浙江省台州市2025-2026学年第一学期高一期末质量评估数学（解析版）

台州市2025学年第一学期高一年级期末质量评估

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1,已知函数/3=3'一2,则/（。）的值为（）

A.-2B.-1C.OD.1

【答案】B

【解析】

【分析】代值计算即可求解.

【详解】函数/（犬）=3'-2,则/（0）=30-2=-1；

故选：B

2.己知〃=（1,2）,〃=（一3,1）,则0的坐标为（）

A.（5,3）B.（—5,4）C.（—2,3）D.（—1,5）

【答案】D

【解析】

【分析】根据平面向量的坐标运算即可求解.

【详解】依题意2a=（2,4）,则2々卜匕=（2,4）+（—3,1）=（-1,5）.

故选：D.

3.已知集合4={%£1<卜2-5工44<0},那么下列关系正确的是（）

A.2任AB.{2}wAC.3GAD.{3}EA

【答案】C

【解析】

【分析】通过解一元二次不等式可求得集合A,再根据元素与集合的关系即可判断.

【洋解】因为A=x2-5^+4<o|=1xeR|（x-l）（x-4）<o!=1x|l<x<4},

所以3wA.

故选：C.

4.在VA8C中，“8$4>0”是“948。为锐角三角形''的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】利用充分性和必要性的定义，结合三角形的性质即可求解.

TCTCTC

【详解】在VA8C中，若cosA>0,不妨取4=一，3=—，。=一，此时VA3C为直角三角形;

632

若V48c为锐角三角形，则人为锐角，贝iJcosA>0,

所以在VA8c中，“cosA>0贾“VA8C为锐角三角形”的必要不充分条件；

故选：B

5.若函数y=3匕的定义域为[0,1）32,+“），则此函数的值域为（）

.1]（\~

A.-1,-B.一乱一

717

1(1

C.U-,+8D.

7

【答案】D

【解^5]

【分析】根据定义域求出％3一1的范围，即可求解.

【详解】函数）的定义域为[0,1）32,+8），贝『14『一1<0,或丁一1之7,

当-133一1<0时，-^―<-1,

x3-l

11

当/一127时，。<<

/_［一〒

综上，函数的值域为

故选：D

6.已知函数/（x）的部分图象如图所示，那么>=/（"的解析式可以是（）

A./(x)=2v4-siiu-B./(x)=x+sinx+l

C./(x)=2rsinvD./(x)=Asinx

【答案】A

【解析】

［分析］根据/(x)的函数图象变化以及/(0)>0逐个选项判断即可.

【详解】对于A,/(0)=1>0与图象一致，且在x<0时，随着x的减小，>越来越接近于0,

.f(x)的大小主要由sinx决定，偏向于正弦函数图象，而在x>0时，由于y=2•,随x不断增长呈爆炸性

增长，此时/lx)的大小主要由才决定，偏向于指数函数图象，故A正确；

对干B,当x<0时，由于y=sinx在卜1,1］内波动，函数图象主要由x决定，而非图中展示的偏向于正

弦函数图象，故B错误；

对于CD,/(0)=0,与图象中的/(0)>0矛盾，故CD错误.

故选：A.

r

7.若非零向量〃，/?的夹角为三，,?=ba+a\b,（c-6）•〃=（）,则〃的值为（）

2

A.-B.1CTD.空

323

【答案】A

【解析】

^91一代入可得;。屋+（口-1）屋=0,运算求解即可.

【分析】由题意可得。•力=一。h

2

rrrr兀1「［

【详解】由题意可知：ab=abeOS-=—Clu9

32

因为c=〃〃+4〃，则(?一人=代/八胆-1卜，

可得/_〃)•〃=(/?4+(卜卜1)叶/7=M荽+（HT犷=g；片+（口|T）向2=o,

又因为卜00,忖工0，则34+卜上-1=0,解得什="|.

故选:A.

4兀

8.已知1是实数，若2sin-^-cosx==sin|x+-,则tanx的值为（）

A.也B.立C.y/2D.石

23

【答案】D

【解析】

【分析】利用两角和的正弦公式亿简即可求解.

【详解】2sin/cosx=sin(x+/),可得2sin/cosx=sir)xcos仁+cosxsint,

7171・兀/7T

2sin--sin—2sin

l39；-sm-V3cos-

所以tanx=-------------=----—纥——

n717T

cos—cos—cos—

999

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中有多项符合题目

要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知a〉〃>c,那么下列不等式一定成立的是()

A.a+c>b+cB.2a>2b>2CC.—<-J-<-D.ah>be

abc

【答案】AB

【解析】

【分析】根据不等式性质以及指数函数的单调性分别判断各选项即可.

【详解】对于A,因为4>/?〉C,所以4+C〉Z?+C,故A正确；

对于B,因为y=2'在R上是单调递增函数，由。>b>c,可得2“>2〃>2'，故B正确；

对于C,取。=1,〃=-2,。二一3,满足。>6>如此时一>一,故C不正确；

ab

对干D,取。=1,Z?=0,c=-l»此时〃Z?=Z?c,故D不正确；

故选：AB

10.在V4AC中，角A,B，C的对边分别为。，b,c,若a=5b=\,则下列结论正确的是

()

B.若。=1,则VABC的面积为正

A.V3-1<c<G+i

4

仁若3=30。，则VABC是等腰三角形D.若A=2B,则c=2

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于A,利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可判断；对于B,由余弦定理

求出COSA,利用三角形面积公式即可求解；对于C,利用余弦定理即可求解；对于D,由

sinA=sin2B=2sinBcosB,给合正弦定理求cosB=也，可得VA3C是直角三角形，利用勾股定理

2

即可求解.

【详解】对于A,由|。一4＜。＜。+〃，可得G—lccv百+1、故A正确，

对干B,若c=l,则cosA=上七三二一！，所以sinA=立，则VA8C的面积为工历sinA=立，

2x1x12224

故B正确；

对于C,若8=30。，则从二片十c2—2accos8,即1=3+/—3c,解得：c=l或c=2,满足条件,

当c=l时，则VA8C是等腰三角形,

当c=2时，则VA3C是直角三角形，故C不正确；

对于D,若A=2/，则5抽4=§皿26=25皿8（：05笈，由正弦定理可得：a=2bcos

所以cosB=半，因为6£（0,兀），所以3=30。，A=60"C=90，

则VABC是直角三角形，c=J#+b2=2,故D正确;

故选：ABD

--x2+2x+l,x>0

11.设函数/(%)=<2

若函数y=恰有4个不同的零点为,x2,

|log2(-X)|,A<0

331

工3，工4，且--14X1+工2+工3+工4工—W，则实数。可以是（）

257

A.-B.-C.一

366

【答案】CD

［华茴斤］

3

【分析】令，=/（'）,则/（。=4，由选项可知实数。均满足0＜。＜5,可得/（/）=%,分类讨论

553

（）＜。＜和（两种情况，结合图象分析交点以及零点的性质，进而求解即可.

662

【详解】作出函数y=/（x）的图象.如图所示.

令y=/(/(")—b(x)=0,即/(/(x))=4(x)，

令z=/(x),则f〃)=",

3

由选项可知实数〃均满足O<〃<二，则y=/(。与)'=4/有H仅有一个交点小，即/("=%.

2

且G⑵=3,G(3)=|,即零力宇1

对于选项AB：若则f(x)=Z()N3,

可知)'=/(x)与>=/0至多有3个交点，不合题意，故AB错误；

对于选项CD：若…〈二,则“力=办£(2,3),

62

可知y=/(x)与y=4有4个交点，

不妨设X<12<与<Z，则一8cxi<-4,一,<X2<一[，x34-x4=4,

48

因为/(X])=/(/)，即|1。&(f)1=1。82(-%)1,

nJWlog2(-Xj)+log2(-x2)=log2(A-^2)=0,则再w=l,即百二—,

可得为+x,+&+七=X+—+4,-8<X<-4,

*

令g(%)=x+」+4,可知8(/)在(一8,-4)内单调递增，

X

33zi

且式-8)=-7，^(-4)=--,可得g(x)在(TV)内的值域为[-可,-1

O4

331

即1<X]+工2+%3+ZW，符合题意，故CD正确：

故选：CD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知sin（7r+e）=卷，则sin6=.

咯案】4

【解析】

【分析】利用诱导公式求解即可.

【详解】由诱导公式可得sin（7T+，）=fin＜9=K，所以而夕=一得，

故答案为：--

13

2

13.已知函数/（力=5下，若/（〃）+/（。+1）=2,则实数。的值为.

【答案】一1##-0.5

2

【解析】

【分析】根据/（。）+/（。+1）=2求出2"的值，进而可以得到〃的值.

【详解】f（a]=——,/（«+!）=——=——■—,

八J2"+1八）2叫12.2"+1

22

所以依题意有1一十一二一=2,令，=2"（/＞0），

2“+12-20+1

则方程变为」一+二一二1,可解得/=亚，也即'解得。=一！.

r+12/+122=2-2

故答案为：—.

2

14.已知。＞1,Z?＞0,且〃2+]=〃物+4,则3〃一2人的最小值为.

【答案】20

【解析】

【分析】对已知等式Q2+]=〃JA+4进行变形,得到〃二。一：，将其代入3。一》,化简得到

3a-2b=a弓最后利用基本不等式求出最小值，并验证等号成立条件即可.

【详解】因为。＞1,b＞0,且力+l=a扬+4,

所以，从+4=〃+!,MZ?2+4=rz2+2+-4，

acr

整理得2+二=（々__!_],

a~\a）

又。＞1,匕＞0,所以。＞4,

所以〃二4一

因此3a—2b=3a—­）=〃■!—22个a—=2\/2»

2

当且仅当。=,，即〃=血〉1时取等号.

此时〃=立>0,满足题意.

2

故答案为：2>/5

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15已知集合A={x|lvxv3},B={x|x<Z或X>攵+4}.

（1）若k=2,求Ac区；

（2）若48=0,求实数&的取值范围.

【答案】（1）Ac4="[l<xv2}

（2）[-1,1]

【解析】

【分析】（1）求出集合B后，再求两者交集即可；

[^<1

（2）根据Af|8=0可得,解出即可.

伙+423

【小问1详解】

当&=2时，8={X,<2或工>6},

故AcB={x|lvx<2}.

【小问2详解】

k<i

由A[6=0,有仁’解得一

伙+423

所以实数k的取值范围为

16.在VA3c中，点。为3c上一点且满足4。=g。。，设=a，AC=b。=3,㈤=6.

（1）用a、。表示向量40；

（2）若47）.BC=8，求边AC的长度.

【答案】（I）AD=-a+-b

33

（2）BC=V33

【解析】

【分析】（1）利用平面向量的线性运算可得出AO关于〃、8的表达式;

（2）利用平面向量数量枳运算性质可求得cosNBAC的值，再利用平面向量数量积的性质可求得

8。卜卜_4的值.

【小问1详解】

AD=AB^BD=AB^-BC=AB^-（AC-AB\=a+-（b-ci\=-a^-b.

33、/3、,33

【小问2详解】

，2-]_-\2-2]-_]-2

因为==—ADBC=-a+-h\-\b-a\=——a+-a-b+-b

133八)333

=-6+6cosNB4C+12=6cosZE4C+6；

由题意得6cosN84C+6=8,解得cos/84C=不，

3

所以5c=/?—〃==\!a~-2a-b+b~="-2a•|/?|cosZ.BAC+1/?|

=^9-2x3x6x1+36=^.

1/.为预防流感，某医药公司生产了一种口服抗病毒药品，服用该药品后，血液中药品的浓度（单位：

mg；100ml）会以每小时〃的比率减少.已知刚服用药品后血液中药品浓度为lmg/100ml,当药品浓度不低

于0.2mg/100ml时，才能起到有效预防流感的作用，现有甲、乙两人口服该药品.

（1）若血液中药品的浓度在甲体内每小时下降比率为Pi=30%,求甲的有效预防时长；（最后结果保留

一位小数）

（2）经过检测发现该药品对乙的有效预防时长不小于6小时且不超过7小时，估算乙血液中药品浓度每小

时下降比率的取值范围.（最后结果保留两位小数）

（参考数据：lg2ko.30,lg3”0.48,1g7ko.85,54%076，51ao.79）

【答案】（1）4.7小时;

(2)0.21</?2<0.24

【解析】

【分析】(1)根据题意，列出不等式计算，即可得到结果；

(2)根据题意，列出不等式组，结合指数的运算代入计算，即可得到结果.

【小问1详解】

由题意，经过1小时后，甲体内血液中药品的浓度为1x(1-0.3)',

令收(1一0.3)飞0.2,得07之0.2,即"log。70.2,

喝皿翳鼠^黑«4.7,

故甲的有效预防时长为4.7小时;

【小问2详解】

设血液中药品的浓度在乙体内每小时下降比率为〃2，

则经过I小时后，乙血液中药物的浓度为ix(i-p2y,

1X(1-)6>0,2,

根据题意有《'A\

lx(l-p2)<0.2.

对干以(1一〃2)6之0.2,有(1一〃2)6之1，即l—故生41-57al-0.76=0.24；

对于lx(l-〃2)7<0.2,即弓，则故P?21-5一屋1-0.79=0.21；

所以乙血液中药品浓度每小时下降比率的取值范围为21%<p2<24%

18已知函数/(x)=x+——(a〃eR).

x-h

(1)求函数y=/(x)图象的对称中心；

(2)当〃=一1,8=1时，用定义证明/(x)在(I,一)上单调递增；

(3)当〃>0,人0时，若函数“力在定义域[见可上单调(〃>〃7>0),且函数/(力的值域为

[2加+1,2〃+1],求实数。的取值范围.

【答案】⑴仅答)

-93、

(2)证明见解析(3)—

164J

【解析】

【分析1(1)求/S+x)+/3—x)的值即可判断y=/(x)的对称中心;

（2）直接根据单调性定义证明即可;

⑶求出函数“X）的单调区间，根据题意分64加〈〃、o＜加指两种情况讨论，并结合“X）

在区间加,〃］的单调性，以及该区间内的值域列等式并转化为一元二次方程根的问题求解即可.

【小问1详解】

f（x）=x-\---=x-b-\—--+b,

x-bx-b

所以可知函数y=/（x）可由y=汇+且平移变换过来，而》=/+且仅有一个对称中心，

-VX

故y=/W只有一个对称中心，

所以伽力）是函数/（%）图象的对称中心.

小问2详解】

/（x）=x———,%,超£（1,物），且

X—1

有小）-/⑸（十1一A（三1卜、…）-（口1-白1A

由］＜内＜工2，得玉一&＜0，（^-l）（A；-l）＞0,于是＜0，

即/（%）＜/（%）,

所以，函数/（月在区间（1,笆）上单调递增.

【小问3详解】

/（x）=x+-,为对勾函数，

根据对勾函数的图像性质可知函数/（司=工+4（。＞0）在（0,0］上递减，在［G,+8）上递增,

•X

①当指V〃Y〃时，函数/（力=x+州在区间四可上单调递增，

X

于是‘［累1）所以方程/（力=2犬+1在上有两个不同的根，

即方程d+x—々=0在［而,词上有两个不同的根,

由函数），=犬+_¥-。在上单调递增，故不符合；

②当0<m<n<4a函数/（力=4+且在区间卜7?,n］上单调递减,

a_,

m+—=2〃+1/、

/(//?)=2z?+1

于是即《,两式相减得〃z-〃+——=2(〃一机)，

/(/?)=2m+1'

〃+0=2机+1mn

n

所以。=3〃〃2,将〃=；代入方程〃?+色=2〃+1得〃/-m+^-a=O,

3mm3

同理可得〃2-〃+—々=0,

3

所以，方程f—x+ga=O在（0,后］上有两个不同的根，

A＞()

193

记g(x)=x-尤+彳。，则＜2,解得＜。＜亍,

3g⑼＞。164

g(呵NU

综上所述，实数。的取值范围是.

口64；

19.已知函数/（尤）=s\n2a）x+2cos26yx-l（6>>0）.

（1）若函数〃x）的最小正周期为冗，求函数/（x）的单调递增区间；

（2）若函数/（X）在XE［0,7T）上有最大值和最小值，求。的取值范围；

（3）当G=Q1时，若存在机,〃£R,使得对任意的大€一37半r5'兀亍，都有|/（x）+如+〃归。，求实数

。的取值范围.

3兀71

【答案】（1）---+—+A:n:,