2026高考数学复习（湘教版）培优课7 三角形中的高线、中线、角平分线

培优课7三角形中的高线、中线、角平分线

题型一三角形中的高线问题

典例。(2023•新高考/卷)已知在△力8C中，ZJ+ZB=3ZC,2sin(J-Q=sinB.

⑴求sin/；

⑵设初=5,求48边上的高.

解：(1)在中，NA+NB=it-NC,因为N/+N8=3NC,

所以3NC=TI-NC,所以NC三.因为2sin(4—Q=sin8,所以2sin(4—=sin^y

一4),

展开并整理得虫(sinA-cos4)=?(cos4+sinA),得sin』二3cos4,

又sin?4+cos2Z=1,且sin4>0,所以sin4

(2)由正弦定理三小，得8cq.sin陪3遍.

s\nAs\nCs\nC卫10

2

由余弦定理AB^AC^+BC2-2/CBCcosC,得52=AC1+(3\[S^一2/C3遍cos；,

2

整理得AC-3A/10/1C-20=0,解得或/1C=2VTO.

由(1)得，tan4=3＞技所以又4+N8=?,所以

3244

即NCv/B,

所以AB〈AC,所以4C=2依.设AB边上的高为h,贝岭/B/7=1・"BCsinC,

BP5A=2VWX3A/5xy,解得力=6,所以48边上的高为6.

・规律方法・

1.设小，如，/23分别为的边4,b,C上的高，则历；历,723=1；”［二

abcsin4

1.1

sinBsinC,

2.求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边的长度.

高线的两个作用：⑴产生直角三角形.(2)与三角形的面积相关.

对点练1.(2024・湖北武汉高三四调)设A48C的内角4B,C所对的边分别为。,

b,c,且有2s目+

⑴求角力；

⑵若3c边上的高人=7〃，求cos8cosc

4

解：⑴由题意得2而,+£)=则鬻£

则(VSsinB+cos8)sinJ=sinB+sinAcos8+sinBcosA>

有VSsinA=1+cos4,

因为N力£(0,兀)，所以N4=^.

•J

(2)由S^iffc=^ah=1z?csinA,贝！］弓/=乎6。,

所以*=2bc,

有sin2i4=2sinBsinC,则sinBsinC=^,

8

又cos4=—cos(F+C)=sin3sinC—cosBcosC=\,则cos8cosC=

2o

学生用书l第120页

题型二三角形中的中线问题

典例日(2023・新高考n卷)记△"C的内角Z,B,C的对边分别为,6,c,已知

面积为百，。为4c的中点，且/。=1.

(1)若/力。。W，求tan3；

(2)若〃+°2=8,求力，c

解:⑴因为在AJ8C中，。为8c的中点，ZADC=^,AD=1,所以S'DcW/QQCsin

ZADC-xlx-ax-^a,

因为△48C的面积为人所以%=今，解得。=4,

O乙

因为在AJ/?。中，/4f)7?=g,

由余弦定理得^BD-^AD2—28£MOcos/ADB,

BP^=4+1-2x2x1x(-i)=7,解彳导c=V7,

所以8s5福会，

sinB=J1-COS2B=J一(答)2T，

所以tan83Mg

cosB5

(2)在与△力CD中，由余弦定理得

2

c=[次+1—2xx1xCOS(TT—Zi4DC),

2

{b=]Q2+i—2x|ax1xcosZ-ADCr

整理得#+2=/>2+C2,而炉+/=8,贝(]〃=2V5,

由SA.IDC=1XV3x1xsin/ADC=*

解得sinZADC=\f

而0</4。。<兀，于是N4OC=*

所以b=c=y/AD2+CD2=2.

・规律方法・

与三角形中线有关的解题策略

1.中线长定理：在△/8C中，4。是边8C上的中线，则482+4。=2(3。2+4。2)

推导过程：在中，cos8=吟瞿*，在&彷。中，cos3=*5/,

联立得AB2+AC2=2(BD2+AD2).

2.向量法：AD2=^b2+c2+2bccosA).

推导过程：由而4方+前)，得而2=3荏+元)2=1.彳§2+_].尼2+号福।福.MS4

24442

所以而2=3/)2+，+2力戊0$A).

对点练2.(2025•河北石家庄模拟)在414。中，角4,B,。的对边分别为。，b,

c,且(sin4—V5sinB)n=(c—b)(sinC+sinB).

⑴求角。的大小；

⑵若边。=2,边48的中点为。，求中线CO长的最大值.

解：(1)因为因n4—V5sinB)a=(c—b)(sinC+sinB),

由正弦定理可得(a—gb)〃=(c—b)(c+b),则—75"=/—b2,

即a2^b2—c2=y/3ab,由余弦定理可得cos。=二器邛，

"+；2ab-"2ab2

因为NC£(0,n),所以NC/.

⑵因为。为⑷？的中点，所以而=1(且+而)，

贝!|而2=|用+CB)2=LCA2+^CACB+|CB2=i(a2+y/3ab+⑹,

又由余弦定理得，/=庐+方2—2R?COSC,

BP4=«2+/?2—\/3ab,所以CD2=^-(4+26ab)=1+当ab.

由4=a2+b2—\f3ab得，4+y/3ab=a2^b22ab»

则MW4(2+⑹，当且仅当a=b=2h+百取等号,

A2

即C02WI+/X4(2+百)=1+2H(2+V3)=7+4^=(V3+2),

所以CD&W+2,即中线CD长的最大值为百十2.

学生用书I第121页

题型三三角形中的角平分线问题

典例§在A4BC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asin4=bsin(4+g).

(1)求角力的大小;

⑵若48=3,AC=\,。的平分线交8C于点。，求4。的长.

解：(1)因为asin8=bsin(A+§,由正弦定理得sin/sin8=sinBsin(4+g).

因为sinBWO，所以sin/=sin(4+》

所以sinA=1sinA+ycosA-,

即;sinA=^ycosA,所以tanA=V3.

因为乙4£(0,兀)，所以/月与

•J

(2)法一：因为S△”C=SAJBD十SAJ℃

所以75dCsinNB%C=Y5/Z>sinNB%D+9o/CsinNQ/C,

乙乙乙

所以：x3xlxsin*：x3><4Z)xsin；+=x4Oxl所通所以4。=学.

2326264

法二：在418。中，由余弦定理得84c

=32+12—2x3x1xcos?=7»所以8C=夕.

在“8。中，由正弦定理得一察二/施，

sinzfi/lDsinz/lDS

在A4OC中，由正弦定理得湍7=4.

s\nz.DACs\nZ.ADC

因为sinZBAD=s\nZDAC,s\nZADB=sinZADC,

所以霁哼号所以女哼

在ZUOC中，由余弦定理得。3=4）2+4c2—24O/C.COSNZX4C,设/Z）=X,则

看=f+1—2x~,即W一岳q=0,解得尸手或.

在△45C中，由余弦定理得cosC弋一品<0,所以/C是钝角，则在△,4OC

中，AD>AC,所以手.

4

法三：在418。中，由正弦定理得一^=刁而，在△4QC中，由正弦定理得

S\n/.BADsinZ.ADB

DC_AC

sin^.DACsin£ADC'

因为smZBAD=smZDACfsinZADB=sinZADC^

所以整专4=AB+BD=AB+7BC=AB+W一确=：而+泳，

DCAC14444

2

所以而［2=庄后+（万）=河函2此|福2号超前=^X9+^X14X3X1X1=H,

所以/。丹.

・规律方法・

与三角形角平分线有关的解题策略

在△4BC中，4。平分N3/C,角力，B,C所对的边分别为。，b,c.

1.利用角度的倍数关系：ZBAC=2ZBAD=2ZCAD.

2.内角平分线定理：竿噜.

ACDC

3.等面积法：因为SZU3D+SAJCD=SAJBC，所以上4。$其+夕•力Osin^Scsin力，所以

（b+c）AD=2bccos^整理得力。=答4角平分线长公式）.

2b+c

对点练3.（2025・广东佛山模拟）记锐角△/IBC的内角4,B,。的对边分别为①b,

c,已知sin*2C+sin2B-sin2J=sin8sinC.

⑴求//；

（2）已知/A的角平分线交BC于点D,求器的取值范围.

C1/

解：（1）因为sin2C+sin2^—sin2/l=sin5sinC,

所以cos4-*；J。.又N]£（0,TI）,所以N/=g.

因为_竺_c_sinC_sin得T）_sin条os8-cos^sinB0]

'S^ACD^ACADsin^CAD何bsinBs\nBsinB2tanB2'

因为△/BC为锐角三角形，

0<ZB<\

所以2解传＜N8吟

0<--ZBoz

3<r

所以tanB＞g,

所以:＜品耳＜2,

22tanB2

即詈的取值范围为&2）.

对应学生

课时测评37三角形中的高线、中线、角平分线

用书P383

（时间:60分钟满分：100分）

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订!）

◎基础排查练（1-4,每小题5分，共20分）

1.在△XBC中，角/,B,C所对的边分别为a,b,c,角力的平分线交8c于点

D,若asin/=6sinB+（c-/＞）sinC,S.AD=y/3tb=3c,则a的值为（）

A.-B.—

23

C.3D.22V2

答案：B

解析：由asinN=6sinB+(c—/?)sinC及正弦定理得a2=h2+(cf)c.由余弦定理得

cos所以由三角形内角平分线定理得冬中W，所以

2bc23DCAC3

AD^-AB+-AC,两边平方得标|2邛超+工前/=2屈荏.前+工前2,即

44144I16816

(8)2=#+小吟+春(3c)2,解得c=p则由余弦定理得a2=b2+c2—2Z?ccos

%=如十GY—2x4x99乎，所以折殍.故选B.

2.(2024•江苏南通诊断测试)在ZU8。中，已知N4=60。，BC=2,。为8C的中点,

则线段力。长度的最大值为()

A.1B.V2

C.V3D.2

答案：C

解析：设△48C的内角4B,C的对边分别为〃，b,c,由余弦定理得/=^+《2

—2/>ccos&=〃+/—be,BP4=Z>2+c2~bc>所以4=〃+/—bc^bc,当且仅当b=c

时，等号成立.因为标=|函+禧)，所以而2=：(而2+律+2而•祠=第2+

b2+2cbm中按+/+姐*+儿+儿)忌4+8)=3,所以I而区75.故选C.

3.(2023•全国甲卷)在AYC中，N84C-60。，/8-2,BC-瓜N8/C的角平分

线交8c于。，则.

答案：2

解析：如图所示：记48=c,AC=b,BC=a,

法一:由余弦定理可得，22+/>2—2x2X/)xcos60°=6,因为Z?>0,解得b=l+V5,

由S”BC=SAABD+S》CD可得,

r2xZ，Xsin60Sx2x^Xsin30。+畀力。xHsin30%+h<n_y3b_2V3(l+V3)

取”一记一―量一=2

法二：由余弦定理可得，22+b2-2X2XZJXCOS60°=6,因为b>0,解得6=1+乃,

由正弦定理可得,磊=吃白，解得sinB也手,sin因为1+后>&>2,

sin60sin/?sine42

所以NC=45。，Z5=180°-60°-45°=75°,又/5力。=30。，所以N力。3=75。，即

AD=AB=2.

4.（2024诃南洛阳模拟）如图，在A48C中，BC7AC,ZBAC=\点D与点B

分别在直线力。的两侧，B.AD=DC=1,则8。的最大值是.

答案:2+V3

解析：在△力3c中，设/C=x,则8C=V14C=V5X,由N34CW及正弦定理得

即告7=韦7,解得sin43cM.因为N45c<0,巧，所

sinz.ABCsmz.fi/ICsinzZBCs\nz.BAC2\3/

以N/BC吟则在△4C。中，设4DC=0,则由余弦定理可得

6Z

A€?=AD2+CD2—2ADCDcos0,BPx2=2—2cos0,由正弦定理可得.":"八=々,

S\X\LACDsin。

所以xsin4CQ=sin夕在△8CQ中，由余弦定理可得BABgCD1-28CCDCOS

/BCD,即8。2=3/+1—2岳cosC+NAC。）=3x2+l+2V3xsinZ

ACD=3X2+1+2V3sin0=3（2—2cos0+l+2V3sine=4VJsin（。一§+7W4>/^+7,当

，三+弓=小寸，8。取得最大值，最大值为2+V5.

Z3o

5.（12分）（2024・江西上饶一模）在△48C中，内角人B,C所对边的长分别为a,

b,c9且满足Q+C="V5sin4+cos4）.

⑴求/氏（5分）

⑵若43,且AJ8C的面积为百，8。是△48C的中线，求的长0分）

解：（1）因为o+c=/>（V5sin4+cos力），

由正弦定理可得sin力+sinC=sin8（V5sin4+cosA）,

艮|Jsin4+sin（4+8）=sin3（V5sin4+cos4）,

即sin力+sinAcosB=V3sin力sinB,

又因为sin4>0,所以再sinB—cos8=1,

所以sin(B—JW.

又因为N4£(0,兀)，所以/8—已£(—^

所以N3—就，所以甘

663

(2)因为必谢=后所以然sinB=V5得ac=4f

由余弦定理得：a2+c2=b2+2accos8=13.

又丽斗曲+就)，所以由方|20(瓦5+近)2=/02+〃2+2QCCOSB)=g

得|丽尸产，故8。的长为日.

6.(12分)(2024•安徽淮南模拟)已知△N8C的内角小B,。所对的边分别为a,b,

c，面积为2百，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件(若两

个都选，以第一个评分).

(1)求角力的大小；(5分)

(2)求BC边的中线AD长的最小值.(7分)

条件①：(。­/))(sinJ+sinB)=(c—b)sin(4+8)；

条件②：V3(b2+c2—a2>)=2acsinB.

解：(1)选条件①：(a—^)(sinJ+sinB)=(c—Z?)sin(zl+5),

因为△力BC中N4+NB=7T-NC,

所以(a-Z>)(sinJ+sinB)=(c~b)s\nC,

由正弦定理可得(a—8)(a+3=(c—b)c,

即h2+c2~a2=hc,cosA」+：。=1,

2bc2

又N/£(0,兀)，所以

选条件②：V3(b2+c2—a2)=2acsinB,

由余弦定理可得2y/3bccosA=2acsinB,

即V5/)cos4=〃sinB,

由正弦定理可得V5sinSeosJ=sin/sinB,

因为N8£(0,7i),所以sin8r0,

所以\/5cos4=sin/,即tanZ=V5,

又N/e(O,兀),所以

⑵由⑴知，N44的面积为28，

所以fcsing=2V5,解得儿=8,

由平面向量可知而W(AB+AC),

所以而2三(荏+北『

=^(AB2+AC2+2ABAC)

=1(力2++2bccos^|

W(b2+c2+be)2：(2bc+be)=；6c=6,

当且仅当8=c=2企时取等号，故BC边的中线AD的最小值为伤.

7.(12分)已知△月BC的内角力，B,C的对边分别为mb,c,且△/BC的面积为

双々2+房」2)

4.

⑴求角C的大小；(5分)

(2)如图，若/C4B、,角。的平分线CE与边力8相交于点£延长CE至点力,

使得CE=OE,求cos//。？的值(7分)

解：⑴由题可知S^BC=\absmC-呵a—,所以国(小+b2-c2>)=2abs'\nC.

由余弦定理cr-^-b2-c2=2abcosC,可知sinC=V3cosC,可得tanC=V3.

因为NC£(0,兀)，所以/。3.

(2)不妨令ZC=3,因为NC=^,所以48=36，8c=6.又CE为4c8的平分线,

所以BE=CE=2®得DE=2后

所以在△/CD中，由余弦定理可得AD2=CA2+CD2-2CAxCDxcosg=21,即

6

AD=\[2l.

在4BDE中,因为ED=BE=26,/BED唉

所以△8DE为等边三角形，所以8。=2遍.

在中，由余弦定理可得力82=4。+8。2—2/0x8。xcosNZOB,贝！]cosN

4DB专

薮综合运用练

8.（14分）（2024•河北邯郸模拟）记△力BC的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,

已知八奶。的面积为5=%次+加一°2）,°=2百.

⑴若〃三，求。；（6分）

（2）。为43上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段CD的

最大值.

条件①：8为NC的平分线；条件②：。为边力3上的中线.（8分）

注：若选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.

解：⑴因为S好（层+扶一。2）,

由余弦定理可得a~+b2—c2=2ahcosC,

所以S=^-2abcosC,

4

由三角形的面积公式可得S=^absinC,

所以?gMcos(?=4弧由C,

42

所以tanC=V5,又NC£(0,兀)，故/。=弓.

由正弦定理得，

s\nAsine

且sin4=sin(8+C)=sinQ+=sin^cos^+cos^sin^~v2^6

所以送逅专故有〃=遍+夜.

~4~~

（2）选择条件①:

在△JBC中，由余弦定理—C2=2"COSC,得a2+b2-12=ab,

即（a+b）2=12+3"W12+3（等了，故（）＜〃+力/46，当且仅当〃=8=2百时，等

号成立，

又因为SMO4+S"O8=SAJ8C，

所以。有=$加＞+b）-舟第（46-罚=3,

故CD的最大值为3.

选择条件②：

由题知2而=刀+而，平方得4|而|2=m2+而2+2刀.萍〃+标+24桃05

C=a2+b2-^-ab,在△RBC中，由余弦定理得足+分-12=",

即（a+b）2=12+3"W12+3”）,

所以S+b）2W48,当且仅当。=%=2百时，等号成立，

故有4\CD\2=a2+b2^-ab=（a+b）2~ab=（a+b）2——=|（cz+b）2+4W36,

从而0V|CD|W3,故CO的最大值为3.

9.（14分）（2024•湖北高三摸底）在平面四边形/8CZ）中，对角线4c与8。交于点

E,ZABD=45°,AE=EC,DE=2BE,AB=6,AD=3＞/2.

（1）求4c的长；（6分）

⑵求sinN/QC的值.（8分）

解：（1）在中，由余弦定理，得AD2=4B2+B。-2ABBDcosN4BD,

2

所以18=36+8》_2x6XBDXCOS45°,化简得BD-6V2BD+18=0,解得BD=3五,

所以止6,

所以8。2+4。2=力中，则N/OB=90。.

又DE=2BE,贝!］。£=2鱼，

22

所以彳g=。炉+402=（2&）+（3V2）=26,

贝！又AE=EC,所以4c=2岳.

(2)由/4。8=90。，J£=V26,DE=2\FL/。=3夜,

DE_2y/2AD3V2

得sinZEAD=,cosZEAD=

AE~\/26

在△JCO中，由余弦定理，得002=4)2+4^—2.4Q/CcosNE4O=50,则

CZ)=5V2.

在gc。中，由正弦定理，得

sinz/lDCsinZ.EAD

2国X4

=

则sinN/OC=55-

V2

(&创新拓展练

10.(16分)(2024•河北邯郸二模)已知条件：