2023-2024学年广东深圳某中学高一年级下册期中数学试题（带答案）

2023.2024深圳红岭中学高一（下）期中数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将

你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）

1.已知复数z满足（l-2i），=2+i，贝悯=（）

A.-1B.遮C.1D.V5

55

2.已知4,A是非零常数，则“a>b"是“工<小”的（）

ab

A.充分非必要条件

B.必要非充分条件

C.充要条件

D.既非充分也非必要条件

3.设/,m是两条不同的直线，a是一个平面，则下列命题正确的是（）

A.若/_La,l//m,则加_LaB.若/L〃，防ua,则/_La

C.若/〃a,〃iua,则/〃D.若/〃a,〃?〃a,则/〃

4.已知正方形月8C。的边长为2,点尸满足&J（就+而），则AP・AC=（）

2

A.4B.5C.6D.8

5.已知函数/（x）=/+b（a>0,/?GR）的图象如图所示，则函数g（x）-6x+a的零点所在

区间为（）

A.（0,-y）B.（-y,/）C.（y,1）D.（1,2）

66

6.在8c中，若osin8=d^氏os/,月.sinC=2sinJcos8,那么△/8。一定是（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形D.等边三角形

7.若对于任意xW[〃?，m+l],都有■%2+〃戊-1V0成立，则实数力的取值范围是（）

A.（2，0）B.（J^_,0）C,Q]D.0]

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8.若函数/(x)是定义在R上的奇函数，对任意X6R,都有=/(l+x),且当.托［0,1］时，/'(X)

=2X~1,若函数g(x)=/(x)-log”(x+2)(a>0且aWI)在(-1,7)上恰有4个不同的零点，

则实数〃的取值范围是()

A.(0,A)U(7,4-00)B.(0,-1)U(9,+oo)

77

C.(0,.1)U(7,+8)D.(0,-1)U(9,+8)

99

二、多选题(本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题选项中有多个选项是正确的，全部选对得6

分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上)

9.关于平面向量，有下列四个命题，其中说法正确的是()

A.向量工=(2,-3)，7：=(-1,3)能作为平面内所有向量的一组基底

142

B.若点G是。的重心，则就+就+就

C.若a・b=0，则a=0^b=0

D.若向量之=(-1,i),E=(2,3)»则向量b在向量a卜的投影向量为包

2

10.如图，正方体力力仍I。。的棱长为1,下列结论正确的是()

A.若「在棱力4上运动，则直线小O与直线QiP所成的夹角一定为90°

B.若P在棱力8上运动，则三棱锥Ci尸C的体积为工

6

C.若。在底面力3CQ内(包含边界)运动，且满足。尸=1，则动点。的轨迹的长度为TT

D.若尸在△44。内(包含边界)运动，则直线。声与平面/18CQ所成角的正弦值的取值范围为

nIX_3l_1

L"LU，则()

11.已知函数f(x)=

-2(X+1)2+3,X<0

A.函数/(x)有3个零点

B.若函数y=/(x)一有2个零点，贝I化{0}U(3,7］

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C.若关于X的方程/G）一有4个不等实根XI，X2,对A4，则X|+》2+X3+X4=4

D.关于x的方程/（X）=4有5个不等实数根

三、填空题（本大题共3小题，每题5分，共15分）

12.已知向量彳=（1,3）,b=（冽，-2）,3=（-4,3）,且（2^+b）13.则实数加的值为.

13.已知sin0,cos0是关于x的方程F・ax+a=0的两个根（“WR）,则骨亚一」

tan6

14,已知正三棱柱48。-小81。的体积为18,若存在球。与三棱柱48C-小81。的各棱均相切，则球。

的表面积为.

四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15.已知向量;与E的夹角为30。，|7I=V3.|bI=2.

（1）求。菽|d-bI；

（2）求向量a-b与向量b的夹角

16.函数/（》）=Jsin（3"<p）。>0,3>0,|（p\<—）的部分图象如图所示.

2

（1）求函数/（x）的解析式;

（2）将函数/（x）的图象先向右平移个个单位，再将所有点的横坐标缩短为原来的纵坐标不变）,

得到函数g（x）的图象，求g（x）在［卷，看］上的最大值和最小值；

看］上有两个不等实根，求实数〃?的取值范围.

■〃?=。在x€[-A,

17.记△49C的内角4、B、C的对边分别为。、b、c,BteV3ccosA+csinA=V3b.

（1）求角C；

（2）若△力8c的周长为20,面积为1跖，求边c.

18.已知直三棱柱/4C-/'B'C'满足N84C=90°,=2,点M,N分别为HB,B‘

2

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C'的中点.

(1)求证：MN〃平面/ACC；

(2)求证：A'N_L平面8CN.

(3)求三楂锥C-MN8的体积.

19.若函数y=/(x)对定义域内的每一个值xi，在其定义域内都存在唯一的X2，使/(xi)/(X2)=1成

立，则称该函数为“依赖函数”.

(1)判断函数g(x)=x是否为“依赖函数”，并说明理由；

(2)若函数/(X)=2广2在定义域［加，网上为“依赖函数”,求〃?〃的取值范围：

(3)已知函数力(x)=(x“)2(aW3)在定义域［旦，3］上为“依赖函数”•若存在实数隹，3］，

22

使得对任意的任R,不等式力(x)2-产+(s-f)x恒成立，求实数s的最大值.

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2023.2024深圳红岭中学高一（下）期中数学试卷

参考答案

一、单选题（本大题共8小题，每题5分，共40分，每小题的4个选项中仅有一个选项是正确的，请将

你认为正确的答案的代号涂在答题卡上）

1.【分析】先求出然后再求|z|=l.

【解答】解：由（l-2i），=2+i，得：|l-2iI|z|=|2+ib

所以IzI=L即团=1.

故选：c.

2.【分析】由“a>b”不能推出“工<工”成立，且由“工<工”也推不出“a>b”成立，进而判断Z

abab

>b"是“工<上的什么条件.（

ab

【解答】解：因为工V工可得上3V0,

abab

当a>b,即b-aVO,当帅>0时，k二生V0成立，所以%>力”不是“工<2”的充分条件：

abab

当">0时・，因为白二生V0,所以。>6,所以“a>b”不是“工<2”的必要条件；

abab

所以“a>b"是“工<小”的既非充分也非必要条件，

ab

故选：D.

3.【分析】若/_La,/〃加，根据两平行直线中的一条与平面垂直，另一条也垂直平面，得到用_La.

【解答］解：若/_La,I//m,

根据两平行直线中的•条与平面垂直，另••条也垂直平面，

所以〃?_La

所以选项力正确；

若/J_〃?，"iua,则/_La或/与a斜交或/与a平行，所以选项4不正确；

若/〃a,〃?ua,则/〃〃?或/与是异面直线，所以选项C错误；

若/〃a,”?〃a,则/〃〃，或/与用异面或/〃用相交，所以选项。错误；

故选:A.

4.【分析】根据向量的线性运算及数量积运算求解即可.

【解答】解：设彘屈品则Z-E=o,

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一1一J一一・1f—

由题意,AP=f(-AC+AD)=y(a+2b)»

乙

AC=a+b，

nI■•■•1-♦—>—>—

则AP・AC*(a+2b)・(a+b)

_1-*23_*-f2_

-ya5a・b+b-6-

5.【分析】由函数/(x)的图象可知，/(O)=-1,且OVaVl,进而求出b=-2,得到g(x)=lnx+2x+a,

再利用函数的零点存在定理求解即可.

【解答】解：由函数/Cr)的图象可知，/(O)=-1,且OVaVl,

A\+b=-\,

:・b=-2,

••g(x)=lnx+2x+a,

ii99

(—=bi——+——^<7--2+——,

2222

eeee

VO<a<l,O<-^-<1，，-2+-^+aV0,

ee

即g(_L)<o,

e

g(A)=ln-^-\+a=\+a-ln2,

22

VO<M2<1,Al-7w2>0,

.•・1-M2+a>0,

即g(A)>0,

2

:.g(」-)・g(A)<o,

29

e乙

又•・•函数g(x)=加+2什〃在(()，+8)上连续且单调递增,

，函数g(x)=/〃X-力x+a的零点所在区间为—)•

e2

故选：B.

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6.【分析】由两角和的正弦公式，结合正弦定理求解即可.

【解答】解：已知asin8=A/Wbcos力，

则sinJsin^=V3sin5cosJ,

则taivl=

即力=」L,

3

又sinC=2sin/cosS,

则sin/cosB+cos/sinA=2sin/cos8,

即sinJcosB-cos/sin8=0,

即sin(A-B)=0,

又-TX<A-8Vn,

即A=B,

即A=B=C=-^-,

3

即△4?C一定是等边三角形，

故选：D.

7.【分析】设/G)=/+〃〃--1,依题意，HP.f(m)=2m2-l<0,解出即可.

f(m+1)=2m2+3m<0

【解答】解：设/(x)=x^+nix-1,依题意，/(x)V0对任意xw［〃］，〃?+1］恒成立，则只需

f(m)=2m2-l<0

«

f(m+1)=2rn2+3^1<0

解得：

故选：B.

8.【分析】分析可知，函数/(x)的周期为4,作出函数/(x)的图象，依题意可得数y=/(x)与y=log°

(#2)的图象在(1,7)上有4个不同的交点，然后分。>1及OVaV】讨论即可.

【解答】解：•・•函数/(x)是定义在R上的奇函数，当在［0,1］时，/(x)=2X-1,

,当通［-1,0］时，-x€［0,1］,函数/(x)=-/(-x)=-2X+1,

又对任意xGR,都有/(I-x)=/(l+x),

.V(x)=/(x+4),即函数/(x)的周期为4,

又由函数g(x)=/(x)-logfl(x+2)(a>0且a#1)在(-1,7)上恰有4个不同的零点，得函数y

=/(x)与y=log«(x+2)的图象在(-1,7)上有4个不问的交点，

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/(I)=1,当时，由图I可得log。(5+2)<1,解得。>7：

当OVaVI时，由图2可得lo囱(7+2)>-1,解得。《〈春

二、多选题(本大题共3小题，每题6分，共18分，每小题选项中有多个选项是正确的，全部选对得6

分，部分选对得部分分，有选错的得0分，请将你认为正确的答案的代号涂在答题卡上)

9.【分析】根据向最知识逐一判定各选项即可.

【解答】解:对于/，因为‘二⑵一3)，,=(-1,，所以2x1~-(-3)X(-1)=0,所以式I®

所以二不能作为平面内所有向量的一组基底，故为错误；

对于8,设8C的中点为M,则欣=-2而，GB+GC=2GM»

所以燕+福+羽=-2而+2而故〃正确；

对于C,当；1曲,a*b=a故C错误;

对于。，因为三=(一1,1),E=(2,3)，所以向量E在向量1上的投影向量为：工口・3=

IaIIaI

TX2+1X3;V，故。正确.

22

故选：BD.

10,【分析】证明4OJ,平面力BGQi,再根据线面垂直的性质即可判断出力的真假；根据

vrn==VDnr「即可判断出4的真假；易得动点夕的轨迹的长度为以。为圆心，1为半径的圆

的周长的四分之一，即可判断出C的真假；平面WCD,可得/。/到即为直线。产与平面48c

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所成角，再进行分析即可判断出。的真假.

【解答】解：对于力，连接力口，小。，则小。，力平面力。。1小，

又由Qu平面力小，所以小。_1_48,

又4BC4Di=4,48u平面/BCiOi，力。匚平面48CO，

所以〃Q_L平面力8。。1，

又QiPu平面力ACiQi,所以/liQ_LQiP,

所以直线小。与直线。iP所成的夹角一定为90。，故力正确；

对于8,连接尸C,PCi，DiC,

则三棱锥Ci-Z)iPC的体积等于三棱锥P-CC\D\的体积，

因为彳8〃平面CO。。，所以点P到平面的距离等于8C,为定值1,

即三棱锥人。。。1的高为1,底面三角形。Ci的面积为工，

2

所以上.%E+73总乂会＜1义/片，故5正确；

对于C,因为尸满足。2=1,

则动点P的轨迹的长度为以D为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一，

所以尸点的轨迹的长度为N，故。错误；

2

对于。，在正方体48。。-小81。。1中，平面48CZ),

对于平面.48。DG为垂线，DP为斜线，QP为射影，

所以NQPQ1即为直线DiP与平面ABC所成角，

设4CCBD=。，WJAC1BD,

因为P是△48。内(包括边界)的动点，

所以当P与。重合时，DPJB刀最小,此时sin/DPDi、二二近，

221DF3

当夕与8重合时，DP=DB二6最大,此时sinZDPDi=y^~二冬，

U],o

所以sin/DPDiW除当］，故。正确•

故选:ABD.

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11.【分析】根据题意，由函数的解析式作出函数的图象，结合函数的零点与方程根的关系，依次分析选

项是否正确，综合可得答案.

nIx-3|_ix)0

【解答】解：根据题意，函数f(x)=

-2(X+1)2+3,X<0

由此作出函数的图象，如图所示：

对于4：由图象易知曲线y=/(x)与x轴有两个交点，故函数/(x)有2个零点，故力错误:

对于8：令y=/(x)-/=0,可得/(x)=/,

则函数y=/(x)-/的零点个数即为)，=/(外与y=z的图象的交点个数，

若函数y=/(x)-/有两个零点，由图象可知但{0}U(3,7],8正确；

对于C：若关于x的方程/(X)=/有四个不等实根，则(x)与夕=，的图象有四个交点.

不妨设X]<X2<X3<X4»

由图象可得：£(1,3),且KI+X2=-2,X3+X4=6,

所以Xl+X2+X3+X4=4,故C正确；

对于。：因为/(x)=4,解得/(4)=-2或/«)=2,

结合图象可知：f(x)=-2有一个根，/(x)=2有四个根,

所以关于x的方程/(x)=4有5个不等实数根，。正确.

故选：BCD.

三、填空题(本大题共3小题，每题5分，共15分)

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12.【分析】利用向量坐标运算法则求出2a+b，再由(2a+b)1c，能求出实数江

【解答】解：向量Z=（1,3）,b=（加，-2）,c=（7,3）,

2a+b=（2+〃?，4）,

:（2a+b）,Lc.

/.（2a+b）»c=-4（2+m）+3X4=0,

解得实数加=1.

故答案为：1.

13.【分析】根据根与系数关系可以求得+cosS=a,然后利用(sin0+cos0)?=£,求出。的值,

sin8・cos8=a

然后tan9二，百］百可求解.

tan9sin弓cos弓a

【解答】解：由题意得：sinH,cost)是x2-ar+a=0的两个根，

即:A=(-q)2・4。20,

解得：a24或〃W0,

由根与系数的关系得：［s}n8+cos8=a,

Isin8"cos8=a

所以（sin0+cos0）2=1+2sinOcos0=6/2,

即：a2-2a-\=0,

解得：a=l-V2>a=l+V2（舍去），

*a1sin8cosB111.fT,

力以tan8+-----Q-=------~~q--------------Q-="=~~谊=T-N2。

tanWcossinfsmfcosWa1-y2

故答案为：-1-&.

14.【分析】利用三棱柱的体积公式、球的特征及其体积公式即可.

【解答】解：如图所示，取上下底面的中心O',O”,D、£、尸分别为上底面棱上的切点,

则。为。”的中点，设//=mAAi=2h,

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由题意易知a=26,

因为门21^诋冬卜22=18.2=如3=127§=h=V§，

乙

所以R=2=s球=4兀区2=16兀・

故答案为：16n.

四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15.【分析】（1）根据数量积的定义可计算求得Z・E的值，根据模的计算公式可求得|7-b|.

（2）求出（Z-E）・E的值，根据向量的夹角公式即可求得答案.

【解答】解：（1）由题意|a|•|b|cos300=V3X2X*~=3

|a-b|=/«?=V?-2a*b+b2=V7-6=1-

2

（2）由题意得（a-b）•b=a*b-b=3-4=-r

(a-b)・b_工

所以cos8=,

Ia-bI•IbI2

又因为0°W8W180°,

所以8=120。.

16.【分析】（1）由图可求47的值，利用周期公式可求但=4^=2,又f（［-）=2,且|<-y«

可得即可得解函数解析式；

T6

（2）利用三角函数的图象变换可求g（x）=2sin（4x号），利用正弦函数的性质即可求解；

（3）由题意可求y=2sim在［工|二，4］上单调递减，在［今，子］上单调递增，进而利用正

弦函数的性质即可求解.

【解答】解：（1）由函数/（X）=/lsin（u）x+（p）（力>0,a）>0,|（p|<—）的部分图象可知力=2,

2

・・11b17T3T

K_K=_T，

OTT

r=Ti,3=-----=2,

T

又f啥）4

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・・2X-7—1-4)=---h2k兀，kwZ,解得(p=--―F2k兀，”£Z,

626

由I。1<4■"'得

乙b

•*,f(x)=2sin(2x

(2)将/(x)向右平移千个单位，得至Uy=2sin(2(xT)*)=2sin(2xf)，

再将所有点的横坐标缩短为原来的当，得到g(x)=2sin(a号)，

令t=4x-

山/-r兀兀1HT俎/-r2兀兀1

1Z06o

易知函数j，=2sim在|匚4］上单调递减，在［一去，告］上单调递增，

,;

可得2sin(~^~)=-22sin^-=V3即0就(乂)二fmin(x)=-2

(3)由(2)可得y=2sim在［21二，号］上单调递减，在［今，方_］上单调递增，

可得2sin(：)=-2，2sin?=F，2sin(-^)=-«，

N。0

因为关于X的方程g(x)-加=0在x€［喂，看］上有两个不等实根，

即当y=g(x)与^=机有两个公共点，

由正弦函数的性质可知-2<n<-V3.

17.【分析】(1)根据正弦定理、诱导公式、两角和的正弦公式和同角的三角函数关系化简，即可求解;

(2)根据三角形的面积公式可得H=40,由余弦定理计算可得/+房=/+4(),结合(〃+万)2=(20-

c)2计算即可求解.

【解答】解：(1)V3ccosA+csinA=V3b

由正弦定理，WV3sinCcosA+sinCsinA=V3sinB=V3sin(AK)，

V3sinCcosA+sinCsinA=/3sinAcosCW3sinCcosA*

sinCsinA=V3sinAcosC»又0<力<180"，得sitvl>0,

所以sinC=«cosC,即tanOsing=V§，

cosC

由0VCV180。，解得C=60'；

(2)由(1)，得4absinC;年ab=10«，贝h力=40，

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由余弦定理，^cosC=cos600二a£c,I!吟二a十3一，

Nab/oU

得。2+〃2=d+40又a+b+c=20,

所以(a+b)2=(20-c)2,BPa2+2ab+b2=400-4()6-+?,

BPC2+40+80=400-40c+c2,解得c=7.

18,【分析】(1)连接44'，AC',证明"N〃力C',即可证明MV〃平面HACC.

<2)利用直线。平面垂直的判定定理证明4N_L平面8CN.

(3)利用VCMNB=VMBCN，转化求解即可.

【解答】(12分)解：(1)证明：如图，连接力)，AC,

•・•四边形488'A1为矩形，M为A'8的中点，

••・力"与1B交于点M,且"为48'的中点，又点N为夕C的中点，.・・MN〃/C',

又MNU平面力'ACC,且为C'u平面4'ACC,

•；必川〃平面/1'ACC".

（2）直三棱柱48。-力'B'。'满足N34C=90°,AB=AC=^AA'=2,点M,N分别为d'B,B'

2

Cz