一次函数的应用（一）学案-2025-2026学年湘教版八年级数学下册

第3章一次函数

3.3一次函数的应用(1)

►学习目标与重难点

学习目标：

I.能从实际情境中提取变量，建立一次函数模型并求出表达式。

2.会利用一次函数表达式解决实际问题，理解自变量取值范围的意义。

3.能结合函数图象分析实际问题，体会数形结合思想。

4.提升数学建模能力，感受函数在生活中的应用价值。

学习重点：

从实际情境中建立一次函数模型并解决问题。

学习难点：

准确提取实际问题中的变量关系，确定自变量取值范围。

►学习过程

一、复习回顾

回顾：1.一次函数与正比例函数的一般形式是什么？

2.有什么方法确定一次函数与正比例函数的表达式？

二、探究新知

探究：一次函数的应用

教材第112页

【思考】伸出一只手掌，把大拇指与小拇指尽量张开，测量两指指尖间的最大距离，这个距离简称为

指尖距.假设指尖距与身高具有如下关系：

指距x/cm192021

身高j/cm151160169

(I)身高y与指尖距x之间可用函数关系式刻画吗？如果可以，其表达式是怎样的？

(2)若李华的指尖距为22cm,你能估计他的身高吗？

【归纳】建立一次函数模型解决实际问题的一般步骤：

1.分析已知数据的变化规律，确定合理的函数模型；

2.设出函数表达式，利用待定系数法，代入已知数据求出函数表达式；

3.进行检验，验证其他数据是否符合求得的函数表达式；

4.应用这个函数模型解决实际问题.

三、例题探究

例1已知甲、乙两地相距40km,小徐已00骑自行车由甲地去乙地,平均车速为8km/h；小李10:00

坐公共汽车也由甲地去乙地，平均车速为40km/h.设小徐所用的时间为xh,小徐与甲地的距离为yikm,

小李离甲地的距离为”km.

⑴分别写出V，”与x之间的函数表达式；

⑵在同一个直角坐标系中，画出这两个函数的图象，并指出谁先到达乙地.

四、课堂练习

【知识技能类作业】

必做题

I.某种蜡烛燃烧的长度与燃烧时间成正比例关系.若点燃6分钟后，高度下降3.6cm,则长22czn的

此种蜡烛点燃15分钟后，剩余蜡烛的长度为()

A.11cmB.12cmC.13cmD.14cm

2.甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面207Tl高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升

10s.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度），（单位：m）与无人机上升的时间x（单位;

3.小明走楼梯回家，他所走的台阶总数机（个）是楼层的层数〃（层）（龙：2且〃为整数）的一次函

数，其部分对应值如下表所示：

层数川层2345•••

台阶总数加个427098126••・

当层数为20层时，小明走的台阶总数为（）

A.56（）个B.546个C.574个D.592个

选做题

4.某种商品的销售量y（万元）与广告投入x（万元）成一次函数关系，当投入10万元时，俏售额为1000

万元，当投入90万元时，销售额为5000万元.则投入80万元时，销售额为万元.

5.如图，将规格相同的某种盘子，整齐地摞在一起，4个这种盘子摞在一起的高度为6cm,7个这种

盘子摞在一起的高度为9cm.若设x个这种盘子摞在一起的高度为yen,则当％=15时，），的值

6.如图所示，某弹簧的长度y（on）与所挂物体的质量x（kg）的关系是•次函数，则弹簧不挂物体时的

长度是cm.

必

520x

【综合拓展类作业】

7.连平县上坪镇是中国鹰嘴蜜桃之乡,今年鹰嘴蜜桃价格大涨，农民收益颇丰，某天一农户采收A

级、B级鹰嘴蜜桃共300斤，A级鹰嘴蜜桃售价每斤12元，B级鹰嘴蜜桃售价每斤8元.

（1）求该农户全部售出这度鹰嘴蜜桃的收入（元）与采收的A级鹰嘴蜜桃数量x（斤）之间的

函数关系式；

（2）若当天全部售出这些鹿嘴蜜桃的总收入为2920元，求售出的A级鹰嘴蜜桃的数量.

五、课堂小结

这节课你收获了什么，在运用过程中须注意什么?

六、作业布置

1.如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于4B两点,P是线段48上任意一点（不包括端点），

过P点分别作PD_Lx轴，PC_Ly轴，垂足分别为D,C,则四边形PDOC的周长是（）

6四C.10D.6

2.如图表示的是甲、乙两船沿相同路线从A港出发到B港的行驶过程中，路程），（km）随时间1

（h）变化的图象，则乙船出发多长时间赶上甲船（）

C.2.5hD.3.5h

3.某公司生产了A,B两款新能源电动汽车.如图，I〉G分别表示A款，B款新能源电动汽车充满

电后电池的剩余电量y(kw-h)与汽车行驶路程x(km)的关系.当两款新能源电动汽车的行驶路程都

是250km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多.

4.48两地相距80km,甲、乙两人沿同一条路从A地到8地，匕,"分别表示甲、乙两人离开4地的距

离s(km)与时间£(h)之间的关系.

(2)几小时后，甲乙两人相距10km?

答案解析

课堂练习：

I.【答案】C

【解析】解：设蜡烛燃烧的长发y(cm)与燃烧时间£(min)之间的正比例关系为y=Zt(Z为常数，且

kH0),

把(6,3.6)代入关系式,得6k=3.6,

解得：k=0.6,

••.y与t之间的函数关系式为：y=0.6t,

・••当t=15时，有y=0.6x15=9,

A22-9=13,

・•・剩余蜡烛的长度为13cm,

故答案为：C.

2.【答案】C

【解析】由图可得，

甲无人机的速度为40+5=8m/s

乙无人机的速度为(40-20)-5=4m/s,

:.x=10时，甲无人机所在的，'立置距离地面的高度为8xl0=80米m,

乙无人机所在的位置距离地面的高度20+4X10=60m.

・・・10s时，两架无人机的高度差为80-60=20m,

故选：C.

3.【答案】B

【解析】解：设一次函数表达式为m=kn+b.将(2,42),(3,70)代入得您兽二篇解得

(3k+0=7U,

=2?；所以m=28n-14•当n=20时，m=28x20-14=546.

S=-14,

故选B.

4.【答案】4500

【解析】解：设y与x的关系式为：y=kx+b,

当x=10时，y=1000：当x=90时，y=5000,

15,T死丽I侍俎「Ok+b"=510000°0'解看%［k==55000'

工一次函数表达式为：y=5Ox+5OO,

当x=50时,得y=4500.

故答案为：4500.

5.【答案】17

【解析】解：设x与y的关系式为y=kx+b

由题意得:仁=靠：？

解得：

，x与y的关系式为：y=x+2,

当％=15时，y=15+2=17

故答案为：17.

6.【答案】9

【解析】解：由题意得，设函数关系式为、=kx+b,

把(5,12),(20,21)代入得：｛蒸嗝工；,

(-l

解得“k-5,

.6=9

•••弹簧的长度y(cm)与所挂物体的质量M的)的关系是y="+9,

当x=0时，y=4-9

3

--x0+9

J

=9,

，弹簧不挂物体时的长度是9si；

故答案为：9.

7.【答案】(1)解：依题意，得y=12%+8(300-x),即y=4%+2400：

(2)解：当y=2920时，可得4%+2400=2920

解得x=130.

答；若收入2920元时，则售出的A级鹰嘴蜜桃130斤.

作业布置：

1.【答案】A

【解析】解：设一次函数解析式为y=kx+b,由图象可知一次函数图象过(0,6),(6,0),代入得:

(6k+b=0

・•・一次函数的解析式为y=-%+6,

设点P(m,n)(m>0,?i>0),

由解析式可知：m+n=6,

四边形POOC的周长是2(m+九)=2x6=12,

故选：A.

2.【答案】B

【解析】解：设y甲=10(,将(8,160)代入得160=8k,解得k=20,所以y华二20%(0WxW8).设

y^=ax+b„将Q,0),(6,160)代入得文:女解得｛所以V乙=40%-

80(2WxW6).联立得，解得片:*所以乙船出发4-2=2(h)赶上甲船.故选B.

iy=—ou,(y=ou,

3.【答案】10

【解析】解；设，i图象的函数关系式为力=ax+b,

・••。图象的函数关系式为％=80-0.16%,

设，2图象的函数关系式为%=mx+n,

根据题意得:b=80

200a4-b=40

a

解得:=-2

b=80

L图象的函数关系式为