2025-2026学年高一数学下学期期中模拟卷02（人教A版范围：必修第二册第六章~第八章向量+解三角形+复数+空间几何体）解析版

高一数学期中模拟卷02（人教A版）

全解全析

（考试时间：120分钟，分值：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.测试范围：人教A版（2019）必修第二册第六章+第七章+第八章前3节。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1.（2026・山东•一模）复数2-3i的共辗复数的虚部是（）

A.2B.-2C.3D.-3

【答案】C

【知识点】求复数的实部与虚部、共枕复数的概念及计算

【分析】根据共挽复数的定义，结合复数虚部的定义进行求解即可.

【详解】因为复数2-3i的共血复数是2+3i,

所以复数2+3i的虚部为3.

故选：C

2.（25-26高一上•江苏南通•月考）已知向量,=。,2）/=（-2,幻，若不4，则式等于（）

A.-1B.1C.4D.-4

【答案】B

【知识点】利用向量垂直求参数

【分析1利用两个垂直向量的数量积为零，再结合向量数量积的坐标运算法则计算即可得出

答案.

【详解】由万工5，可得『6=0,

所以由小b=lx(-2)+2x=0,解得x=l

故选：B.

3.（2026高一下•福建厦门•专题练习）在梯形/出中，48〃点E在对角

线AC上，且力E=贝1」丽=（）

A.~AB--'ADB.-AB--JD

322

C.2AB--~ADD.-~AB--~AD

322

【答案】A

【知识点】向量加法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量

【分析】根据平面向量线性运算在几何图形中的应用，结合题意，直接表示即可.

【详解】根据题意，作图如下所示：

I_1________1,_______0_______

由题意得，瓦=耳+方=耳+§就=E+§（而+而）=_§而+方.

故选：A.

4.（25-26高一下•全国•课后作业）如图是一个史径为12cm的球形容器和一个底面直径为4cm、

深9cm的圆柱形水杯（壁厚均不计），则球形容器装满时，约可以倒满水杯（）

A.4杯B.6杯C.8杯D.16杯

【答案】C

【知识点】柱体体积的有关计算、球的体积的有关计算

【分析】应用球的体枳公式及圆柱的体枳公式计算求解即可.

【详解】球形容器的直径为12cm,则半径为6cm,

所以球形容器的体积匕=17cx63=2887c（cm3）,

底面直径为4cm、深9cm的圆柱形水杯的底面半径为2cm,

2/18

所以圆柱形水杯的体枳匕=兀X2?X9=36兀（cm3）,

所以匕=8匕，则球形容器装满时，约可以倒满水杯8杯.

故选：C

5.（24-25高一下•贵州•月考）己知W=2,且坂在£上的投影向量的模为《，则［与坂的夹

角为（）

A.45°B.60°C.120°D.45。或135。

【答案】D

【知识点】向量夹角的计算、求投影向量

【分析】根据题意，IWCOSGW卜五，进而得到卜os/酚卜孝，再求夹角即可.

【详解】B在让的投影向量的模等于胆际（2矶=加.

又W=2,所以卜osG，B）|=当，

因为他山［0,句,

所以@0=45。或135。.

故选：D.

6.（23-24高一下•四川广安•月考）已知△48。中，角4民。所对的边分别是。也c,若

（a+b+c）（b+c-a）=3bc,且sinJ=2sin8cosC,那么△43C是（）

A.直角非等腰三角形B.等边三角形

C.等腰非等边三角形D.等腰直角三角形

【答案】B

【知识点】利用三角恒等变换判断三角形的形状、余弦定理解三角形、正、余弦定理判定三

角形形状

【详解】由题意有：（a+b+e）（b+c-a）=（/）+c）~-4？+2bc=36e,

所以〃+°2—a2=be，由余弦定理得〃+c2—a2=2bccosA>

所以2cos/=lnco64=；,又0<4<兀，所以<=1,

乂sin力=2sin5cosC,由sin力=sin［兀一（4+C）］=sin（8+C）=sin5cosC+cos5sinC,

所以sinAcosC+cosAsinC=2sinBcosC,

3/18

所以sin8cosc-cosBsinC=0,所以sin（Z?-C）=0,一兀<4一。<兀，可得8=C,

所以△48C是等边三角形.

故选：B

7.（24-25高二下・贵州贵阳•期末）中国被称为“制扇王国”，折扇的起源历史悠久,最早可

以追溯到西汉时期.现有一把折扇，其结构如图.完全展开后扇环的圆心角为上板长为

9cm,若把该扇环围成•个圆台，则圆台的高为（）

A.3cmB.9cmC.66cmD.65/2cm

【答案】D

【知识点】弧长的有关计算、圆台的展开图

【分析】先根据弧长公式求出圆台的上下底面半径，再结合圆台的母线长，利用勾股定理求

出圆台的高.

【详解】设小扇形的半径为'em,则大扇形的半径为（x+9）cm,

设圆台的上下底面半径分别为4,小则22=丁%，2万々=丁卜+9）,

所以2万（弓一斗）=半x9,所以弓一耳二3,

所以圆台的高为-（q-4尸=」中*=65

故选：D

8.（25-26高一下•湖北襄阳•月考•）如图，圆。内接边长为1的正方形力尸是弧8C（包

括端点）上一点，则开•行的取值范围是（）

4/18

【答案】C

【知识点】用定义求向量为数量积、数量积的坐标表示

【分析】法■：以/为坐标原点，力8,力。所在直线分别为X轴、y轴，建立平面直角坐标

系，应用向量的坐标运算却可求解；法二：连接NC,CP,设/尸/8=仇0式643，则

ZPAC=^-0,万・万=|方||万|8sJ=|万卜|就|cos/P4C,即可求解.

【详解】方法一：如图1，以4为坐标原点，4瓦4。所在直线分别为x轴、)，轴，建立平面

直角坐标系，则40,0)1(1,0)).

设P(KP),则万=(4/).因为标=(1,0),所以万.布=》.

由题意知，圆。的半径〃=也.因为点。在弧8c(包括端点)上,

2

所以iwx«；+¥，所以后.在的取值范围是，柠

设=工，则/"。=2一0.

44

由已知可得I而|=l,|k|=后,4PC=g,所以|存|=|尼|cosNP力C=V^cos^-0

214.

5/18

所以万•而=1肝II砺Icos。=

cos»+sin08s0=-2+Q」+^sin(2O+7

=(cos0+sin0)cos0-

222214)

因为0工。工2,所以乙工2。+四工龙，所以正4sin(2e+工141,

44442I4j

所以1K，+走

，即开.荏的取值范围是

22I4j2

故选：C.

二、选择题：本题共3小迤，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.(25・26高三上•河南商丘・期末)已知复数z满足z(l+i)=l-3i,则()

A.z的实部是_]B.i■的虚部是-2

C.目=5D.彳在乂平面内所对应的点位于第二象限

【答案】AD

【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、共规复数的概念及计算、判断复数对应的点

所在的象限

【分析】根据复数除法运算可化简得到z=-l-2i,由其挽复数、复数的实部和虚部定义、

复数模长运算与几何意义依次判断各个选项即可.

l-3i_(l-3i)(l-i)_-2-4i

【详解】7+T-(I+ii(l-i)-2

对于A,由实部定义知：z=-l-2i的实部为-1,A正确；

对于B,・.N=-l+2i,.•.亍的虚部是2,B错误；

对于C,|z|=J(-1)~+(-2)~=邪,C错误；

对于D,三=-l+2i对应的点为(7,2),位于第二象限，D正确.

故选：AD.

10.(24-25高一下•湖南衡阳•期中)在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛,

这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trulli,于1996年被收入世界文化遗产名录.现测量一个

6/18

Trulli的屋顶，得到圆锥S。（其中S为顶点，。为底面圆心），母线S/1的长为10m,底面半

径。力长为6m.下面说法正确的是（

A.圆锥SO的高为8mB.圆锥SO的侧面积为607rm2

D.圆锥SO外接球的表面积为竽

C.圆锥SO的体积为288m/

【答案】ABD

【知识点】圆锥表面枳的有关计算、锥体体积的有关计算、球的表面枳的有关计算

【分析】首先求圆锥的高，再代入圆锥的侧面积，体积公式，即可判断ABD,利用圆锥与

外接球的几何关系，构造关于R的方程，即可求解外接球的表面积，判断D.

【详解】对A,母线S力的氏为10〃?，底面半径04长为6/〃，圆锥5。的高为

SO=y]SA2-OA2=8m*八选项正确;

对B,圆锥S。的侧面积5=兀・£4。4=60询2,B选项正确;

对C,圆锥SO的体积『=为xSO=g兀x6?x8=96九,C选项错误，

JJ

对D,设圆锥SO的外接球半径为A,则宠2=（SO-解得R=?m,

所以圆锥SO外接球的表面积为4兀笛=学0?,D选项正确.

4

故选：ABD

11.（24-25高一下•安徽淮南•期中）已知△NBC的内角儿民C的对边分别为a,b,c,且

2c=2bcuaA-a,£＞在边,4。上，且8。平分若＜。=4,8=2,则下列结论正确

的是（）

A.ZABC=-B.段=2

3伙

C.△49C的面积为竺巫D.8。=生旦

77

【答案】BCD

【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形

7/18

【分析一】A利用正弦定理化简即可；B在△84。和△8CQ中利用正弦定理即可：C在△/14C

中利用余弦定理求得3c长度即可；D利用S-=5恒超+S28c即可.

【详解】对于A,由2c=2/>cosJ—q及正弦定理可得，2sinC=2sinZJ^?CcosJ-sirvi,

则2（sin/1cosZ/lBC+cosJsinZJ5C）=2sinZJ^CcosJ-siriJ,

所以2sinJcos//18C=-si必，又4c（0,兀），所以siMwO,所以2cosN/8C=-1,

解得cos/48。二一；，又因为乙480£（0,兀），所以/48C=g,故A错误；

对于B,由选项A可知，ZJ5C=y,。在边4C上，且8。平分/ABC,

所以NCBD=NDB4=L又力。=4,CD=2,

3

ABADAD

乂力。中，由正弦定理行皿/s\nZ.ABD.»

4858£/sin—

3

BCCDCD

在△8CZ）中，由正弦定理得sin/BOC-sin/CBD一。、兀，

sin—

3

ARAF）

两式左右两边分别相除可得，化简得黑=笠=2,故B正确；

BCCD

对于C,由选项B可知翟=2,设8。=.丫卜>0）,则48=2x,

在△48C中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB-BCcos/4BC,

即6?=（2x『+/_2x2x•jcosy,解得x=字，

则S&ABC=；,2x.xsin,=18f，故C正确；

iO11

对于D,由SAMCUS&JM+SMBC，得5・2x・xsinT=5・2x8£>sing+5・x8£）sin；,解得

BD三,所以8。=2、8巨=迪，故D正确.

3377

故选：BCD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（25-26高一下•辽宁铁岭・月考）已知向量3=（2,-1）1=（-1,2）高=（肛3）,若

（”+"）〃0+c）,则小=.

【答案】-4

8/18

【知识点】由向量共线（平行）求参数

【详解】因为。=（2,-l）,B=（-l,2）,c=（/n,3）,所以籍+:=（。+2,2）,：+1=（一一1,5），

又（a+c）〃伍+c）,所以5（加+2）=2（m一1）,解得土=-4.

13.（25-26高一下•广西柳州•月考）在△XBC中，角片,B,C的对边分别为。，b,c,已知

。=7,b=4,（?=^37>则△/AC的面积为.

【答案】7G

【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形

【详解】由余弦定理可得，cosC="'+"T=49+回"=」,

2ab2x7x42

因为Cc（0,7r）,所以sinC=^^,

故ZUAC的面积为,"sinC」x7x4x^=7G.

222

14.（24-25高一下•山东济宁•期中）如图，在直三棱柱力BC-44G中，石是48的三等分点

（靠近点力），。是44的中点，则三棱锥。一4的体积与三棱柱力4c-4圈G的体积之

【答案】2:9

【知识点】柱体体积的有关计算、锥体体积的有关计算

2

【分析】根据SdB\DE=S矩形4映4一一SdADE-S△EBB、,求得5加%=—»再根据三棱

一4|S|C|=；%BC.械G，由此可得答案.

锥的换底性可得％T襁

【详解】S△用DE=S矩彩曲4一一SdADE-S△阚，

石是48的三等分点（靠近点4）,。是4%的中点，

9/18

・•・=%叩,S“DS=%”蝴，骐二△被I=△“出,

又TS矩膨/3B|4=2S&AAiBi，

,s—s_lo_lo_2„_2

，•4"DE—/»Z!U44-3、4gB\一％。4伙3]'

•p=-1/=—/=—x—P=­P

.VC「DEB13yG-4AB13y…超G33ABC-A用a9ABC-•

••・三棱锥O-4GE的体积与三棱柱/8C-4AG的体积之比为2:9.

故答案为：2:9.

四、解答题：本题共5小迓，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）（2025高一上•湖北•专题练习）已知复数不z?是关于'的方程

./+川+9=0（2,”11）的两个根，且4=—i+-!-.

22

⑴求〃和q的值；

（2）记复数4/2,2在复平面内对应的点分别为4aC,已知。为坐标原点，且就=35+砺,

求复数Z.

【答案】（1）P=T，4=1；（2）z=-+—i

22

【知识点】复数的坐标表示、复数范围内方程的根、复数的向量表示

【分析】（1）由题意可知为=-4i+g也是方程/+〃"+夕=0的.个根，利用韦达定理计

算即得答案；

（2）由祝=刀+砺，得到历=2方+赤，即得Z=2Z1+Z2，代入计算即得.

【详解】⑴由复数4=3i+~!■是实系数方程/+px+q=O的•个根，

22

可知z,=-在i+L也是方程/+川+9=0的一个根，

■22

由韦达定理,可得-〃=与g+-乎i+g=1，

(61Y61113.,.

q二—1H------in—=----r=1,

222244

所以p=—l,q=l.

（2）因为刀=厉+砺，所以沅一。1=3+0公，则3=2a+砺,

10/18

则得Z=24+Z,,由（1）可得z=立i+Lz,=-且i+L

22222

_今1）（VJ.113百.

122乂22）22

16.（24-25高一下•山东•期中）如图，在直三棱柱力BC-44G中，底面是正三角形,

AB=AA[=2O,8C边上的中点为。.

（1）求四棱锥G-44切的体枳;

（2）判断的形状，并说明理由；求三棱柱月8。-481G截去三棱锥q-4。后所得几

何体的表面积.

B

【答案】（1

（2）△力G。为直角三角形，理由见解析，3逐+6+18

【知识点】求组合多面体的表面积、柱体体积的有关计算

【分析】（1）分别求得三棱柱彳8C-44G的体积和三棱锥G-48C的体积，即可得出四棱

锥G-4片"的体积；

（2）利用勾股定理求得边长，分别计算出所求几何体的各个表面的面枳可得结果.

【详解】（1）三棱柱的体积/=3（2&）二2a=4c，

三棱锥G-48c的体积为』p='X46=侦

333

所以四棱锥C.-A^BA的体积匕.=/_J_p=2/=娅.

八333

（2）△4G。为直角三角形，

理由：由题意得4D=J（2&y-1国2=瓜00='（2何+（扃=可,

11/18

4£='(2勾+(2何=4,

从而心+G>=4C；,即可得△4CQ为直角三角形，

所以S“GD=；.布•而=而，

乙

所以g(夜+2码.2&+：(2码\(2&『+今20y+*(2&『+A

=6+4+8+26+6+店=18+36+A，

因此几何体的表面积为33+而+18.

17.(15分)(2025高一上•湖北•专题练习)如图，△月8c的内角4,B,。的对边分别为

b,c,Z£?JC=135°,。为边4C上一点，且BD=2CD=2.

(1)证明：b=0sin/4DC;

(2)求；的值；

b

(3)求△XBC的面积.

9

【答案】⑴证明见解析；⑵正；(3)-

【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形

【分析】(1)由条件先求角N。。，进而在△力OC中应用正弦定理即可证明；

(2)在△48。中应用正弦定理可得c=2sinN力。4,进而结合/力。8+44。。=180川得£

D

的值;

(3)结合(2)的结果利用余弦定理可求。与〃的关系，进而利用面积公式求解即可.

【详解】(1)证明：由/MC=135。，AD1AB,得NCXO=45’.

bCD

在△力。C中，有，得

sinZJDCsinZC4D

“焉・加.4。。‘即匹女sinADC.

(2)在△44。中，AD1AB.所以。1/力。8=上=£,即c=2sinN力力8,

BD2

XZJDB+Z/1DC=18O\

12/18

于是g_2sinN4DB_yEsin(180_4>C)_3mN4DC—正即£=应

bV2sinZ.ADCsinZ.ADCsinZ.ADCb

(3)因为Q=8C=8Q+CZ)=3,NB4c=135°,7=5/2,

b

filf1^£72=h2+c2-2bccosABAC=b2+(V2Z>)：-2b-(72/))x--=5及,

z

得5y=9,即吟.

2

则stBC=-bcs\nZBAC=-b-(42b]—=-b=lx-=—.

“sc22>222510

18.(17分)(24-25高一下•广东佛山•月考)现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正

四棱锥尸-44GA，下部是正四棱柱44co-力蜴G2(如图所示)，42=6,尸&=2且正

四棱柱的高。。是正四棱锥的高P。、的4倍.

(1)求该几何体的表面积：

(2)若E,F,G分别为棱四,G。”BC的中点，求四面体B.-EFG的体积;

(3)若。,N分别是线段4%上的动点，求AQ+QN+NC、的最小值.

【答案】⑴320+32指

⑵96

(3)“29+8/

【知识点】求组合多面体的表面积、锥体体积的有关计算、组合体表面两点间的最短路径

【分析】(|)连接44,则POJ4G，求得4a=4近，得到4耳=8,且oq=8,结合

棱锥的侧面积公式和正方形的面积公式，即可求解：

(2)解法1；根据题意，得到三•棱锥与-EFK为底面边长为46，侧棱长4的正三棱锥，

13/18

解法2：作"/IC。于点，，GK_L4G于点K,结合割补法，利用棱柱和棱锥的体积公式,

即可求解；

解法3：利用体积转换法，化简七一*v=(1+。+3•腺rc+JZr&A，结合锥体的体积公式,

24oo

即可求解.

(3)将长方形488d,Z\P44和△P4G展开在一个平面，设N44P=a,求得cos/44G

的值，得到当4。,MG四点共线时，力O+0N+NG最短，结合余弦定理，即“J求解.

【详解】(1)连接4。，则Pa_L4G，因为尸4=6,p«=2,所以4«=jG—22=4&,

所以正方形中，可得44=4J5XJ5=8,

又因为。。=4尸q=8,在△45出中,4尸=6=37=6,44=8,

故四棱锥的侧面积为S尸4XgX8XV62-42=326，

又由正方体5个面的面积为S?=5x8?=320,

所以多面体的表面积为S=£+S2=320+32石.

(2)解法1：在直角△力BE中，可得8£=)46+4斤=4后,则B1E=线尸=,

又由即=J4尸+4炉="中灼2=4显,同理可得:FG=EG=4^=EF,

所以三棱锥4-EFG为底面边长为4"，侧棱长为46正三棱锥,

如图所示，过点4作底面的高，垂足为〃，

因为底面是正三角形EFG,故〃是正三角形£FG的重心，可得EH=4垃,

所以BJI=yjB^-Eff2=V80-32=4石，即三棱锥用-EFG的高为h=4g，

14/18

，B\-EFG=；B\H•SEFG=g枭耐.4人96.

解法2：如图所示，作FH上CD「点H,GK工卜点K.

则,E-FB8=^ABGH-A^KF~'G-B/F~^F-AtB,E~^E-FHG~^E-AHGB~^E-B,BG♦

1224

其/、中1右ft-切rA/UG=ZA-rFn\H,»G=VFr-HAnHOG=3_SAFr/fHCG/'AM=—3

_64128224128128

所rCh以lrz%-EFG=^rE/-FB,G=320----------------------------------7=96.

解法3：转换法，由七区『=，(匕/,^+K,SFG)=-VGA,F+-VFASG

=3，GT岛F+1(%-/<«1G+9-/&G)=5〃-S,FG+1G+g(%-阳A+，C-.4g)

=j腺「MG+lkeG+I七T路+।七=(；+；+(>%-4FG+।VC-AB^

718x8I©4°3\25664~

=-x-x8x------+-(83--x8)=-------------=96,

8328633

所以四面体B「EFG的体积为96.

(3)如图所示，将长方形力四耳,△44和△尸86展开在一个平面,

可得尸4=PB\=PC]=6,44=8£=8,

42

设立487=a,cos/4纥「=cosNPBC=cosa=-=一，

15/18

44=AA]=8,阳=8底=；,所以sina=手,

所以sin2a=2sinacosa=2x正=,cos2<z=l-2sin;of=l-2x|—|=-—

339I3J9

71t-兀3.71・八

cos=cos—+2a=cos—cos2a-sin—sin2a=一

144418

当40，MG四点共线时，AQ+QN+N孰最羯

iO1

所以4G=^AE；+々C；-2ABi.4G•cosNAB£=/29+8/,

所以4。+QN+NG的段个值为129+86.

19.(17分)(25-26高一下,湖北武汉•月考)对于平面向量％=(.",")(〃=1,2,…),定义“写

变换“：%+i=F。(4)=(x.cos6>-必3由/3m6+yA.cos<9j,(0<夕v兀)

⑴若向量4=(2,1),。=三，求生;

(2)已知。力=(』,乂)，OB=(x1,y2),且次与砺不平行，8'=分(8)，。方=初。7),

证明：@