,y2),设DF的解析式y=k(x-1),联立直线DF与抛物线的解析式，可得-x?+

(2-k)x+(3+k)=0,由根与系数的关系得XI+X2=2・k,xix?=-3-k,设直线AD解析式为y=ki

(x+1),直线BF的解析式为y=kz(x-3),联立AD与BF的解析式求解可表示出点P的坐标，得出

群"=8,而等若=〃零方萼?不为定值,则P在直线y=8上运动，P到x轴的距离为定值8,根

据直线AD,BF交于点P,则无论D,F在抛物线上如何运动，只要D,E,F三点共线，DAMP,LMEP,

[ABP中必存在面积为定值的三角形，P到AM,EM的距离是变化的，从而根据三角形面积计算公式得出面

积定值的匚ABP得面积.

7.【答案】(1)解：将4(一1,一4),813,4)代入丫=。％2+杨：+。得

a—b+c=-4,①

_9a+3b+c=4.@

②-①得8a+4b=8,即2a+b=2.

QQQ

所以2024a+1012b+广1012(2a+b)+,=2024热

(2)解：此函数图象与x轴的公共点个数为两个.

由次+2(y1+y2)a+4yly2=得(。+2yi)(Q+2y2)=0.

可得=一号或为=一£

当Q>0时，-3〈°，此抛物线开口向上，而A,B两点之中至少有一个点在％轴的下方，此时该函数图象与

第19页

X轴有两个公共点；

当。<0时，-3>0,此抛物线开口向卜，而A,B两点之中至少有一个点在工轴的上方，此时该函数图象与

X轴也有两个公共点.

综上所述，此函数图象与％轴必有两个公共点.

(3)解：因为Q>0,所以该函数图象开口向上.

由2a2+2(71+力)。+为2+%2=0,得(。+%)2+(。+)/2)2=0，可得丫1=丫2=一见

22

由2a2-2。3+%)。+旷3?+%2=o，-y3)+(a-y4)=0,可得旷3=，4=。.

所以直线AB,CD均与N轴平行.

2

由Q)可知该函数图象与％轴必有两个公共点，设E(&,0),F(X6,0)由图象可知_Q>皿也，即属-4ac>

4a

4a2.

所以+匕%+。=Q的两根为Xi，M，Jb-4Q(C+Q)

-可得4B<\x±-x2\=

2

同理a-+力％+。=a的两根为％3，X4,可得co=|%3_%/=冲-4a(c-a).

|a|

同理a/+bx+c=。的两根为％5，与，可得m.FF=m*|x5-x6\=m.忏-产.

由于m>1,结合图象与计算可得力B<EF<m-EF,AB<CD.

若存在实数m(m>1)，使得4B,CD,尸这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比

为1：2：3,则此三角形必定为两锐角分别为30°,60°的直角三角形，所以线段AB不可能是该直角三角形的

斜边.

①当以线段CD为斜边，且两锐角分别为30°,60°时，因为所以必须同时满足：AB2+(m•

22

EF)=CDfm-EF=V3AB.

将上述各式代入化简可得m?=—<^=2,且7n2=_4ac4a),联立解之得必一4ac=

b—4ac4ao—^ac

里,7n2=要一翼<2,解得血=蛰>1符合要求.

°b—4ac°5

所以m=学，此时该函数的最小值为4ac-b2__挈_5a.

②当以线段m•EF为斜边时，必有人产+CD2=(m-EF)2,同理代入化简可得232-4ac)=m\b2-

4ac),解得m=V2.

因为以线段四EF为斜边，且有一个内角为60",而CD>4B,所以CO=48721160°,即/2—4a(c—a)=

V3•M—4a(c+a)，化简得庐一4ac=8a2>4a2符合要求.

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所以m=VL此时该函数的最小值为也£也=二叱=_2Q.

4a4a

综上所述，存在两个m的值符合题意；

当根二等时，此时该函数的最小值为一尊

当m=&时，此时该函数的最小值为-2a.

【解析】【分析】（1）根据点A和点B的坐标，代入二次函数关系式中，即可得出2a+b=2,然后整体代

入，即可得出2024Q+1012b的值;

（2）令由。2十2（＞］十力）。+4yly2=0，求解，再根据a的正负分类讨论即可；

（3）由内角之比可得出这是一个含30。锐角的直角三角形，再将线段表示出来，利用特殊角的三角函数值建

立方程即可.

8.【答案】（1）解：:抛物线的:7=。/+/不一4的图象经过点。（1,一1）

4

-

3

解得a-1

**•抛物线Cl的表达式为y=聂2+义无一4

（2）解：点D在抛物线g上；

将抛物线C1向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线C2，

・•・抛物线C2的表达式为y=*

***X=l,y=1fl-1；2-票=-1

・,•点D（1,-1）在抛物线C2上.

（3）解：存在点P,使△P8D是等腰直角三角形

①当匚PiBD=90。，PR=BD,如图所示，过点B作直线Ry轴，过点P1作REE于E,过点D作DFEH于

F,则□EPiB+LJEBPi=90。

CPiEB=ZlBFD=90o,□EBPi+DFDB=90°,

・•・DEPiB^FDB

第21页

=LFBD(AAS)

：.EPi=FB=l,EB=FD=3

・••点Pi的横坐标为-1，点Pi的纵坐标为3,

・•・把-1代入抛物线C2的表达式y]小一Q2一苣得丫=3=£[3,则Pi在抛物线C2上

・••点臼存在，坐标为(-1,3).

②当匚P2DB=90。，P2D=BD,如图所示，过点D作直线Ex轴，过点P2作PFEJ1于F,过点B作BE口于

E,

同理可证LFP?D=LEDB(AAS)

：.FD=EB=1,P2F=DE=3

・•・点Pi的横坐标为2,点P2的纵坐标为P2F-BE=3-1=2

・•・把2代入抛物线C2的表达式y=gG—1)2—苣得y=2,则P2在抛物线C2上

・,・点P2存在,坐标为(2,2).

③当「BP3D=90。，P3D=P3B,如图所示，过点P3作直线1DX轴，过点B作BED于E,过点D作DFE1于

F,

同理可证AEP38=LFDP3(AAS)

ABE=P3F=1,EP?=FD

设点Ps(m,n)

/.m+2=n+l>l-m=l

解得：m=0,n=l

・•・P3(0,1)

第22页

则m=0时，y=|<0-1?一将1

则P3不存在

综上，在x轴.上方的抛物线金上，存在点P，使是等腰直角三角形，点P的坐标为Pi（-1,3）或P2

（2,2）.

4

2+-

【解析】【分析】（1）把点D坐标代入抛物线C】：y=34可得表达式;

（2）先根据平移规律得出平移后抛物线C2的表达式为6一|）2一1|,再把点D坐标代入，可做判

断；

（3）分匚PBD=90。，IZ1PDB=9O。，［BPD=90。三种情况讨论，结合等腰直角的性质，构造“一线三垂直”全

等，得到点P坐标.

9.【答案】（1）解:把4（一3,0）,C（0,3）代入y=-/+加+，得:

f-9-3b+c=0

tc=3'

解得｛"二?，

•••抛物线的解析式为y=-X2-2X+3；

（2）解：过。作DK||y轴交4c于K如图：

由4（一3,0）,C（0,3）得直线4c解析式为y=x+3,

设0（£,一/一2£+3）,则K«,£+3）,

***DK=—£2—2£+3—（£+3）=-d—33

♦•・△ACD的面积为3,

^DK-\xA-xc|=3即;（一户—3£）x3=3,

解得亡=-1或£=-2,

•••。的坐标为（-1,4）或（一2,3）；

（3）解：P的坐标为（0,3）或（25彳产,-7+;屈）或（25福丽,土答骂或得•,/.

【解析】【解答】解：（3）在直线BC上存在点P,使AOP。是以PD为斜边的等腰直角三角形，理由如下:

在y=—x2-2x+3中，令y=0得0=—%2—2%+3,

解得％=-3或x=1,

第23页

力(-3,0),8(1,0),

由3(1,0),C(0,3)得直线。C解析式为y=-3x+3,

设P(m,—3机+3),D(n,—n2—2n+3),

过P作PN1y轴于N,过。作DM1、轴于M,

①•:OA=OC=3,

•••当P与C重合，。与A重合时，△OP。是等腰直角三角形，如图:

此时P(0,3)；

②当P在第一象限，。在第四象限时,

•••△OPD是以PO为斜边的等腰直角三角形,

OD=OP,乙POD=90°,

/OOM=90°°-乙PON=乙OPN,

•••LDMO=90°=乙PNO,

DOM三△0PN(7L4S),

/.DM=ON,OM=PN,

(n=-3m+3

tn2-2n—3=m'

-7+V193

-3m+3=_^233

3Xlo+6'

P的坐标为(25?产,-7+严);

③当P在第四象限，。在第三象限时，如图:

第24页

••・△OPD是以P0为斜边的等腰直角三角形,

OD=OP,乙POD=90°,

Z.DOM=90°-乙PON=2OPN,

•••Z.DM0=90°=乙PNO,

DOMOPN(AAS)f

PN=OM,ON=DM,

同理可得，力=标12九—3

（3m—3=—n

25+vl9325-7193

m=18或m=-18-

解得（大于0,舍去）,

-7-v^l93-7+s/193

n=-6—n=-6—

25+、库，Q-7-vTl93

+3=

•*«—3m+3=-3x~^8—6'

•••P的坐标为（251、产,-7一严）;

④当P在第四象限，0在第一象限，如图:

•••△OPD是以00为斜边的等腰直角三角形,

OD=0P,乙POD=90°,

:.乙D0M=90°-乙PON=乙OPN,

(DM0=90°=4PNO,

DOMOPN^AAS),

；.PN=OM,ON=DM,

m=-n2-2n+3

3m—3=n

第25页

解得｛”_，(舍去)或「一？，

九-3I71=o

•••-3m+3=—3x^-+3=—

・・・P的坐标为得，-瓢

综上所述，P的坐标为(0,3)或(25一户［7+：夜)或(25*评,或(卷,_5.

Ioolo6V5

【分析】(1)将点A、C的坐标代入抛物线的解析式，可得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c的

值，可得到抛物线的解析式.

(2)过。作DKIIy轴交4c于K,由点A、C的坐标，可求出直线AC的函数解析式，利用两函数解析式，设

。(1,一产一21+3),则K(t,t+3),可表示出DK的长，利用三角形的面积公式，根据HACD的面积为3,可

得到关于t的方程，解方程求出t的值，即可得到点D的坐标.

(3)利用二次函数解析式，由y=0可求出对应的x的值，可得到点A、B的坐标，利用待定系数法求出直

线BC的函数解析式；设P(m,-3m+3),D(n,-n2-2n+3),过P作PNly轴于N,过。作DMJ.y轴于M,

分情况讨论：OA=OC=3时，当P与C重合，。与A重合时，AOPD是等腰直角三角形，可得到点P的坐标；当

P在第一象