四边形模型与压轴-【考前20天】中考数学冲刺复习练（含答案）

四边形模型与压轴-1考前20天】中考数学终极冲刺专题

一、选择题

1.E,F,G,〃分别为矩形力8co四边的中点，则四边形EFG〃一定是（）

A.矩形B.菱形

C.正方形D.非特殊的平行四边形

2.下面说法•错•误•的是（）

A.点4（%],yD，ff（x2>丫2）都在反比例函数丫=二^图象上，•且孙<犯，则丫1<及

B.若点C是线段4B的黄金分割点，AB=8cm,AOBC,则4c=4（若-l）cm

C.顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形

D.平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积

3.在立面直角坐标系中，4（0,6），8（1,0）,将线段48平移得到线段DC,点力，点8的对应点分别是点

D,点、C.若分别连接BC,ZZ4得到四边形Z1BCD为菱形，且BC与x轴夹角为60。，则点。的坐标是（）

A.（一1,0）B.（-1,0）或（1,2V3）

C.（1,2百）D.（1,26）或（1,一2百）

4.如图，己知矩形ABCD的边长分别为a,b,进行如下操作：第一次，顺次连接矩形ABCD各边的中点，

得到四边形&&GD1；第二次，顺次连接四边形必当的小各边的中点，得到四边形4282c2。2；…如

此反复操作下去，则第n次操作后，得到四边形AnBnCnDn的面积是（）

AD

小G

BC

ab口ababab_

AA・2nD.2〃-iL.2什122n

5.如图①，在菱形ABCD中，=60。,动点M从点A出发，沿折线AB-BC-CD方向匀速运动，运

动到点D停止，连接DM,设点M的运动路程为x,AMO的面积为y,y与x之间的函数图象如图②所

示，则AD的长为（）

图①图②

第1页

A.1B.2C.3D.4

G.如图，正方形ASC。中，点E,F,G,〃分别足各边的中点，连结G〃，取G〃的中点P,连结EP,FP,则

下列说法正确的是（）

A.PE=y/2GH

B.四边形尸的周长是△GDH周长的3倍

C.乙EPF=60。

D.四边形BEPF的面积是^GDH面积的3倍

二、填空题

7.如图，四边形EFG”顶点是四边形4BCD各边中点，若把EFGH涂满红油漆需要10桶，那么要把其余部分涂

8.如图，以正六边形ABCDEF的逅CD为边向内作等边DCDG,连结EC,则DGCE=1

9.如图，Z.AOB=60°,以点O为圆心，3cm为半径作弧，交08于点C；分别以点O,C为圆心，大于

2。。长为半径作弧，两弧分别交于点M,M作直线％N交。力于点。；再分别以点C,。为圆心，大于2co

的长为半径作弧，两弧在乙4。8的内部交于点0,作射线O。，点P为射线00上任意一点，连接PC,

PD.当0P=cm时，四边形Ob。是菱形.

第2页

，A

10.如图，点。是以AB为直径的半圆的圆心，。是半圆上的一动点，以。。为对角线作菱形OCDE,且NCDE=

60°,经过。、E的直线分别与半圆交于F、G点，交。。于点M.已知CE=2百，则FG的长为.

11.如图，在四边形ABCD中，AC=BD.E、F、G、H分别是AB、BC.CD、DA的中点，且EG、FH交

于点O.若AC=4,则EG?+FH2=

12.如图，正方形48co中，点E,F分别在边CD,AD上，BE1CF于点G,若BC=8,AF=2,则G尸的长

三、解答题

13.综合与实践

顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形.数学

兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用.

以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究.

【探究一】

第3页

如图1,在四边形4BCD中，E、尸、G、，分别是各边的中点.

求正：中点四边形ER7H是平行四边形.

证明：YE、F、G、〃分别是48、BC、CD、ZM的中点，

，EF、GH分别是△A8C和△AC。的中位线,

=GH=^AC(①)

：.EF=GH.

同理可得：EH=FG.

・•・中点四边形EFGH是平行四边形.

结论：任意四边形的中点四边形是平行四边形.

(1)请你补全上述过程中的证明依据:

从作图、测量结果得出猜想□:原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形.

下而我们结合图2来证明猜想口，请你在探究一证明结论的基础上，写出后•续•的证明过程.

(3)【探究三】

原四边形对角线关系中点四边形形状

不相等、不垂直平行四边形

第4页

（4）下面我们结合图3来证明猜想□,请你在探究一证明结论的基础上，写出后•续•的证明过程.

（5）【归纳总结】

请你根据上述探究过程，补全下面的结论，并在图4中画出对应的图形.

原四边形对角线关系中点四边形形状

③④

图4

结论：原四边形对角线时，中点四边形是

点E是CD上一点，连结BE交力C于点F.

(2)如图1,-m，若SACBF=,，求m的值.

(3)如图2,点G为BC上一•点，且满足=设CE=X,GB=y,试探究y与x的函数关

系.

15.【定义】

如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”。

如图1,在四边形川?中，若匚"口。=180。，则四边形为8CQ是对补四边形。

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备用图

【应用】

(1)如图1,在对补四边形48co中，口4=100。，贝i]UC=：

(2)如图2,在对补四边形/IBC。中，口/=90。，AB=3,AD=4fDC=2,贝lj8C=

(3)如图3,在对补四边形4BC。中，平分口84)。

①求证：BC=CD；

②若匚840=60。，请探究4?、AC,力。的数量关系并说明理由。

(1)感知：如图①,在正方形ABCD中,E为边AB上一点(点E不与点AB重合〉，连接DE,过点A

作4F1DE,交BC于点F,证明：DE=AF.

(2)探究:如图②，在正方形ABCD中,E,F分别为边AB,CD上的点(点E,F不与正方形的顶点

重合)，连接EF,作EF的垂线分别交边AD,BC于点G,H,垂足为O.若E为AB中点，DF=1,AB=

4,求GH的长.

(3)应用：如图③，在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上，BE=CF,BF,AE相交于点

G.若AB=3,图中阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3,则△A8G的面积为,△

A8G的周长为

17.垂中平行四边形的定义如下：在平行四边形中，过一个顶点作关于不相邻的两个顶点的对角线的垂线交

平行四边形的一条边，若交点是这条边的中点，则该平行四边形是“垂中平行四边形”.

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(1)如图1所示，四边形A8C0为“垂中平行四边形"，AF=后,CE=2,则4E=；

AB=：

(2)如图2,若四边形A8C。为“垂中平行四边形“，且A8=BD,猜想A尸与CO的关系，并说明理由；

(3)①如图3所示，在△ABC中，BE=5,CE=2AE=12,BE1AC交4c于点E,请画出以BC为边的

垂中平行四边形，要求：点4在垂中平行四边形的一条边上(温馨提示：不限作图工具)；

②若△A8C关于直线/C对称得到’5连接C8'，作射线C*交①中所画平行四边形的边于点P,连

接PE,请直接写出PE的值.

(4)【模型应用】

若48=2,AD=3,DF=3BF，求DE的长；

(5)【模型迁移】

如图2,若矩形A8C0是正方形，DF=^BF,求弟的值.

18.在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用己有经验，对“邻等对补四边形''进行

研究，

【定义】：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.

(1)操作判断用分别含有30。和45。角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是邻等对补

(2)【性质探究】根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质，下面研究与对角线相关的性质如图

2,四边形ABCD是邻等对补四边形，AB=AD,AC是它的一条对角线.

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D

①写出图中相等的角，并说明理由；

②若BC=m,DC=n,□BCD=20,求AC的长(用含m,n,0的式子表示).

(3)【拓展应用】如图3,在Rt二ABC中，口8=90。，AB=3,BC=4,分别在边BC,上取点M,

N,使四边形ABMN是邻等对补四边形，

①请利用尺规，作出符合要求的邻等对补四边形ABMN：

②当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请真接写出BN的长.

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答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】如图,

连结AC,BD.

vE、H、F、G分别是AB、AD、BC、DC中点，

:.EH||BD||FG,EH=FG=,EF||AC||EF,EF=GH=^AC,

•••AC=BD,•••HE=EF=FG=GH.

四边形EFGH是菱形；

所以B选项是正确.

【分析】根据菱形判定条件即可求出结果.

2.【答案】A

【解析】【解答］解:A、点力（%i，比），B（%2,旷2）都在反比例函数y=二图象上，

X

V/c<0,

，反比例函数y=”图象在二、四象限，且在每个象限内，y随工的增大而增大，

<X2»则为<、2，符合题意；

B、若点C是线段48的黄金分割点，AB=8cm,AC>8C,则力。=与！43=4（遥一l）cm，不符合题意;

C、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是电形，不符合题意；

D、平面内，经过平行四边形对角线交点的直线，一定能平分它的面积，不符合题意；

故答案为：A

【分析】利用反比例函数的性质，黄金分割的性质，平行四边形的性质及中点四边的性质逐项判断即可。

3.【答案】B

【解析】【解答】解：如图：

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•・7(0,V3),8(1,0),

OA—OB=1♦

na—

,**tanz.ABO=丽=V3»

.\DABO=60°,

VDOBC=60°,四边形ABCD是菱形，

AAB=BC,

当点C在y轴上时，AO=OC=近,OB=OD=1,

AD(-1,0)；

当点C在A点右侧时，BD-2OA-2百，

.•・D(I,2V5)；

综上，点D的坐标为(-1,0)或(1,2百).

故答案为：B.

【分析】先根据锐角三角形函数求得匚ABO=60。，结合菱形的性质可得符合条件的C点位置，即可求解.

4.【答案】A

【解析】【解答】解：如图，连接AC,BD,A)Ci,BiDi.

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四边形ABCD是矩形,

.\AC=BD,AD=BC,AB=CD.

，

：Ai,/,G,Oi分别是矩形四个边的中点，

•=B]C]—2BD,-C]D]=AC，

,\AXD{=81Gl=A[8]=C]Di,

・•・四边形ARCiDi是菱形，

=AD=a,=AB=b,

・•・四边形AIBICIDI的面积为：.B1D1=^ab=\s^ABCD.

同理，由中位线的性质可知，

02c2=*AD=»口?。]〃AzB?"AD,

。242=QB2=B/力，D2A2//C2B2//AB,

・•・四边形A2B2C2D2是平行四边形，

*：ADLAB,

•\6,2^2。242，

・•・四边形AzB2c2形是矩形,

；・四边形A2B2c2D2的面积为:。2。2,力2。2=聂[b=/ScM8CD=%受%8[C101•

・••每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，

・•・四边形AnBnCnDn的面积是关.

故答案为：A.

【分析】连接AC,BD,A1C),B1D1,易证四边形A1B1C1D1是菱形，可得四边形AIBIGDI的面积为矩

形ABCD面积的一半，则四边形ABCD的面积=加，易证四边形A2B2c2D2是矩形，可得矩形AzB2c2D2

的面积==*a3b=/SaBCD，从而得出每一次操作后得到的四边形面积为原四边形面积的一半，据此即可

求解.

5.【答案】B

【解析】【解答】解：如图所示，

B(M]C

当点M运动到R点时,CARD的面积为V3,过点M作ME1AD于点F,

•・•四边形ABCD为菱形，EIA=60。，

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/.EABD为等边三角形,

VDELAD,

-BE=AB-sin60°=^-AB=亨AD,

]1\[3

S^ABD~24。'BE=2xAD•二AD—V3

解得AD=2（负值己舍去）.

【分析】观察图象知，当点M运动到点B时，匚ABD的面积达到最大值，且从点B到点C的运动过程中保

持最大值不变，因此可过点M作AD上的高ME,由于菱形的四条边相等且一个内角为60度，则匚ABD为

等边三角形，由等腰三角形三线合一知BE垂直平分AD,解直角三角形ABD即可求得AD与BE的数量关

系，再代入到面积公式中即可求得AD的长.

6.【答案】D

【解析】【解答】解:如图，连接AC、BD、EF、EH、FG,

•・,点E、F、G、H分别是各边的中点，

・・・EF、HG是DABC和DADC的中位线，

AEFDAC,EF=1AC,HGDAC,HG=|AC,

/.EFLHG,EF=HG,

同理EH=FG,

・・•四边形ABCD中,AC=BD,ACDBD,

，四边形EFGH是正方形，

•；P是HG的中点，

.\HP=iHG=iEH,

乙乙

・••设EH=HG=EF=FG=2x,则HP=PF=x,

APE=PF=V5x,

・・・PE=^GH,故A选项错误；

VAE=BE=AILEBAD=90°,

AE=BE=\/^x,

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・•・四边形BEPF的周长为：（2鱼+2>/5）x,[HDG周长为：（2々+2）x,

•••3（2短十2）x3（2谊十2与x,故B选项错误;

x_7s

VsinzFPF=

ALEPB#30。,

••.□EP母60。,故C选项错误;

VOB=OD,HG」AC,AH=DH,

・・・PD=PO,

:.PB=3PD,

・•・四边形BEPF的面积=）EFPB=,EFPD,

・•・四边形BEPF的面积是DGDH面积的3倍，故D选型正确.

故答案为：D.

【分析】连接AC、BD、EF、EH、FG,由三角形中位线定理得EFtZlAC,EF=|AC,HGlIAC,HG=AAC,

则EF口HG,EF=HG,进而推出四边形EFGH是正方形，得HPJHGJEH,设EH=HG=EF=FG=2X,贝lj

乙乙

HP=PF=x,根据勾股定理得PE=PF=V5x,求得PE=^GH,据此可判断A选项；由等腰直角三角形得

AE=BE=&x,分别求得四边形BEPF与DGDH的周长，可判断B选项；根据三角形函数的定义及特殊锐角

三角函数值得□EPBK30。，则「EPF#0。，据此可判断C选项；推出PB=3PD,进而求得四边形BEPF的面积

=1-EFPB=5EFPD,可判断D选项.

乙乙

7.【答案】10

【解析】【解答】解：如图所示，连接AC,80,

•・・瓦?分别是力。,48的中点,

•••EFIIBD，镭4

J.LAEF〜AADB.

.1

••SAAEF=4sA”。，

同理可得S4CGH=/SAHCZT

第13页

・・SA/1EF+SACGH=4s四边形MG)

同理可得S4DEH+S^BGF=?四边形说D

‘S四边形EFGH=2s四边形XBCD

•・•把"GH涂满红油漆需要10桶，

，要把其余部分涂满黑颜色，需要10桶，

故答案为：10.

【分析】先根据中位线定理，证明EF//BD,再证明〜△ADB,接着利用相似三角形的面积比等于相似

比的平方求出=.SMBD和SADEH+S^BGF=4s四边形力夕⑺，进而得出S四边形“GH=2s四边形力夕。。'最后求

出需要油漆的数量.

8.【答案】30

【解析】【解答】解：如图，构造等边Z1CDG,连接EC,GE,

•・•六边形ABCDEF为正六边形，

ADA=EB-DBCD=DCDE=^6~2)?<18QO=120°,CD=DE,

o

又・・•匚CDG为等边三角形，

・・・CD=DG=CG=DE,□CDG=!ZlDCG=60o,

・•.□EDG=DCDE-CCDG=120°-60°=60°,

•••□DEG为等边三角形，

；.GE=DE=CD=CG,

・•・四边形CDEG是菱形，

・"GCE=Z-DCE=1x乙DCG=30°.

故答案为：30.

【分析】根据正六边形特殊角分析得出等边三角形，由特殊角分析得出菱形即分析得出目标角.

9.【答案】3V3

【解析】【解答】解：连接CD交OP于点E,

第14页

〈MN为0C的垂直平分线，

：・0D=CD,

•・ZOB=60。，

・•・ACO。为等边三角形，

­-OD=OC=CD=3,

TOP为匚AOB的角平分线，

:"OP=乙DOP=30。，

•・•四边形OCPD为菱形，

-'-CD_OP,DE=CE,OE=PE,

1Q

:.DE=+OD=.,

：.OE=V3DF=1V3,

••・OP=2OE=3H,

・•・当OP=3百(cm)时，四边形OCPD是菱形

故答案为：3显.

【分析】连接CD交OP于点E,根据题意得到：MN为OC的垂直平分线，OP为DAOB的角平分线，然后

根据菱形的性质即可求解.

10.【答案】6V3

【解析】【解答】解：如图所示，连接OF,

•・•四边形OCDE是菱形,

AODOCE,MD=MO,CM=EM,CD=DE,

第15页

•・•□CDE=60°,CD=DE,

•••□CDE足等边二角形，

则CE=DE=2V3,

=V5，

故DM=y/DE2-ME2=J(2\/3)2-(V5)2=3，

VODDCE,

・・・FM=GM,0M=DM=3,OF=OD=6,

；・FM=>JOF2-OM2=V62-32=3百，

:・FG=2FM=6V3:

故答案为：6V5.

【分析】连接OF,根据菱形的对角线互相平分且垂直，四条边都相等可得ODnCE,MD=MO,CM=EM,

CD=DE,根据有一个角是60。角的等腰三角形是等边三角形，等边三角形的三条边都相等可得CE=OE=

2V3,根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出DM=3,根据垂直于弦的直径平分弦可得

FM=GM,根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出FM的值，即可求解.

11.【答案】16

【解析】【解答】YE、F、G、H分别是线段AB、BC、CD、AD的中点，

・・・EH、FG分别是匚ABD、E1BCD的中位线，

EF、HG分别是ZIABC、「ACD的中位线，

根据三角形的中位线的性质知，EH=FG=1BD,EF=HG=1AC.

又,.,AC=BD,

・・・EH=FG=EF=HG,

・•・四边形EFGH是菱形，

.\EGDFH,EG=2OE,FH=2OH.

在RtlOEH中，根据勾股定理得：OE2+OH?=EH2=4,

等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=4X4=16,

・•・(20E)2+(2OH)2=16,

即EG2+FH2=16.

故答案为16.

【分析】根据三角形中位线的性质可得EH=FG=/BD,EF=HG=IAC.再利用AC=BD,证出四边形EFGH

是菱形，再利用勾股定理可得OE2+OH』EH2=4,再利用等量代换化简可得EG2+FH2=16°

12.【答案】5.2

第16页

【解析】【解答】解：・・・BE1CF,

乙BGC=90°,

:.乙CBG+乙BCG=90°,

由正方形得性质可得：Z-DCB=90°

:.乙BCG+乙DCF=90°,

:，Z.CBG=乙DCF,

・・•四边形48co为正方形，

Z.CDF=Z.BCE=90。，DC=FC,

在△CD尸和△BCE中，

(Z-CBG=乙DCF

乙CDF=^BCE,

CD=BC

.*.△CDF三ABCE(AAS),

CE=DF,

*：BC=8,AF=2,

CE=DF=6,

•・•在&ABCE中，BC=8,CE=6,

BE=10.

•••S^BCS=3BE-CG=^BC-CE

“BCCE8x624

••・CG=-^=W=丁，

CDF=△BCE,

CF=BE=10,

74

•••GF=CF-CG=10-=^=5.2.

故答案为:5.2.

【分析】

先由垂直的定义得到NCBG+/BCG=90°,由正方形的性质得到乙BCG+乙DCF=90°,即可利用同角的余角

相等得到乙CBG=4OCF,再结合正方形边长和角度的特点即可利用AAS证明△CD/三△8CE；再结合

BC=8,AF=2,得出。尸=6,因而可用勾股定理求得BE=10,从而可由面积法求得CG的长，最后利用全等

三角形的性质可得CF=10,即可利用线段的和差关系，得出答案.

13.【答案】(1)=角形中位线定理

(2)证明：方法一：•；AC=BD

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EF=FG

•••中点四边形EFG1I是菱形

方法二：VAC=BD

EF=HG=EH=FG

•••中点四边形EFGH是菱形；

(3)矩形

(4)证明：E/7分别是△A80和△ABC的中位线

:.EH//BD.EF//AC

四边形EMON是平行四边形

XvAC1BD

乙MON=90

乙MEN=乙MON=90

•••中点四边形EFGH是矩形.

(5)AC匚BD且AC=8。；正方形

【解析】【解答］解：(1)TEF、G”分别是△A8C和△力CO的中位线,

••・EF=2AC,GH=^AC(三角形中位线定理_)

故答案为：三角形中位线定理；

(3)如图，

图3

原四边形对角线垂直时，中点四边形是矩形，

故答案为：矩形；

(5)AC匚BD且力C=时，中点四边形是正方形;

理由如下:如图,

第18页

A

VACLBD,由探究三可知四边形EFGH是矩形，

9：AC=BD,由探究二可知四边形EFGH是菱形，

・•・四边形EFGH是正方形.

故答案为：AC匚BD且AC=8。；正方形.

【分析】（1）根据三角形中位线定理可得出答案；

（2）根据四条边相等的四边形是菱形，或有一组邻边相等得平行四边形是菱形，即可得出结论；

（3）根据矩形的判定定理可得结论；

（4）首先证明四边形EFGH是平行四边形，然后再根据一个内角是直角，即可得出四边形EFGH是矩形;

（5）根据（2）,（3）即可得出ACE1BD且AC=BD时，中点四边形是正方形.

14.【答案】（1）解：由题意得：AB||CE,AB=BC=3

△CEF八ABF.AC=yjAB2+BC2=3x/2

.CE_CF

，9AB~AF

CF

即pn：丁1,语而

解得：CF=1V2

（2）解：•前=m',,而=而1

・CE_m

••而-m+1

由⑴可得:泊小舟

.S&CBF_m

一而

3

-1

m2

--

93

2-

得m

黑CX

解由

得

艮-CF

T•3

第19页

解得：CF=^

'：LGAC=乙EBC,^ACG=乙BCF

・•・△ACG"BCF

•CGAC国

-CF=BC=y/2

即：

.三=企

・•3\，'2x

3+x

整理得一二骁

Vy>0

，9-3x>0,x<3

又％NO

/.0<x<3

故：y=^^（o三%$3）

【解析】【分析】（1）利用相似三角形的判定证△CEF~AABF,利用相似三角形的对应边成比例可证得弟=

德，结合4F=4C—C尸求出CF的长.

（2）由酷=巾可得噌=嘉=品，进一步可推出沁£=心^,利用已知三角形的面积可得到关于m的

方程，解方程求出m的值.

（3）由（1）可表示出CF的长，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△ACG~Zi8CF,利用

相似三角形的性质，可得到y关于x的关系式.

15.【答案】（1）80°

⑵②

（3）解：①过点C作CELJAD于E,作CF匚AB于F。

TAC平分［BAD,CE匚AD,CFDAB

VCEEAD,CFDAB

第20页

.,.□CED=LCFB=90°

•/四边形ADCD足对补四边形

.,.□B+DCDA=180°,

,.,□CDE+DCDA=180°

.,.□B=DCDE

.,.□CEDDCCFB(AAS)

ACD=CB

②;AC平分DBAD,

A□EAC=EBAC=ljBAD=30°

VDCED=匚CFB=90°,CE=CF

.,.□ACEDDACF(AAS)

・・・AE=AF

VLCED：L!CFB(AAS)

・・・ED=BF

:.AD+AB=AE-ED+AF+BF=2AE

在RDAEC中，□EAC=30。

.\AE=^AC

2

.\AD+AB=2AE=V3AC

【解析】【解答]解；(1)由题意可得：

C1C=180°-OA=80°

故答案为：80。

(2)由题意可得：

□C=180°-DA=90°

•：4B=3,力。=4,DC=2

;*BD=yjADz-¥ABZ=5

:、BC=y/BD2-CD2=\[21

故答案为：V21

【分析】(1)根据对补四边形定义即可求出答案.

(2)根据对补四边形定义可得nc=90。，再根据勾股定理即可求出答案.

(3)①过点C作CEUAD于E,作CFUAB于F,根据角平分线性质可得CE=CF,再根据垂直可得

□CED=DCFB=90°,由对补四边形定义可得C1B="DE,冉根据全等三角形判定定理可得

□CEDJCCFB(AAS),贝UCD=CB,即可求出答案.

第21页

②根据角平分线概念可得口EACNBAC=1QBAD=30",再根据全等三角形判定定理可得

□ACE^CACF(AAS),则AE=AF,再根据全等三角形性质可得ED=BF,再根据边之间的关系可得

AD+AB=2AE,再根据含30。角的直角三角形性质即可求出答案.

16.【答案】(1)证明：•.•四边形48co是正方形，

:.AD=ABf/.DAE=乙ABF=90°,

vAF1DE,

Z.DAF+乙BAF=90°,Z-DAF+Z.ADE=90°,

•••乙ADE=Z.BAF,

在△ONE和△48b中，

Z.ADE=Z.BAF

AD=AB,

Z-DAE=乙ABF

DAE三4s4),

DE=AF

(2)解：分别过点4、。作ANIIG/i,DM||EF,分别交BC、AB于点N、M,如图②所示：

图②

♦.•四边形力BCD是正方形,

:.AB||CD,AB=CD,^DAB==90°,

四边形DME尸是平行四边形，

ME=DF=1,DM=EF,

-AN||GH,GH1EF,

:.DM1GH,

同理，四边形AGHN是平行四边形，

GH=AN,

vDMIEF,GH1EF,

AN工DM,

乙DAN+Z-ADM=90°,

•••乙DAN+乙BAN=90°,

/-ADM=/-BAN,

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在△4DM和△BAN中，

乙ADM=乙BAN

AD=AB,

V^DAM=乙ABN=90°

=△BAN(ASA),

DM=AN,

•••EF=GH,

DM=GH,

•••E为AB中点,

AE=^AB=2，

AM=AE-ME=2-1=1,

•••DM=y/AD2+AM2=>/42+I2=V17，

GH=V17;

(3)I：V15+3

【解析】【解答】解:(3)vAB=3,

Sjh'^ABCD=3x3=9,

•.•阴影部分的面积与正方形4BCO的面积之比为2:3,

.,・阴影部分的面积为：gx9=6,

••・空白部分的面积为：9-6=3,

在和中,

BE=CF

乙ABE=乙BCF=90。，

AB=BC

:.〉ABE三△BCF(SAS),

:.Z.BEA=Z-BFC»S^ABG=S四边形QEGF，

1Q

乙

...ShAB3=5x3=5，FBC+/-BEA=90°,

•••乙BGE=90°,

^AGB=90°,

设4G=a,BG=b,

则;ab=

7.ah=6,

a2-{-b2=AB2=32,

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a2+2ab4-b2=324-6=15,

即(a+b)?=15,

•••a+b=V15,即BG+4G=任，

.•.△4BG的周长为同+3,

故答案为:V15+3.

【分析】(1)利用正方形的性质可证得AD=AB,^DAE=^ABF=90°,利用垂直的定义和余角的性质可知

[ADESBAF,利用ASA可证得匚DAEdljABF,利用全等三角形的性质可证得结论.

(2)分别过点4、。作4NIIGH,O.MIIEF,分别交BC、AB于•点N、M,如图②所示：易证四边形DMEF是

平行四边形，利用平行四边形的性质可证得DM=EF,同时求出ME的长；可证得。MlGH

同理，四边形AGHN是平行四边形，AN1DM,利用余角的性质可证得[ADM=DBAN,利用ASA可证得

[ADM匚匚BAN,利用全等三角形的性质可得到DM=AN,可推出DM=GH,再求出AM的长，利用勾股定

理求出DM的长，可得到GH的长.

(3)利用已知求出正方形ABCD的面积，根据已知条件可求出阴影部分的面积，即可得到空白地方的面

S

积；利用SAS可证得匚ABE□匚BCF,利用全等三角形的性质可知”应4=/8FC,^ABG=S&^CEGFf同时

求出IZ].ABG的面积，再证明"AGB=90。；设4G=a,BG=b,可得ab的长，再求出a+b的长，即可求出

□ABG的周长.

17•【答案】(1)1;yfl7

(2)解：AF=&CD，理由如下：

根据题意，在垂中四边形4BC0中，AF±BD,且F为的中点，

AD=BC=2BF,Z.AEB=90°；

XvAD||BC,

•••△AEDFEB,

AEADDE

^EF=BF=EB=2o;

设BE=a,则OE=2a,

vAB=BD,

AB=BD=BE+ED=a+2a=3a,

AE=7AB2—BE2=J(3Q)2—/=2V2a,EF=V2a，

:.AF=AE4-EF=2\[2a+>j2a=3或Q,

♦.•48=CD,

垃后

•A.F•而AF=而3=寸a=旧

：.AF=y/2CD：

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（3）解：①第一种情况：

作3c的平彳亍线使40=30,连接C0,

则四边形力BCD为平行四边形；

延长BE交于点F,

•••BCWAD,

•••△AEFs匕CEB,

AF_AE

BC=CEf

-AD=BC,CE=2AE,

鬟=需=”以尸=加+4

・•.F为的中点；

故如图1所示，四边形48。。即为所求的垂中平行四边形:

图1

第二种情况：

作乙4BC的平分线，取C”=8交乙IBC的平分线于点H,延长CH交8E的延长线于点D,在射线上取AF=

血也接DF,

故4为BF的中点;

同理可证明：AB=^CD,

则BF=AB+AF=2AB=CD,

则四边形BCD尸是平行四边形；

故如图2所示，四边形8co尸即为所求的垂中平行四边形：

第三种情况：

作人DIIBC,交BE的延长线于点D,连接CD,作BC的垂直平分线;

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在ZM延长线上取点F,使4尸=AO,连接BF,

则A为DF的中点，

同理可证明A0=；8C，从而DF=BC,

故四边形BCDr是平行四边形；

故如图3所示，四边形8CDF即为所求的垂中平行四边形:

由题意可知，^ACB=Z.ACP,

•••四边形/BCD是平行四边形，

:.Z.ACB=Z.PAC,

•••^.PAC=/LPCA»

.•.△PAC是等腰三角形；

过P作P/714c于H,则AH=HC,

•••BE=5,CE=2AE=12,

B'E=BE=5,AE=6,

...AH=HC=^AC=^(AE+CE)=1(6+12)=9,

乙乙乙

EH=AH-AE=9-6=3；

•:PH1AC,BE1AC,

/.△CPHfCB'E,

：.半=肆,即pc_CHB,E_9X5_15

•*,PE=yjEH2+PH2=+

若按照图2作图，

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GPD

BC

延长CA、DF交于点G,

同理可得：是等腰三角形,

连接PA，

GF||BC,

GAfCAB>

AFAG4

而"冠=1'

AG=AC,

•••PA1AC；

同理，△CP/1〜△CB'E,

AE=6,EC=12,B'E=BE=5,

•立_丝，即5x18_45,

''~PA~AC~CE-12--~2

PE=y/PA2+AE2=J（竽/+62二号i，

若按照图3作图，贝I」：没有交点，不存在PE（不符合题意）

：.AB||CD,/-BAD=乙ADG=90°,

，入AFR-AGFD.

.DGDF1

''AB=BF=T

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•»DG=AB=1>

'：LBAD=乙ADG=90°,乙ABE=LDAF,

**•△ABEDAG,

.AB_AE_2

••丽=丽-W'

•ME=|OG=|，

27

：.DE=AD-AE=3-^=^

(5)解：设正方形A8C0的边长为a,贝I」：AB=AD=a,

延长HF交CO于点G,

•・•正方形48CO,

：,Z-BAD=Z.ADG=90。,48||CD,

AAFBGFD，

.DG_FG_DF_1

••而一而一前一2'

:・DG=^AB=^a,FG=^AF,

•*AG=7AD?+DG2=

'：FG=^AF,

•*AF=-^AG=石。，

oo

ACV5ar=

・••竺=工=匹.

ADa3

【解析】【分析】(1)根据题意可推出ZIAEFLILICER,得到筮=铝，从而推出AE,再根据勾股定理可求得

BE,再求得AB；

(2)根据题意可推出」AEDDLIFEB,得至ij卷=黑=嚣=2,设BE=a,则DE=2a,AB=CD=3a,再利用

勾股定理得到AE,从而推出EF、AF,即可求得答案；

(3)①作BC的平行线AD,使AD=BC,连接CD,延长BE交AD于点F；

②根据①中的三种情况讨论：第一种情况，根据题意可证得DPAC是等腰三角形，作PHZ1AC,则AH=

pu「H

HC,可推出dCPHfCB'瓦从而推出—=花，计算可得PH,最后利用勾股定理即可求得PE；第二种

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情况，延长CA、DF交于点G,同理可得Z1PGC是等腰三角形，连接PA,可由□GAFKCAB,结合三线合

一推出PA1AC,从而推出CPA口□CWE,同笫一种情况即可求得PE；笫二种情况无交点，不符合题意.

18.【答案】(1)②④

(2)解：(l)CACD=DACB,

理由：延长CB至点E,使BE=DC,连接AE,

•・,四边形ABCD是邻等对补四边形,

.,.□ABC4-LD=180°,

VDABC+[ZABE=l80o,

.,.□ABE=CD,

VAB=AD,

•••□ABE口匚ADC(SAS),

/.□E=DACD,AE=AC,

-,.□E=DACB,

.\DACD=CACB