第四章 三角形 提优测评卷-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

第四章三角形提优测评卷

用时：120分钟总分:12。分得分:

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

I.如图所示的五角星是用螺栓将两端打有孔的5根木条连接构成的图形，它的形状不稳定.如果用在木条交叉点

打孔加装螺栓的办法使其形状稳定，那么至少需要添加螺栓（）.

A.1个B.2个C.3个D.4个

（第3题）（第4题）

2.（2025四11乐山市中区期末）如图，在3x3的正方形网格中,N1+N2=（).

A.60°B.70°C.80°D.90°

3.如图.ADCE是^ABC的两条高、48=4,C8=£,CE+/O=7,则AABC的面积为（).

A56「140

A-7B.TC-T

4.如图,ABJ_BC,AD_LBD,AB=BC=1O,AD=8,BD=6JU!JSAACD为().

A.48B.50C.56D.64

5.（2024.广东深圳宝安中学期末）利用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（）.

BCbC

BCD

6.（2025・四川绵阳期末）已知△ABC的三个内角三条边长如图所示,贝I」甲、乙、丙三个三角形中，和^ABC全

等的图形是（）.

A.甲和乙D.只有丙

7.（2025・威海中考俄们把两组邻边分别相等的四边形称之为•・筝形”在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于

点O,下列条件中,不能判断四边形ABCD是筝形的是（）.

A.BO=DO.AC±BDB.ZDAC=ZBAC,AD=AB

C.ZDAC=NBAC,NDCA=ZBCAD.ZADC=ZABC,BO=DO

（第10题）

8.如图，已知AB_LAC,AD_LAE,AB=AC,AD=AE,则NBFD的度数是（）.

A.60°B.90°C.45°D.120°

9.如图.已知AE±AB且AE=AB.BC±CD且BC二CD点E,B,D到直线1的距离分别为6,3,4厕图中凹多边形AB

CDE的面积是（）.

A.50B.62C.65D.68

10（2025・广西贵港期末）如图、在△ABCADE中,NCAB=NDAE=36o,AB=AC,AD=AE.连接CD,连接BE并延

长分别交AC.AD于点F.G.若BE恰好平分NABC则下列结论错误的是（）.

A.ZADC=ZAEBB.CD〃ABC.DE=GED.CD=BE

二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11若三角形三个内角的比为1：2：3,则这个三角形按角分类是_____三角形.

12如图,AD,CE,BF是△ABC的三条高,AB=6,BC=5,AD=4,贝JCE=.

13如图48=12111。人_1人8于点A,DB_LAB于点B.且AC=4m,点P从点B向点A运动，每分钟走1m，点Q

从点B向点D运动，每分钟走2m,若P,Q两点同时出发，则运动______分钟后，△CAP与二PQB全等.

14（2025.重庆巴蜀中学期中）如图在△ABC中点D,E,F分别在边AB,BC,AC上,且满足BE-CE.BD=2AD,AF~2C

F.连接DE,EF.§AABC的面积为12.则四边形ADEF的面积为.

15如图，在△ABC中,D是边AC上一点CD:AD=1:2.连接BD,E是线段BD上一点BE:ED=1:3,连接AE,F是线段

AE的中点，连接CF交线段BD于点6,若^ABC的面积是12贝必EFG的面积是_______.

16.（2025.广东汕尾期末）如图.在△ABC中、AD为BC边的中线,E为AD上一点，连接BE并延长交AC于点F,

若NAEF:NFAE.BE=4.EF=1.6.贝I]CF的长为

17.⑵侬•湖北武汉东西湖区期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,3BAD=\^/4口。4于点民八口_^口于

点D,E,F分别是CB,CD上的点,且•11£＞卞=7（）,,则下列说法正确的是.（填写正确的序号）.

①DF二BE;②△ADF0Z\ABE;③FA平分NDFE;④AE平分NFAB;⑤BE+DF=EF;⑥CF+CE>FD+EB.

18如图在△ABC中,CM为边AB上的中线,AD是NBAC的平分线，4M=3,S8cA/=7.若E,F分别是边AD和

AC上的动点，贝！］CE+EF的最小值是_______.

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19(6分)教材P107习题T10.变式如图，点C在线段AD±,AB=AD,ZB=ZD,BC=DE.

(I斌说明：△ABC^AADE;

(2)若/BAC=60。,求/ACE的度数.

（第19题）

20.（6分）（2025•山东烟台莱州期末）如图，在RQABC中，门氏1090过点A作ADJ_CB于点D,延长DA至点

E,使得DE=AC,过点E作EF〃AB,交CB的延长线于点F,连接CE.

（1»式说明：4ACB^ADEF;

（2）若NFCE=50）NCEF=70。,求NFCA的度数.

（第20题）

21.（8分）如图，已知4BDDE,4C：iDRBF=EC.

（忖式说明：□/46口。以7；

（2过点C作CGAB于点G,若S,趾=9,。七=6,求CG的长.

（第21H）

22.（8分攻口图,在DABCfQLJCOE中,AC-BC,CD-CE,UACB-l0CE,连接AD.BE交于点M.

⑴如图（1）.当点BCD在同一条直线上，且□力匚。"=45时，可以得到图中的一对全等三角形，即

⑵当点D不在直线BC上时,如图⑵，且ACB=CDCE=a.

①试说明：AD=BE;

②直接写出匚EM力的大小（用含a的代数式表示）.

（第22题）

23.（8分）（2025•广东深圳坪山区期末）如图，在△ABC中，延长AB在射线AB的延长线上截取DE=AB.

任务1:实践与操作：

①如图（1）,请用无刻度直尺与圆规作△DEF与^ABC全等（不写作法，保留作图痕迹）；

②你作的^DEF与^ABC全等的依据是.（选填SSS,SAS,AAS,ASA）.

任务2:猜想与说明:如图⑵,△DEF咨ZXABCAG平分NCAB,DG平分/ADF.

①试猜想/G=o.

②请你求出NG的度数.

（第23题）

24.（8分）（2025•山东济南市中区期中）如图，在△ABC中,AD为高,AC=12.E为AC上一点反连接BE,交A

D于点。若4BDO^AADC.

（1）猜想线段BO与AC的位置关系，并说明理由.

（2）若动点Q从点A出发沿射线AE以每秒4个单位长度的速度运动，运动的时间为I秒.

①当点Q在线段AE上时，是否存在I的值，使得△BOQ的面积为18?若存在，请求出I的/直；若不存在,

请说明理由.

②动点P从点O出发沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，P,Q两点同时出发，当点P

到达点B时，P,Q两点同时停止运动•设运动时间为t秒，F是直线BC上一点，且CF=AO，当△AOP与AFCQ

全等时.请直接写出I的值.

25.（10分）［阅读理解］课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题：如图（1）,在4ABC中,AB=6,AC=4,求边BC

上的中线AD的取值范围.小丽在组内经过合作交流彳导到了如下的解决方法:如图（2）.延长AD到点M,使DM=AD.

连接BM,可得△ACDg^MBD,从而把AB,AC,2AD集中在△ABM中,利用三角形三边的关系即可判断中线A

D的取值范围.

［方法总结］解题时,条件中若出现,中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线（或与中点有关的线段）构造全等三

角形，把分散的已知条件和所求线段集中到同一个三角形中.我们把这种添加辅助线的方法称为“倍长中线法”.

［问题解决W）直接写出图⑴中AD的取值范围：；

⑵猜想图⑵中AC与BM的数量关系和位置关系，并说明理由；

⑶如图⑶,AD是^ABC的中线.AB=AE,AOAF.NBAE=NCAF=90O^!J^E&AD和线段EF的数量关系和

位置关系，并说明理由.

AE，

Bf

BDM

(1)

(第25题)

26.(12分)如图(1),OP是NMON的平分线，请你利用该图画一对以OP为公共边的全等三角形.参考这个作全

等三角形的方法，解答下列问题：

(1)如图⑵，在△ABC中,NACB是直角,NB=60\AD,CE分别是NBAC,NBCA的平分线,ADCE相交于点F,

求NEFA的度数.

(2底(1)的条件下，请你判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由.

(3)如图⑶在^ABC中，如果NACB不是直角.而(I)中的其他条件不变.请问，你在(2)中所得结论是否仍然成立?若

成立，请证明；若不成立，请说明理由.

1.A［解析］用在木条交叉点打孔加装螺栓的办法来达到使其形状稳定的目的，可用三角形的稳定性解释.

点A加上螺栓后，根据三角形的稳定性，原来不稳定的五角星中具有了稳定的各边.故选A.

2.D［解析］如图.

E1——————

(第2题)

由题意知，在△BAC和^EAD中，

AC=AD,

｛二比

AB=AE,

r.ABAC^AEAD(SAS),

AZABC=Z1.

VZABC+Z2=90°,

，/l+N2=90。.故选D.

3.A［解析］•・•AD,CE是^ABC的两条高，

［S：.ABC=；ABCE=；CBA。.

匚AB=4,CB=三，CE+AD=7,

gx4CE=；x£(7-CE).CE=弓,

1S/8C=：48.CE=；X4XT=B.故选A.

归纳总结本题主要考查了三角形的面积计算，熟记三角形面积计算公式和认识三角形的底与高是解题的关键.

4.C|解析］如图，过点C作CE_LBD,交DB的延长线于点E.

(第4题)

VAB±BC,AD±BD,

,ZADB=ZABC=ZCEB=90°,

ZCRE=90°-/ARD=/RAD.

XBA=CB,.\AABD^ABCE(AASX

/.CE=BD=6,

匚S/co=SABC^QABD~^DBC=x10X10+x6x8-|x6x6=56.fi(i^C.

5.D［解析］A,BC所作均不是△ABC的高线.故选D.

6.B［解析］甲与△ABC不符合两边对应相等，且夹角相等，，甲和已知三角形不一定全等；

乙与△ABC符合两边对应相等，且夹角相等，

・•・根据SAS可判定乙和△ABC全等;

丙与△ABC符合两角对应相等，且其中一角的对边相等，，根据AAS可判定丙和△ABC全等.故选B.

7.D［解析］A.TBO=DO,ACJ_BD,

AAC是BD的垂直平分线，

/.AB=AD,CB=CD,

，四边形ABCD是筝形，

，A选项不符合题意；

ACD与^ACB中，

AD=AB,

{JDAC=DBAC.

AC=AC,

.•.AACD^AACB(SAS),

ACD=CB,

・・・西边形ABCD是筝形，

・・.B选项不符合题意；

ACD与^ACB中，

JDAC=HBAC,

{AC=AC,

JDCA=QBCA,

/.AACD^AACB(ASA),

AAD=AB,CD=CB,

・•・西边形ABCD是筝形，

***C选项不符合题意；

D.由NADC=/ABC.BO=DO,不能证明四边形ABCD是筝形，,D选项符合题意.故选D.

8.B［解析］・・・AB_LAC,AD_LAE,

/.ZBAC=ZDAE=90°,AZBAE=ZCAD.

BA=CA,

在ABAECAD4),{CBAE=UCAD,

AE=AD,

.,.△BAE^ACAD(SAS),/.ZB=ZC.

,/ZBGA=ZCGF,AZCFB=ZBAC=90°,

••・NBFD=90。.故选B.

9.A［解析］如图，过点E作EF_L1于点F,过点B作BG_L1于点G,过点D作DHL于点H,

工ZEFA=ZAGB=90°,ZFEA+ZFAE=90°.

•・•AE1AB,，ZBAG+ZFAE=90°,

AZFEA=ZGAB.

•IAE=AB,，AEFA^AAGB(AAS),

AAF=GB=3,GA=EF=6.

同理可证4BGC^ACHD,

/.CH=GB=3,CG=DH=4,

・•・FH=AF+GA+CG+CH=3+6+4+3=16,

・•・梯形EFHD的面积为；(EP+O〃)"〃=；X(6+4)X16=80.三角形EFA的面积为；EF力产=；x6x3=9,三角形

BGC的面积为gCG匚WG=；x4x3=6,故四边形ABCDE的面枳为80-9x2-6x2=50.故选A.

10CI解析］A.YNCAB二NDAE=36。，

/.ZCAB-ZCAE=ZDAE-ZCAE.5PZDAC=ZEAB.

在ADAC和^EAB中，

AD=AE,

{.\DAC=UEAB,

AC=AB,

/.△DAC^AEAB(SAS),

••・NADONAEBCD二BE,故A,D选项不符合题意：

.VAC=AB,

AZACB=ZABC.

VZCAB=ZDAE=36°,

・•・ZACB=ZABC=(180°-36°)^2=72°.

：BE平分NABC,

・・・NABE=NCBE=36。，

/.ZACD=ZABE=36°,

VZDCA=ZCAB=36°,

ACD/7AB,

故B选项不符合题意；

C.根据已知条件无法证明DE=GE,故C选项符合题意.故选C.

“直角［解析］设三角形三个内角的度数分别为k,2k,3k,则k+2k+3k=180。，

解得k=30。.所以2k=60。,3k=90。.

故这个三角形是直角三角形.

12.y［解析］・・・SA8C=pSCE=7C/。，口。七=卡=3=?.

13.4［解析］・.・CA_LAB于点A,DB_LAB于点B,.\ZA=ZB=90°.

设运动x分钟后,△CAPgZSPQB则BP=xm,BQ=2xm,则AP=(l2-x)m.

分两种情况：

①若BP=AC厕x=4,AP=l2-4=8(m),BQ=8m,则AP=BQ,此时△CAP^APBQ;

②若BP=AP厕12-x=x,

解得x=6,则BQ=12RAC,

此时△CAP与〉PQB不全等.

综上所述,运动4分钟后.△CAP与APQB全等.

146

15；［解析］如图.连接DF.CE.

VCD:AD=1:2,SAABC=12,

匚S4RD=|S48c=8,SCBD=jS4NC'=4.

又BE:ED=1:3,

二S：/B£=；S480=2,SADET\^AED=6.

•・・F是线段AE的中点，

匚SADLSEDF=^5D/JD£=3.

VCD:AD=1:2,

匚sCO尸;S40尸I，

匚S17b=S□彳OF+SDCO产g,

匚S\EC产5口乩产2，

3

1

一

2和

=-DC卢SDCC_।

93

2一BFC+SBCC3

△DGFEFG同段I.

△CGD和^CEG同高

DG_\c_3c_9

法=「□$BFLRIED产］

归纳总结本题考杳线段的中点的性质、线段的n等分点的性质、与三角形的高有关的计算问题.正确的连接辅

助线是解题关键.

162.4［解析］如图，延长AD至点G,使DG二AD.连接BG.

（第16题）

在△BDG和仆CDA中,

BD=CD,

｛一BDG力CDA,

DG=DA,

/.ABDG^ACDA(SAS),

ABG=AC,ZCAD=ZG.

VZAEF=ZFAE,

AZG=ZAEF,

VZBEG=ZAEF,

AZG=ZBEG,

ABG=BE=4,

AAC=BE=4.

VZAEP=ZFAE,

AAF=EF=1.6,

/.CF=AC-AF=4-1.6=2.4.

17.③⑤⑥［解析］如图，延长EB到点G,使BG二DF.连接AG.

DA°

(第17题)

VAB±CB,AD±CD,AZD=ZABG=90°.

AD=AB,

在乙ADFABG中｛UD=UABG,

DF=BG,

・••AADF^AABG(SAS),

・•・AF=AG,NG=ZDFA,NDAF=ZBAG.

,/ZEAF=70°,ZDAB=140°,

・•・ZDAF+ZEAB=ZDAB-ZFAE=140°-70°=70°,

AZEAG=ZEAB+ZBAG=ZEAB+ZFAD=70°,

AZFAE=ZEAG=70o.

AE=AE,

在公FAE和^GAE中｛QFAE=CGAE,

AF=AG,

r.AFAE^AGAE(SAS),

/.NFEA:NGEA2G=NEFA,EF=EG,

，EF=EB+DF,NFA母/EAB,故⑤正确、④静吴;

VZG=ZEFA=ZDFA,BPFA平分NDFE,故③正确:

ACF+CE>EF,EF=DF+BE,

••・CF+CE>DF+BE,故⑥正确根据已知不能推出△ADF^AABE,故①错误，②错误综上所述，说法正确的是

③©©.

18.y［解析］如图，过点C作CG_LAD于点G,延长CG交AB于点H,连接EH.FH,

/.ZAGC=ZAGH=90°.

「AD是NBAC的平分线，

/.ZCAG=ZHAG.

又AG=AG,（第18题）

AAAGC^AAGH,

ACG=HG.AC=AH.

又EG=EG,ZCGE=ZHGE=90°,

，ACEG^AHEG,ACE=HE,

JCE+EF=HE+EF,

・••当E,F,H三点共线具HF±AC时,HE+EF最小,

此时CE+EF最小，最小值为HF的长.

VCM为AB边上的中线，

,•S40/二BCM=7，

・••点C到AM的距离为等=?

sQ="CHF=；AH%

・・.HF:*・•.CE+EF的最小值为y

BC=DE，

19(1)在4ABC和仆ADE中，｛:〃=口。，

AB=AD,

AAARC^AADE(SAS).

(2)由(1),得4ABC^AADE,

・•・AC=AE,NBAC=ZDAE=60°,

AZAEC=ZACE.

ZAEC+NACE=2NACE=180。-ZDAE=120。,

:.ZACE=60°.

归纳总结•本题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明^ABC^AADE是解

题的关健.

20.(1)VEF〃AB,ZCBA=ZEFD.

VAD1CB,ZCAB=9O°,

.*.ZEDF=ZCAB=90o.

VDE=AC,・•・△ACB/△DEF(AAS).

(2)VZFCE=50°,ZCEF=70°,

口EED=180-□C£F-aFCE=l50]-70-50=60°,/.ZABC=ZEFD=60°,

匚□尸。=90口一[ABC=90-60=30」.

21(1)VBF=CE,

BF+CF=CE+CF,/.BC=EF.

：AB〃DE,AC〃DF,

・•・ZB-ZE,ZACB-ZDFE.

匚5=口瓦

在AABC和^DEF中.｛BC=EF,

LACB=LDFE,

.,.△ABC^ADEF(ASA).

(2)•・•△ABCg△DEF,JAB=DE=6.

VSAABC=|ABCG=9,/.6CG=18,/.CG=3.

22.(I)△BCE△ACD[解析ZACB=ZDCE=45°,AZACD=ZBCE.

BC=AC,

在ABCE和AACD中｛\2BCE=[^ACD,

EC=DC,

.二△BCE丝△ACD(SAS).

(2)①：ZACB=ZDCE=a,

AZACD=ZBCE.

CA=CB,

在AACDBCE中｛UACD=UBCE.

CD=CE.

：,AACD^ABCECSAS),AD=BE.

©VAACD^ABCE,

AZCAD=ZCBE.

VZBAC+ZABC=180°-a,

AZBAM+ZABM=l80°-a,

D

匚□£MZ>njJW5=180-(l80J-a)=a.

23任务1:

①如图、△DEF即为所求.

②SSS

任务2:①90

(2)VADEF^AABC,AZCAB=ZFDE,

••・AC〃DF,・・・ZCAB+ZADF=180°.

VAG平分NCAB,DG平分NADF,

匚□G/18=g口08,ZlGDA=^□力。A

C□G/15+DGDA=^CAB+^1(□05+口/。可=；乂180=90\

EDG=180]-90=900.

24.(1)BO_LAC.理由如下:

VAD为高,，NODB=90。.

VABDO^AADC,/.ZOBD=ZCAD.

VZOBD=ZCAD,ZBOD=ZAOE,ZOBD+ZODB+ZBOD=180°>ZAOE+ZOAE+ZAEO=18()°,

・・・NAEO=NODB=90。，

ABO±AC.

(2)©当片g时,△BOQ的面积为18.理由如下：

VABD0^AADC,AC=12,

BO=AO12.

I2

CE=-AE,\JAE=-AC=8,C£=4.

由⑴可知,NBEC=90。,

・・・BEJ_AC.

•・•点Q在线段AE上.如图(1),

[SBOQ=\BO^QE=Ix12x(8-4r)=l8,

解得片,

4

(2)VABDO^AADC,

AZBOD=ZACD.

当点F在线段BC延长线上时，如图⑵/《Q

VZBOD=ZACD,

B^~~DC

/.ZAOP=ZQCF,(1)

•・・AO=CF,

・••当OP=CQ时,△人(^^4口(2岱人0),此时,1=124,

解得t=j.

当点F在线段BC上时.如图(3).

VZBOD=ZACD,

AZAOP=ZQCF.

VAO=CF,

.•.当OP=CQ时,△AOP且△FCQ(SAS),此时」=4t-12,解得t=4.

综上所述，当△AOP与AFCQ全等时,t的值为弓或4.

归纳总结本题主要考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理、一元一次方程、直角三角形的性质，

利用分类讨论思想解决问题是解题的关键.

25⑴1<AD<5［解析根据题意猾AM=2AD.

V2<AM<10,.\1<AD<5.

(2)AC=BM.AC//BM.理由如下：

VAD是^ABC的中线.・・.CD=BD.

CD=BD,

SzkADCMDB{DCDA^BDM,

DA=DM,

/.AADC^AMDB(SASX

••・NBMD=NCAD,AC=BM,・・.AC〃BM.

(3)EF=2AD,AD1EF.理由如下：

如图⑴，延长AD到点Q,使得DQ=AD.连接BQ.

(1)

由12)知,△QDB^AADC(SAS),

:.ZDBQ=ZACD,BQ=AC.

VAC=AF,.\BQ=AF,

在AABC中.NBAC+NABC+NACB=180。,

/.ZBAC+ZABC+ZDBQ=180。，

/.ZBAC+ZABQ=180°.

VZBAE=ZFAC=90°,

.