2025-2026学年北京某中学九年级（上）月考数学试卷（1月份）含答案

2025-2026学年北京十一晋元中学九年级（上）月考数学试卷（1月份）

一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）

2.抛物线尸-2婷+叙+3的顶点坐标是（）

A.(2,1)C.(・2,5)

3.用配方法解一元二次方程3=0时，将它化为（/〃?）2=〃的形式，贝IJ加+〃的值为（）

A.-6C.0D.3

4.如图，在。。中，力8为直径，C,。为圆上的点，若488=54°,则NCB/1

的大小为（）

5.如图，力尸、4。分别与相切于8、。两点，点。在。。上，连接8。、CD.

B

若乙1=60°,乙PBD=75°,CD=4,则。。的半径为（）/

C.3

D.4

6.如图，小明在综合实践活动课上用纸板制作了一个底面半径为3,高C管为4

的圆锥形漏斗模型，则这个圆锥形漏斗的侧面积是（）

A.1271C.24兀D.15兀

7.已知二次函数尸4（X-1）2/QW0）,当-1WXW4时，y的最小值为-4,则。的值为（）

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A.5或48/或・"C.y或4D..,或4

•54/

8.已知二次函数尸加+笈+c(4力,c为常数，。#0,C>1)的图象与x轴的一个交点坐标为(-2,0),对称

轴为直线.有下列结论：①e6+c>0；②若点(-3,yi),(2,v)，(6,冲)均在该二次函数图象上,

则？|〈歹3〈心；③方程。\2+小+°-1=0的两个实数根为xi，X2，月.xi〈X2，则-2Vxi〈x2V4；④若，〃为任意实

数，则aM+M+cW-9a.其中，正确的结论是()

A.①③B.①③④C.②③④D.①④

二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

9.如图，图形是由一个△048绕某点连续旋转若干次得到,

则a的最小值为一°.

10.函数尸(w-1)x2+2.x+\与x轴有两个不同的交点，则用的取值范围

11.如图，正方形44。。的边长是10a〃，E是4B上一点、,厂是力。延长线上的

一点，BE=DF.四边形NEG/是矩形，矩形NEG6的面积y(c加)与BE"的长

xcm(OVxWlO)的函数关系是_____.

12.社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同

的黑、白两种球.将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复

上述过程.整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析

可以推断“摸出黑球”的概率为.

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摸出黑球的频率

1.0-

0.8-

0.6-

0.4-

0.2—a-1-2-a—•~~~~~—

____1IIIIII111.

~O50100150200250300350400450500携球的总次数

13.“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用.例如古典园林中的门洞.如图,

某地园林中的一个圆弧形门洞的高为25〃,地面入口宽为1叽则该门洞的半径为m.

14.如图，点4B,C,D,E在。。上，乙B+乙E=154°,则行所对的圆周角度数

为.

15.已知点力（xi,y/）、B（X2，K）为抛物线尸奴2.2纱+1（4>0）上的两点，当/-1<笛<什1,/+2<xi<t+4

时，都有“>及，/的范围为.

16.如图，月6为OO的弦，C,。为圆上的两个动点.记弦月8所对的圆心角度数为a,弦

C。所对的圆心角度数为%若a+0=18O°,下列结论：①乙H乙090°；②若0=2a,则

CD-V3.IB：③若8为弧4。的中点，则CM1CZ）；④482+CD2M4OC2.其中正确的

是—.（填序号）

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三、计算题：本大题共1小题，共5分。

17.解方程：N+4x-8=0.

四、解答题：本题共11小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18.（本小题5分）

己知。是方程/-2*1=0的一个根，求代数式（2小1）（2〃-3）+5的值.

19.（本小题5分）

下面是小明同学设计的“作圆的内接正方形”的尺规作图过程.

已知：如图1,GO.

求作：。。的内接正方形.

作法：①作。。的直径川见

②分别以点儿〃为圆心，大于：力〃同样长为半径作弧，两弧交于M,M

③作直线A/N交③。十点C,D；

④连接/C,BC,AD,BD.

匹边形ACBD就是所求作的正方形.

根据小明设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；

（2）完成下面的证明.

证明：是力8的_____,

.-.ZL4OC=LCOB=£.BOD=LDOA=W.

：.AC=BC=BD=AD.（______）（填推理依据）

.••匹边形4C8。是菱形.

又是。。的直径，

.••乙4cB=90°.（______）（填推理依据）

•••匹边形4C8。是正方形.

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20.（本小题5分）

已知关于x的一元二次方程/+（2-w）x+1-〃?=0.

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若“VO,且此方程的两个实数根的差为3,求机的值.

21.（本小题5分）

如图，正方形44CO中，点/在边8c上，石在边84的延长线上，AE=3,8产=2.若△Q6按顺时针方向旋

转后恰好与△O/E重合.

（1）则旋转中心是点_____;线段。/扫过的面积为—_♦•

（2）求四边形8OE的面积.

D__________r

EAB

22.（本小题5分）

如图，48是。。的直径，点石是弦CO的中点，连接EQ,过点C作bll"力交力〃于点G,交。。于点产，

连接/月求证：AG=AF.

eB

23.（本小题6分）

在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后

从中随机摸出•个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的•组统计数据:

（1）请根据下表估计：当〃很大对，摸到白球的频率将会接近;（精确到（）.1）

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摸球的次数〃204840401000()1200024000

摸到白球的次数〃？106120484979601912012

摸到白球的频率’

().5180.50690.49790.50160.5005

n

（2）试估算口袋中白球有多少个？

（3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的

球颜色相同的概率.

24.（本小题6分）

如图，△48C内接于（DO,为直径，NA4c的平分线交。。于点。，交8c于G,连接80,CD,过点。

作DEUC交延长线于E,作0ML48于尸，交。。点M,交8c于〃.

（1）求证：为。。切线；

（2）若03=5,BD=6,求FH.

25.（本小题6分）

某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100C后自动进入保温模式,

此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50c水壶不加热；若水温降至50℃水壶开始加热，水温达到

80C时停止加热，此后一直在保温模式下循环工作，某数学小组对壶中水量为「时，水温r（单位：℃）

与时间/（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据.

水从20c开始加热，水温与时间对照表

煮沸模式保温模式

/036m101214161820222426♦••

T205080100898072666055505560•••

对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为「时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要

水壶开始加热，壶中水温7和加热时间f呈线性关系.

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（1）表中加的值为;

（2）根据表中的数据，补充完成以下内容：

①在图中补全水温与时间的函数图象；

②当片48时，T=______；

（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关，某天小明往水壶中注入〃温度为10℃

的水，当水加热至100C后，等水降温后再喝，从他注水开始计算，小明至少需要分钟才能喝到不高

于50℃的水.

26.体小题6分）

在平面直角坐标系X。），中，已知抛物线"山-卜⑴与），轴交于点C

（1）求抛物线的对称轴和点C的坐标（用含。的代数式表示）；

（2）过点。作p轴的垂线/，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线/翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余

部分的图象组成新的图形，记为图形G,已知点P（a,p）和点0（-2-dq）是图形G上的点，设片p+g,过点

P作x轴的垂线交x轴于点必，当，随着0M的增大而增大时，求。的取值范围.

27.（本小题7分）

如图，在△月5c中，AB-AC,乙及4C—2a,N是中点，P为NC上点，连接月产，D为乙BAP内点，

且，£MP=a,点。关于直线力产的对称点为点区DE与AP交于点、M,连接40,CE.

（1）依题意补全图形；

（2）求证：BD=EC；

（3）连接MM若乙DBC+乙ECBnO°,用等式表示线段8。与MM的数量关系，并证明.

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28.(本小题7分)

给定图形"和点P,0，若图形步上存在两个不重合的点M，N,使得点P关于点M的对称点与点。关于

点N的对称点重合，则称点夕与点。关于图形"双对合.在平面直角坐标系xOy中，已知点力(・1,-2),

B(5,-2),C(-1,4).

(1)在点。(-4,0),E(2,2),F(6,0)中，与点。关于线段双对合的点是；

(2)点K是x轴上一动点，OK的直径为1,

①若点A与点T(0,D关于0K双对合，求/的取值范围；

②当点K运动时，若△48C上存在一点与(DK上任意一点关于。K双对合，直接写出点K的横坐标上的取

值范围.

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1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】。

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】72

10.【答案】且小#1

11.【答案】y=-x2+100

12.【答案】0.2

13.【答案】1.3

14.【答案】26°

15.【答案】/■:;

16•【答案】①®©

17.【答案】解：原式可化为像4件4-4・8=0

即（x+2）2=12,

开方得，X+2=±2、。，

XI=-2+2V3：

X2=-2-2\/3.

18.【答案】12.

19.【答案】解：（1）如图，四边形。为所作;

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(2)证明：•.♦MN是的垂直平分线,

^OC=LCOB=LBOD=Z.DOA=W.

：.AC=BC=BD=AD.(同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等)，

二匹边形力。9。是菱形.

又•MB是。。的直径，

:.乙4cB=90。.(直径所对圆周角是直角)，

•••匹边形力。8。是正方形.

故答案为：垂直平分线；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等；直径所对圆周角是直角.

20.【答案】(1)证明：•.♦一元二次方程炉+(2-w)x+1加=0,

•••△=(2-w)2-4(1-nt)

=〃?2-4〃?+4-4+4〃?=〃产.

•••加河，

.••△20.

.•.该方程总有两个实数根.

(2)解：•••一元二次方程/+(2-w)x+l-m=0,

解方程，X2=ni-\.

,•THVO,

•,-1>/M-1.

•••该方程的两个实数根的差为3,

1-(机-1)=3.

A/W=-3.

।w

21.【答案】Q;三3r25

22.【答案】证明：•)8为。。的直径，点E是弦CO的中点，

--AB1CD,

•,仔=充’

:.乙B=LF,

-CFWBD,

：&GF=CB,

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:•乙4GF=cF,

：.AG=AF.

23.【答案】解:（1）0.5；

（2）由⑴得摸到白球的概率为白5,

所以可估计口袋中白种颜色的球的个数为4X（）.5=2（个）；

（3）列表得:

第二次白1白2里1里2

第一次

白1（白1,白1）（白1，白2）（白1,黑1）（白1,黑2）

白2（白2,白1）（白2,白2）（白2,黑1）（白2,黑2）

黑1（黑1,白1）（黑1,白2）（黑1,黑1）（黑1，黑2）

黑2（黑2,白1）（黑2,白2）（黑2,黑1）（黑2,黑2）

由列表可得，共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有8种可能,

W1

.・/（颜色相同）=-二:.

24.【答案】•••力。平分NB4C,

'.z.BAD=z.CAD.

,-OA=OD,

:•乙BAD=CODA,

:.乙ODA=^CAD,

.Mil4c.

-DELAC,

:.DE工OD.

•••。。是。。的半径，

.ME是。O的切线；

25.【答案】86023

26.【答案】对称轴为直线x=-l,点C的坐标为M•。）I-