高一数学（人教A版）试题必修二 阶段质量评价（三）立体几何初步

阶段质量评价（三）立体几何初步

（时间：120分钟满分：150分）

一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中,

只有一项是符合题目要求的）

1.下列正确的是（）

A.过球面上两点与球心有且只有一个平面

B.用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台

C.底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥

D.有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台

2.已知某平面图形用斜二测画法画出的直观图为如图所示的三角形，其中AB=AC=2,

则该平面图形的面积为（）

。(4)B

C.2<3

3.（2024•全国甲卷）设a,仅为两个平面，〃?，〃为两条直线，且aA夕=〃?，下述四个命题：

①若加〃％则”〃a或〃〃夕

②若mJ_〃，则〃_La或〃_L0

③若〃〃a旦〃〃/，则m〃n

④若〃与a,p所成④角相等,则mLn

其中所有真命题的编号是（）

A.①③B.②④

C.@@@D.①③④

4.如图，以_1_平面ABC,ZACB=9（）°,且以=AC=4C=a,则异面直线。8与AC所成

的角的正切值等于（）

B.eqB.eqB.eq

C.eq

5.如图所示的粮仓可近似看作一个圆锥和圆台的组合体，口圆锥的底而圆与圆台的较大

底面圆重合.已知圆台的较小底面圆的半径为1,圆锥与圆台的高分别为小一1和3,则此组

合体外接球的表面积是（）

A.16冗

C.247rD.28兀

6.圆台的上、下底面半径之比为1：2,一条母线长度为2,这条母线与底面所成角等于

30。，这个圆台的体积为（）

A.eqnB.eqn

C.cq7tD.7%

7.（2024•北京高考）如图，在四棱锥P-ABCO中，底面/18C。是边长为4的正方形，PA

=PR=4,PC=PD=2®该棱锥的高为（）

A.1B.2

C.eqD.eq

52

8.（2024・新课标II卷）已知正三棱台ABC-A'B'C的体积为于，AB=6,4'B'=2,

则A'A与平面A8C所成用的正切值为（）

A.cqB.1

C.2D.3

二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分）

9.下列结论正确的是（）

A.S阳⑶="（其中c为底面周长，/为棱柱侧棱长）仅适用于正棱柱

B.若圆锥的母线长为/,底面圆的半径为r,则一定有S（o侧="/

C.如果一个球的表面积变为原来的9倍，那么对应的球的半径变为原来的3倍

D.若•圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为5,则圆锥的底面积是］

10.PA垂直于以为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A,B的任意一点，则下列关

系正确的是（）

oB

A.PALBC

B.8C_L平面以C

C.ACA.PB

D.PCIBC

11.如图，在正方体ABCO-4由iGG中，下面结论正确的是（

A.8。〃平面

B.AC\LBD

C.平面4CGAi_L平面CBi"

D.异面直线AO与CS所成的角为60。

三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上）

12.某圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，则该圆柱一个底面的面积为.

13.已知平面a,B和宜线m,给出条件：@ni//a；②m_La；③〃?Ua；④a〃h.当满足

条件时，有〃?_L£

32

14.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这个球的体积是中,

那么这个三棱柱的侧面积为,体积是.

四、解答题（本大题共5小邈，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算

步骤）

15.（13分）如图，在圆锥PO中，己知20=也，圆。的直径A8=2,。是弧AB上的点

（点C不与A,8重合），。为4C的中点.

（1）求圆锥PO的侧面积；

（2）证明：平面尸OD_L平面附C.

16.(15分汝I图，在四棱锥P-/WC7)中，PCL底面四边形/WCO是直角梯形,

AD1DC,AB//DC,AB=2AD=2CD=2,点E是PB的中点.

(1)线段以上是否存在一点G,使得点，C,E,G共面，存在请证明，不存在请说明

理由；

(2)若PC=2,求三棱锥P—ACE的体积.

17.(15分)如图，棱长为2的正方体4BCO-AiSGd中，E,尸分别是棱CCi

的中点，过E作平面使得a〃平面8DF.

(1)作出a截正方体ABC。-所得的截面，写出作图过程并说明理由;

(2)求平面«与平面BDF的距离.

18.(17分)将如图①的矩形人阴〃)沿CO翻折后构成一四棱锥M-/WCQ(如图②)，若在

四棱锥M-ABCD中有MA=p

(1)求证：4C_LM。；

(2)求四棱锥M-ABCD的体枳.

19.(17分)(2024•新课标I卷汝口图，四棱锥P—ABCO中，R1_L底面A8CZ),PA=AC=2,

BC=1,AB=4

(1)若证明：AO〃平面PBC；

(2)若4。_1。。，且二面角八一675一。的正弦值为华，求4。.

p

A

B

阶段质量评价(三)

1.选c当球面上的两点恰好是直径的两个端点时，这三点共线，此时过这三点有无数

个平面，故A错误；用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故

B错误；根据正棱锥的定义：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.所

以底面是正多边形且侧棱知底面成等角的棱锥是正棱锥，符合定义，故C正确；两个底面平

行且相似，其余各面都是梯形的多面体中，侧棱延长不一定会相交于一点，所以不一定是棱

台，故D错误.故选C.

2.选D作出原图形如图所示，则AR'=2,AC=4,所以该平面图形的面积为

^AB'AC=zX2X4=4,故选D.

3.选A若则mUq,夕，对于①，若〃?〃〃，则〃〃a或〃〃人①正确；

对于②，若〃i_L〃，则可能〃Ua或〃〃a或〃与a相交，②错误；对于③，若〃〃a且及〃人

则〃〃〃?，③正确；对于④，〃与/〃所成的角可以为［。，宫内的任意角，④错误.故选A.

4.选B如图，将此多面体补成一个正方体.•/AC//8。，与AC所成的角的大小

即为此正方体体对角线尸3与棱8。所成角的大小.在RtaPBO中，NPDB=90°,PD=pa,

DB=a,

rur

tanZDBP="j^=\2.

5.选B设外接球半径为R,球心为O,圆台较小底面圆的圆心为Oi,则。。彳-12=

R2,而00|=小一1+3一此故心=1+(4+2—R)2,解得/?=小.此组合体外接球的表面积

$=/1兀〃2=20兀.故选B.

6.选D如图，由题意得80=2,AB=2CD,ZABD=30°,过点。作OE_LA8于点E,

则DE=\,8七=小.因为圆台的上、下底面半径之比为I：2,所以CO=AE=B£=W.则圆

台上底面面积为（木），=3兀，下底面面积为（2小户兀=12兀故圆台的体积为:（12兀+3兀+

、12兀X3兀）X1=7兀故选D.

7.选D由题意知△用3为正三角形，因为尸。2+0》=。。2,所以pc，。。如图，分别

取A&CQ的中点E,F,连接。E,EF,PF,则夕七=2小，PF=2,EF=4,于是「序十。尸

=七产，所以过点P作PG_LEE垂足为G,易如CD1.PF,CDLEF,EF,P尸U平

面PEF,且EFRPF=F,所以CO_L平面PEF.又PGU平面PEF,所以CD上PG.又PGLEF.

CD,£/U平面A5CO,CDQEF=F,所以PG_L平面A8C。，所以PG为四棱锥P-48C。的

高.由;PEPF=3：FPG,得26=隼*=2号2=事故选D

8.选B如图，分别取8C,B'C的中点。，D',连接A。，A'D',DD'.

易证得平面A。。'A'J_平面A8C.

过点A'作A'E_L4Z）于点七，则A'E_L平面4BC,

即A'E为正三棱台的高.

由上述可知，N4'4E为直线A'A与平面ABC所成的角.

由已知易得正三棱台ABC-A'B'C的上、下底面的面积分别为^X2X小=小，1

X6X3小=小

由正三棱台ABC-A'B'C的体积为苧，得（X（小+外万+3小）XA'E=苧，

4s

解得A'E=苧.

取△A3C,△4'B1C的重心分别为G,G1,连接GG',则四边形A'EGG'为矩

形，

所以EG=A'G'=*'Dr=¥（方法技巧：利用正三角形的重心性质），

。2l入行4I行

所以A£=AG—EG=5A。-EG=§X3小一芋=~^■.在RtAAzAE中，

4小

A，E3

tanNA'AE="故选B,

3

9.选BCDA中公式适合所有的直棱柱，故A错误；B正确；C中由470^=9X4兀后得

n=3n,故C正确；D中设侧面展开图即半圆的半径为心圆锥的底面圆的半径为八则S

=%42"=兀凡；.r=yj^,S度=冗/=几卷=9，故D正确.故选B、C、D.

10.选ABD.・•%，平面ABC,BCU平面ABC,：.PA1BC,A正确；又•.•BCL4C,

网HAC=A,.\8C_L平面办C.又PCU平面叫C,：.BCLPC.：.B.D均正确.故选A、B、

D.

11.选ABC•..ABCD-A用iGG为正方体，由线面平行的判定可得5D〃

平面CSOi,故A正确；连接AC,•.•ABCD-AiSGDi为正方体，：.BDLAC,且CG_BD,

由线面垂直的判定可得40_L平面ACC\y

；.BDlACi,故B正确；由上可知B0J_平面ACG,又B9〃8iDi,・・・BiDi_L平面47G,

则平面ACGAi_L平面故C正确；异面直线AO与CS所成的角即为直线BC与CS

所成的角，，所求角为45",故D错误.故选A、B、C.

12.解析：因为圆柱的侧面展开图是面积为8的正方形，所以该图柱的底面圆的周长为

其侧面展开图正方形的边长2^2,该圆柱底面圆半径为岩.故该圆柱一个底面的面积5=nr

“婚4

答案一

13.解析：当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，

结合所给的选项，故由②④可推出，〃J_夕，即②④是，〃J•夕的充分条件，.••满足条件②④时,

有m邛.

答案：②④

14.解析：设球的半径为「，则》=拳，得「=2,柱体的高为2「=4.又正三棱栏的底

面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为4小.所以正三棱栏的侧

面积S何=3X4X4小=48有体积V=^X(4V3)2X4=48^3.

答案：48548小

15.解：⑴•:P0=巾,

底面半径/•=。8=18=1,

母线/=PB=y[2+\=小.

.0.5«=7rr/=nX1乂小=小江.

（2）证明：•・•用=PC,D是AC的中点，

：.PD±AC.

又：OA=OC,。是4c的中点，：.OD±AC.

又PDCOD=D,PQU平面POD,OOU平面POD.・.ACJ_平面POD.

•・NCU平面PAC,

.・・平面POOJ_平面PAC.

16.解：（I）存在附的中点G满足条件.证明如下：

接GE,GD,则GE是三角形以4的中位线，

所以GE//AB.

又由已知A8〃QC,所以GE〃OC

所以G,E、C,。四点共面.

（2）因为七是P8的中点，

所以VP-ACE=VC-PAE=QVC-PAH=^VP-ACR-

II?I

由（1）知AC_L8C,所以5加“=”。归。^^1.“一68=1尸。54°八8=*所以V/MCE=1.

17.解：（1）连接8。|,ES,EDlt

由正方体性质可得80〃8|。|,BF//ED\.

又所以平面EBiDi〃平面BDF.

因为a〃平面BQF,且所以平面EBOi与平面a重合.

即三角形£用。就是a截正方体ABCD-AiSG。1所得的截面.

(2)由(1)可知平面«与平面BDF的距离等于点Bi到平面BDF的距离.

设点B1到平面8。/的距离为d

由题意可得3。=2、尼，I3F=DF=y[5,

所以△8。/的面积为#,当尸的面积为2.

由VBi-BDF=VD-BByF可得(S△加广d=/S48B/X2,解得d=坐.

所以平面a与平面BDF的距离为呼.

18.解：(1)证明：如到，连接AC

在△AMO中，MA=、^,MO=1,AQ=2,所以“川+用02=4。2,所以

又因为MO_LMC,MCP4M=M,MC,4MU平面历AC,

所以MO_L平面MAC.

ACU平面MAC,所以AC_LM。.

⑵取CO的中点F,连接MF.

在△4CD中，CD=AC="AD=2,

所以AC2+CQ2=AD2,所以AC_LCD

由(1)可知MQ_L平面.MAC,所以AC_LMQ.

所以ACJL平面MCD.所以ACA.MF.

在△MC。中，MC=MD