高考数学二轮复习讲义：解三角形（原卷版）

第十四讲：解三角形

【考点梳理】

1.正弦定理

在AA8C中，'一=一2-=-^=2/?(/?为白43。外接圆半径).

sinAsinBsinC

变形形式：(1)a=2RsinA,b=2HsinB,c=27?sinC

(2)sinA=—,sinB=—,smC=-

2R2R2R

(3)〃：〃：c=sinA:sin8:sinC

2.余弦定理

①222222

a?=b+c-2bccosA.②b'=a+c-2accosB.@c=a+b'-2abcosCo

h~+c~-a~八a~^c~-b~八a~-\-b~-c~

cosA=------------cosn=------------cosC=------------

推论：①2bc；②lac；③lab

3.三角形面积公式

3；.nr=—he'sinA=—ocsin8=—sinC'

MBC222

4.重要结论

(1)在AA3C中，〃,/?,(?分别为角A、B、C的对边，A>3>Co〃>Z?>c<=>sinA>sin/?>sinC.

(2)AABC内角和定理：A+B+C=TT

①sinC=sin(八+B)=sin4cosB+cosAsin13qc=tzcosB+bcosA

同理有：a=£>cosC+ccosB,b=ccosA+aeonC.

②-cosC=cos(4+B)=cosAcosB-sinAsinB；

③斜三角形中，一lanC=tan(A+B)=皿4+1a11'<=>tanA+tanB+tanC=tanA-tanB•(anC

1-tanA•tanB

公./4+8\C+C

④sin(--------)=cos—;cos(--------)=sin—

2222

⑤在AA4C中，内角A,B,。成等差数列o3=¥,A+C=&.

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【典型题型讲解】

考点一：正、余弦定理

【典例例题】

例1.（2022・广东揭阳•高三期末）在△ABC中，角A&C所对的边分别为〃也c,且GacosB+bsin八=6c.

⑴求角A；

（2）若4=6,且aA5c的面积为立，Rb>c,求〃和c的值.

2

例2.（2022•广东•铁一中学高三期末）在①2=黑"，®2bsinA=a{anB,③

a5/3sinA

（a-c）sinA+csin（A+8）=0sin"这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

已知△A8C的内角A,B,。所对的边分别是。，b,c,若.

（1）求角3；

（2）若a+c—4,求△4?C周K的最小值，并求出此时△居<?的面积.

【方法技巧与总结】

在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边

化角”或“角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有•的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

（3）若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（Q同时出现两个自由角（或二个自由角）时，要用至114+8+。=乃.

【变式训练】

1.（2022.广东东莞•高三期末）的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,已知/=）cosC+c8sB.

⑴求。；

（2）若4=的面积为立，求△ABC的周长.

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2.（2022・广东汕尾•高三期末）△回（7中，内角4,B,C所对的边分别为a,b,a且

（sinA-sinC）2=sin?6-sinAsinC.

⑴求角B

⑵当〃=3时，求△AAC的面积的最大值.

3.（2022•广东惠州•一模）在△/WC中，内角A,4,C所对的边分别为a",c,1cos2^=cos（AC）Icos^,

且拓=配.

(1)求证：护=ac;

(2)当时，求8S//WC.

4.(2022.广东.一模)在“IBC中，角A8,C的对边分别为下面给出有关△ABC的三个论断：①

a24-c2-b2=aci②c=2〃cos"；③acosC+GasinC=/?+<?.

化简上述三个论断，求出角的值或角的关系，并以其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写

出所有可能的真命题.(不必证明)

论断①：8=g；论断②：C=2月或C+2A=TT；论断③：A=g；所有可能的真命题有：①③=>②和①②

3，

=③.

5.（2022广东湛江•一模）已知在AABC中，角A,3,C的对边分别为a,6,c,sin2B+sin2C+sinBsinC-sin2A.

(1)求角A的大小：

(2)若〃=JL求”18。周长的最大值.

6.(2022・广东广州•一模)△A8C的内角A,3,C的对边分别为已知△A8C的面枳为一瓜卜nC.

(1)证明:sinA=2sinB；

3、

(2)若。8sC=-b,求cosA.

7.12022•广东汕头•一模)在①。=24；②"BC的面积为#；③sin(3+C)=等这三个条件中任选一个,

补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否

存在△A8C中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，a=l,b=2,

考点二：正弦、余弦定理在几何中的应用

【典例例题】

例1.(2022•广东佛山•高三期末)AABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,且acosC=(»-c)cosA.

(1)求角A的大小：

(2)若〃=2,BC边上的中线人。=#,求△ABC的面积.

例2.(2022・广东汕头•高三期末)在4ABC中，角4,B,C所对的边分别a,b,c.已知2反osB=ccosA+〃cosC.

⑴求B；

⑵若〃=2,b=瓜，设。为C"延长线上一点，且4QI4C求线段〃。的长.

例3.（2022•广东珠海•高三期末）在“8。中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且。=耳后指（+3。）.

⑴求B；

（2）已知AC=2G，D为边AB上的一点,若BD=1,ZACD=^,求AC的长.

【方法技巧与总结】

利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角函数转化求解.

【变式训练】

zjb+csinA

I.（2022.广东中山•高三期末）在△树中,内角4-C的对边分别为小A°且力丁=界

（1）求A：

（2）如图，已知八4=2,£＞为AC的中点，点P在80上，且满足ARC户=1，求△H4C的面积.

2.（2022・广东・金山中学高三期末）如图，在平面四边形48co中，^ABC=—,AB±AD,AB=\.

(I)若AC=石，求ziABC的面积；

(2)若N4QC=工，8=4,求tan/CAD.

3.（2022・广东清远•高三期末）在平面四边形ABC。中，NADB=NBDC=j/BCD=；,AD=4,CD=3.

D

C

A

⑴求AN;

⑵求△48C的面积.

4.如图，在AABC中,NBAC、NB、^ACB对边分别为4权c,且c+ccosS=>/3Z?sinC.

⑴求角8的大小:

⑵已知b=2",〃+c=10,若。为dBC外接圆劣弧AC上一点，且2AO=DC,求四边形A8CD的面积.

5.（2022•广东梅州•二模）在△ABC中，点。在A4上，。。平分ZACB,已知03=2,DC=3,ZBZX?=60°

(1)求8c的长：

(2)求sinA的值.

6.(2022•广东广州•二模)在半囿四边形A8CO中，ZA=90°,ZD=60°,AC=6,C£>=3x/3.

⑴求△4CO的面积；

93

(2)若cos4C8=—,求A3+—BC的值；

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【巩固练习】

一、单选题

1.记△”（?的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,sinC=—,c=2,〃=3,则cos8的值为（）

7

A..也B.旦C,土立D.土立

1414147

2.在△A8C中，内角A,8,C所时的边分别为a",c,且从in4+csinC=24必，则受喀丝的值为（）

3sinnsinC

A.4B.5C.6D.7

3.（2022黑龙江•哈九中模拟预测（理））记△ABC的内角AB,3的对边分别为。，4c,sinC=亨,b=3,

c=2.贝I」cosB的值为（）

A.一也B.旦C,士也D.士也

1414147

4.（2022•北京昌平•二模）在△ABC中，NB=45°,c=4,只需添加一个条件，即可使△ABC存在且唯一.条

件：①a=3&;②b=2后③cosC=-*中，所有可以选择的条件的序号为（）

A.①B.①②C.②®D.①②③

二、多选题

5.（2022•全国•高三专题练习）内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知AinA=（勖-c）sin3,且

cosA=g,则下列结论正确的是（）

A.a+c=3hB.tan4=20

C.△”（?的周长为4cD.△ABC的面积为里/

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6.（2022・河北・石家庄二中模拟预测）已知.ABC中，A8=3,AC=5,BC=7,O为外接圆的圆心，/为

△ABC内切圆的圆心，则下列叙述正确的是（）

A.9。外接圆半径为华B.”18。内切圆半径为史

2

C.AOBC=SD.AlBC=\

三、填空题

7.（2022・河北•高三期中）已知△ABC中角4,B,。所对的边分别为小/?,c,〃二竺手，则“IBC的面

积5="乂〃_4）（〃_力）（〃_c）,该公式称作海伦公式，最早由古希腊数学家阿基米德得出.若△ABC的周

长为15,(sinA+sinB):(sin13+sinC):(sinC+sinA)=4:6:5,则4ABC的面积为.

8.在4ABC中，ft!A,B,C的对边分别为a,b,c,满足-3/-改=0，sin(A+8)=2sinA,则cosC=

四