第四章 因式分解 单元测试卷-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

第四章因式分解单元测试卷

用时：120分钟总分:12（）分得分:

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

I.下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）.

A.a1c-a2b-4=a2(c-Z))-4B.a(x+y)=ax+ay

C.(x+3y)(x-3y)=F-9p2D.9a2+6ab+b2=(3a+b')2

2.多项式-4，/+1242/_843力，的公因式是()

A.Sb2。B.-a2b2C.-4a2h1D.-4a3b2c

3.小颖利用两种不同的方法计算下面图形的面积,并据此写出了一个因式分解的等式：〃2+3浦+2川二（).

A.(a+b)(a+b)

B.(a+2b)(a+b)

C.(a-2b)(a+b)

D.(a+2b)(a-b)

4.（2025.山东青岛期末）下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（）.

A.1+9B.X2-6X+9C.4^-25D.X2+4X+4

5.（2024.石家庄长安区一模）整式.4=丫-1,8=/-工,下歹1」结论：

结论一:Ax=B.

结论二：A,B的公因式为x.

下列判断正确的是（）.

A.结论一正确，结论二不正确B.结论一不正确，结论二正确

C.结论一、结论二都正确D.结论一、结论二都不正确

6.如果a,b,c是三角形的三边长，那么代数式。2_2帅-/+房的值是（）

A.正数B.负数C.非正数D.非负数

7多项式/-。二-6分解因式为（x+m）（x+n）,其中a,m.n为整数，则a的取值有（）.

A.2个B.3个C.4个D.无数个

8.（2025.河北唐山三十九中月考）若一个数等于两个连续奇数的平方差，我们把这样的数称为“和数”.例如，因为

16=52-32,所以16是,和数】结论I:2024是，和数”,2025不是，和数”;结论II:所有能被4整除的正数都是，,和数二对于结

论I和II,下列判断正确的是（）.

A.I和II都对B.I和II都不对C.I对II不对D.I不对II对

9.（2025•江苏苏州中学伟长班期中）若整数.1*满足外+yz+zr=l,则（1+.产）（1+/）（1+/）可能取到的值为（）.

A.16900B.17900C.18900D.以上结论者坏对

10.（2025•四川乐山市中区期末）已知△ABC的三边长”,4c满足条件：/-小石1/-42c2=0、那么△ABC的形状

为（）.

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形

二填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

11把多项式-16小+40心提出一个公因式—8F后,另一个因式是________.

12.（2025・甘肃中考）因式分解；M-6/9-.

13.已知m,n同时满足m+2n=5与m-2n=-1,则小一加的值是___.

14.（2025•兰州中考）因式分解：2.f+4x+2=.

15.（2025•江苏无锡江阴月考）已知实数x满足+田.［=o,则A2024+V3+V=.

16（2025・重庆八中期末）设a,b,c是一个三角形的三边长则—--2%0（填'W或』"）.

17.（2025.山东枣庄滕小卜［月考）已知［a+b）（a+b-6）+9=0,且『区一4〃%44=0,贝！Ja-b=.

18如果加2=〃+2025,〃2=加+2025（而初）那么代数式〃p-2〃〃7+〃3的值为.

三、解答题（本大题共8小题，共66分）

19（8分）因式分解：

（\）a3b+2a2b-（2）^Z>2-4«;

(3)(『+/)2-4.电2；(4)(x-3)(x-5)+l.

20（6分）中考新考法过程纠错改错阅读下列解题过程，回答问题.

因式分解：；f+3x—8.

解：原式=x2+6x-I6J

=?+6^+9-9-163

=0+3）2—52□

=（x+8）（x-2）.@

⑴此因式分解的过程_______（填“正确''或"不正确”）.

（2诺不正确，是从第步开始出现错误的.

（3写出正确的因式分解的过程.

21（6分）（2025•河北秦皇岛卢龙期末）（I）实验与观察：

当x=-5时，代数式r2-2丫+21；

当x=l时，代数式X2-2A-+2I.（用”或y’填空）

⑵归纳与证明：换几个数再试试，你发现了什么?请写出来并证明它是正确的.

（3）拓展与应用：求代数式。2+62-6〃-泌+30的最小值.

22.（8分）（2025•河北邯郸期末）阅读材料,解决问题：

［材料11教材中这样写道：“我们把多项式。2+2”什从及。2一2附+/叫作完全平方式”，如果关于某一字母的二次

多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使

整个式子的值不变，这种方法叫作配方法.例如：分解因式『+2厂3.

原式=f+2厂3=k2+2》+l-I-3=(x-1)2-4=(X+1+2)(x+1-2)=(A+3)(X-1).

［材料2］因式分解：(x+j，)2+2(x+y)+1.

解：把x+y看成一个整体，令x+y=A,则原式=/+24+1=(4+1)2,再将A=x+y重新代入，得原式=(A+JH-1)2.

上述解题用到的••整体思想”是数学解题中常见的思想方法.请你解答下列问题：

(1根据材料1,利用配方法进行因式分解：F—6x+8;

(2根据材料2,利用'、整体思想”进行因式分解：(x-y)2-4(x-)，)+4;

⑶当。，4c分别为△ABC的三边，且满足a2+b2+c2-4a~6b~4c+17=0B^,判断口48cM形状并说明理由.

23.(8分)如图所示.A,B,C三点在一条直线上，设AB=a,BC=b,AC=c,求多项式2a(a+b-c)+3b(c-a-b)+5c(c-a-b)的值.

ABC

（第23题）

24.（8a=20252025x999,b=20242024xl000,,SttS?a与b的大小关系.

25.(10分)阅读下面材料，并解决,可题.

因式分解：(x+4+2(x+y)+1.

解：将“x+y”看成整体，令x+y=B.

原式=*+28+1=5+1)2.

再将“B”还原，原式=Cr+y+l)2.

上述解题过程用到的是“整体思想、整体思想是数学解题中常用的一种思想方法.

⑴因式分解：a2-4ab+4b2-9;

(2成说明：若n为正整数,则式子(〃2-〃)(〃2_〃+2)+|的值一定是某个整数的平方.

26.(12分)(2025•河北石家庄四十八中月考)八年级兴趣小组活动E寸，老师提出了如下问题：将2a-3ab-4+6b因式

分解.

［观察I经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：

解:去一：原式：=(2a-3ab)-(4-6b)=a(2-3b)-2(2-3b)=(2-3b)(a-2);

解法二：原式：=(2a-4)-(3ab-6b)=2(a-2)-3b(a-2)=(a-2)(2-3b).

I感悟I对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公

式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法.分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中

起着重要的作用.(温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止)

［类比］(1)请用分组分解法将M+X+Q因式分解；

［挑战1(2)请用分组分解法将姓+02-2必-公+/因式分解；

［应用1(3)已知口力灰的三边长a,b,c都是正整数，满足2a2+”-4“-8什18=0.求□力灰、的周长.

1.D2,C

3.B［解析］根据题图可得大长方形是由2个边长为b的正方形，3个长为b、宽为a的长方形和1个边长为a

的正方形组成，

，大长方形的面积为a12+*43ab+2b:,

另外大长方形可以看成是一个长为(a+2b)、宽为(a+b)的长方形，

，大长方形的面积为(a+2b)(a+b),

•••可以得到一个因式分解的等式为q2+3M+2/)2=(4+2b)(a+b),故B正确.故选B.

4.C［解析］『+9不能在实数范围内因式分解，则A不符合题意,

『-6什9=(厂3)2,则B不符合题意，

4.F-25=(2X+5)(ZL5),则C符合遂意，

/+4x+4=(x+2)2,则D不符合题意.故选C.

1

5.A［解析］B=x-x=x(x-\)i

则A・x=B,A,B的公因式是x-1,

那么结论一正确，结论二不正确.故选A.

6.B［解析］a2-2ab-c2+b2=a2-2ab+b2-c2=(a-/))2-c2=(t/+c-/?).

•・・a,b,c是三角形的三边长，

：i+e-h>0,a-(h+c)<0,

—2"—,即aZ-Za/j-d+Z?2的1负数.故选B.

7.C|解析|*/-6=-1x6=1x(-6)=-2x3=2x(-3),:.-a=-1+6=5或-a=1+(-6)=-5或-a=-2+3=1或-a=2+(-3)=-1,

:.a=5或-5或1或・1,

即a的取值有4个.故选C.

8.C

9.A

10D［解析卜□/—d+Z^—a2c2=o,

(a2-/?2)(a2+/72-c2)=0,

匚。2一82=0或q2+力2-3=0,

匚°2=/或〃2+反=»,

Aa=b或片+庐泊或a=b且Ad*,即△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形或等腰亘角三角形.故选

112x-5y

12.G-3)2［解析］6x+9=(x-3)2.

13.-5［解析］m+2n=5与m-2n=-l,

:.rn2-4n2=(m+2n)(m-2n)=5x(-1)=-5.

14.2(x+l)2［解析］原式=2(f+2x+l)=2a+1)2.

3

15.-1［解析］□x+f+x+l=0,

根据V+M+X+IR可化为

/（x+i）+a+i）=o,可得

,r(A+l)=-(x+l)

x2(x+l)=-(x+l),

当x=-1时，显然成立；

当Xr-l时,则工2=-1,没有意义.

:.K=-l,

工2。24+3+-(一］)2024+(_|］

16.v［解析］由题知,a2-/?2—c2—2dc=a2-(ZH-c)2=(a+b+c)(a-b-c).

因为a,b,c是一个三角形的三边长，

所以a+b+c>0,a-b-c<9,

判断与三角形三边有关的式子时，要利用''三角形任意两边之和大于第三边“或''三角形任意两边之差小于第三边”

&P(a+b+c)(a-b-c)<0,

故a2-b2-c2-2bc<0.

17+1［解析］对(a+b)(a+b-6)+9=0变形，

将a+b看作一个整体

得(。+/))2-2、3(。+6)+32=0,

由完全平方公式，得(。+6-3)2=0,解得a+b=3,

对加4=0变形，得(ab)2-2x2ab+22=0,

由完全平方公式，得("-2)2=0.解得ab=2,

匚(4一人)2=(4+6)2—4QZ)=32-4x2=1.

:.a-b=±l.

18-2025［解析〃尸=〃+2025,〃2=〃?+2025(〃俳«),Dw2-w2=/i-w„BP(m+n)(m-n)=n-m.

［1

口2"=〃+2025,〃2=加+2025,

/-〃=2025〃一m=2025,

.••原式:="?(〃?2--〃7)=2025〃?+2025〃=2025(m+n)=-2025.

19.(1)々%+2々26-4%(4+2).

3222

(l')ab-4a=a(<ab-4)=a(ab+2')(ab-2).

(3)(记+/)2-4//

=(X2+K+2A>')(x2+y2-2xy')

=O)，)2(x-y)2.

(4)(x-3)(X-5)+l

=/-8x+16

=(X-4)2.

20(1)不正确

(2)©

(3)原式=；(/+6工-16)=；(『+&+9-9-16)=；［(x+3)2-52］=g(x+3-5)(x+3+5)=；O2)(x+8).

2i.(l)>=［解析肥x=-5代入f-2x+2中,得25+10+2=37";

把x=l代入..p-Zx+Z中得1-2+2=1.

⑵当x=()时代数式.『一2什2>1;:当x=-l时代数式『-2什2>1.发现对干任何实数都有记-2什2>1.证明如下：

CX2-2X+2=X2-2X+1+1=(x-l)2+1.

且x为任何实数时，(x-l)2>0,

r(x-i)2+i>i,EP^-2¥+2>1.

⑶片+川一6。-8>30=(。-3)2+3-4)2+5.

匚(a-3)2对,(b—4)2大，

□(67-3)2+(/;-4)2+5>5,

・•・代数式砂+/-6a-8什30的最小值是5.

22.(1)X2-6X+8

=/一6x+9-9+8

=(X-3)2-1

=(x-3+l)(x-3-l)

=(x-2)(x-4).

⑵设A=x-y,

(x-y)2-4(x-y)+4

=A2-4A+4=(A-2)2,

匚G-y)2-4(x-y)+4=(x-厂2>.

(3)AABC是等腰三角形.理由如下：

a2+b2+c2-4a-6b-4c+17=0,

。2-4。+4+力2-6>9+，2-4什4=。，

(a-2)2+(Z>-3)2+(c-2)2=0,

:.a-2=0,b-3=0,c-2=0,解得a=2,b=3,c=2,

・•・a=c,JAABC是等腰三角形.

23.2a(a+b-c)+3b(c-a-b)+5c(c-a-b)=2a(a+b-c)-3b(a+b-c)-5c(a+b-c)=(a+b-c)(2a-3b-5c).

VA,B,C三点在一条直线上，且AB=a,BC=b,AC=c,.\a+b=c，即a+b-c=O.

当a+b-c=0时，原式=0(2a・3b-5c)=0.

24Va=20252025x999=2025x999x10001

=(2024+1)(1000-1)x10001

=2024x1000x10(M)l-2024x10001+1000x10001-