二次根式（七大考点）-2026中考数学总复习考点重难突破（含答案）

专题04二次根式（七大考点）-【重难突破】2026中考数学总复习-考点强化讲与

练

二次根式的相关概念

（1）二次根式：式子（aK））叫做二次根式.

（2）有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。即6中，QZ0

（二）最简二次根式与同类二次根式

（1）最简二次根式需满足两个条件：

①被开方数不含分数；分母不含根式;

②被开方数中不含开得尽方的因数或因式.

（2）同类二次根式：几个二次根式化成最简一.次根式后，如果被开方数相同,则把这几个二次根式叫做同类二次

根式.

（三）二次根式的性质

（1）（a>0）具有双重:非负性,一是心Q,二是K）.

（2）（）2=a（a>0）.

⑶"=（的）

（四）二次根式的有理化

在进行二次根式计算时，最后的结果都要化简成最简二次根式。若被开方数中含有分母或分母中含有根号时，对

这一类二次根式的化简过程叫做分母有理化。

[a\faVa-v'^b-fab

叫广再二标=,。

c]_V5./_血干_yfa+/b

②,土、历=（屈±历）（而干历）=（@2_（02=a-b

（五）二次根式的运算

第1页

（1）二次根式的加减运算：

+b\[m=（a±>0）:类比同类项的加减运第）

（2）二次根式的乘除运算：

①乘法运算：y[a-y[b=\[ab(a>0,b>0)o推广：•b屈=aWmn(7nN0,n>0)o

②乘法逆运算：病=洞•洞（abN0）。

③除法运算:第=/（心。，心。）。推广:鬻号盘⑺>0,n>0,b*0）。

④除法逆运算：=bHO）。

（3）二次根式的混合运算：

先算乘方，再算乘除，最后算加减。有括号的先算括号，先算小括号，再算中括号，最后算大括号。

模块三q考点一遍过

考点1二次根式的概念

典例1：

1.已知也a-8+V5-3b=0，则>6a-9b的值为()

A.9B.±9C.3D.±3

【变式1】

2.在函数，=亏意中，自变量x的取值范围是（）

V2x+4

A.x=#—2B.x>—2C.x<-2D.x二一2

【变式2】

3.若辰不2+工在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__________________

X—1

【变式3】

4.若沟而是正整数，则整数m可取的最小值为.

【变式4】

5.（1）当。为时，72a+1+1的值最小，为：

（2）当a为时，J4一（a+2）2的值最大,为.

【变式5】

6.已知关于x的方程m+V7==4有实数解，那么加的取值范围是

【变式6】

7.下列式子中，是一.次根式的是（）

A.V6B.52C.5D.j

第2页

【变式7】

8•若/的="则的值为（）

A.40B.50C.60D.70

考点2二次根式的性质

典例2：

9.将a-i）J占根号外的因式移到根号内，结果为（）

A.V1-xB.C.yjx—1D.-Vx-1

【变式1】

10.化简：2a2(a>0)=

【变式2】

H.实数〃、b在数轴上的对应点如图所示，化简：而一折+“。_与2的结果是

b

-3-2-10123

【变式3】

12.若m满足等式-2022+|2021-则m-20212的值为

【变式4】

13.实数。、人在数轴上的位置如图所示，化简：向+"+_6）2=.

ab

^6~~^7

【变式5】

14.下列计算中，正确的是（）

A.V9=±3B.

C.73尸=3D・J(3.14-7T)2=7T-3.14

【变式6】

2（a_：j+4的结果为（

15.已知一1<Q<0,化简+-4-)

A.2aB.-2a.c.一2D-I

【变式7】

16.已知实数小b,c在数轴上的对应点如图所示，则储_匕_。|+'（匕_。）2=（）

第3页

b0c

A.-2QB.-2a-bC.—bD.-2b-a

考点3二次根式的运算

典例3：

17.计算：

(1)(3%—5/一(2%+7产

⑵2718x^^272

O

【变式1】

18.化简

⑴V48-V3-J|xV12+V24

<2)(V7+V3)(V7-V3)-(V5-V2)2

【变式2】

19.计算(要求写出演算过程)：

(1)V32xV2-^2-^72；

(2)(-l)2024+|l-V5|-^；

⑶(V3+1)2-(V7+V3)(V7-V3).

【变式3】

20.计算:

⑴居一因xj

⑵3mxJ|-V84-2V32：

<3)(V3+^)(V3-V2)+(V5-1)2.

【变式4】

21.计算

(1)5-V12xV3

⑵包学

42

⑶V27-JI+V12

【变式5】

22.计算：

第4页

⑴712-6j1+x/48

<2)V48-rV3-J|xV12-V24

⑶(一g)-2+|1-西+(兀-2)。+我

2

(4)(2V3-1)+(V2-3)(724-3)

【变式6】

23.计算：

(1)-尸024+〃3下+亦可+|6-3];

<2)(V3+V2)2-(V5-2)(75+2〉

【变式7】

24.计算

⑴V18XV3

(2)-V-0.125+J(-4)2-|-6|

⑶Vl8+1V72-4^|^472

(4)x(V3-V2)

考点4

典例4；

25.下列选项中的式子，是最简二次根式的是（）

A.B.V243C.V36mD.7m2+2

【变式1】

26.在闻、6、-V28.国电、短中，是最简二次根式的是♦

【变式2】

27.二次根式后、Jm2_2m+1、声的、后中是最简二次根式的有个・

【变式3】

28.若师』是最简二次根式，且m为整数，则m的最小值是.

【变式4】

29.若而与最简二次根式1万是同类二次根式，则m的值为.

【变式5】

第5页

30.下列二次根式中，能与旧合并的二次根式的是（）

A.>/18B-JIC.V24D.V03

【变式6】

31.将二次根式a化为最简二次根式为（）

A.y/-a—2B.—V—a—2C.D.—yJa-2

【变式7】

32.下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（

A.g与旧B.与V5启C.D.3遍与俄

考点5分母有理化

典例5：

33.把式子分母有理化过程中，错误的是（）

m一九_（止一九）（师+\兔）m_（师+、伍）（师一、元）

A.=\[m+VnB.=\[m+Vn

•Jrn-y/n—（x/m—^^（Vm+vrn）V7nVnVmVn

m—几_（m一九）（师一⑸m-n_（师+、'元）（师一亚）

C.=\[m-VnD.

yfm+y/n—（标+而）（标一⑸Vm+7n=Vm-Vn

【变式1】

34.已知工=狭a,y=£75，若x的整数部分是〃？，），的小数部分是〃，则5m2+（%-n）2-y的值

为

【变式2】

35.阅读以下材料：将分母中的根号化去，叫做分母有理化.分母有理化的方法，一般是把分子分母都乘以

11、吃V242

同一个适当的代数式，使分母不含根号.例如：75=7275=-=

'（«2）

（1）将焉分母有理化可得

⑵关于'的方程北一；=备+表+而%+..•+出的解是

【变式3】

36.计算：焉+羡+最后+..•+无餐=

【变式4】

37.对于任意不相等的两个数。，b,定义一种运算※如下：。皿=叵豆，如3m2=叵i二ar那么

a—b3—2

V301=.

【变式5】

以计算而第加+才告*的结果是（）

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A.V3-V2B.V5+企C.1D.2

【变式6】

39.阅读例题：竟3=(通货裾8广2(号6)=八+信用上述类似的方法解答问题：若〃是正的

小数部分，则匹的值为()

a

A.5+遥B.5-V5c.5+2V5D.5-2V5

【变式7】

40.观察下列等式：

①扁=(7城日-1)=1i

②岛5=语岛聋西=遮-0；

③岛5=语磊尚西=”一遮；

化简：品前)()(“为正整数).

A.Vn4-1+VnB.Vn+1C.\[nD.Vn+1—4n

考点6二次根式的化简求值

典例6：

41.已知x=正一6,求代数式工(石一x)+(x+花)(x—J司H勺值.

(1)若x的小数部分是m,y的小数部分是在，求(〃i+71)2021-7(〃t一)尸的值.

【变式2】

42.阅读材料：规定初中考试不能使用计算器后，小明是这样解决问题的：

已知a=2I求2a2-8。+1的值.

他是这样分析与解的：“舟飞+总之同=23

a—2=—V5,二(a—2)2=3,a2—4a+4=3

•••a2—4a=-1,:.2a2—8a+1=2(a2—4a)+1=2x(—1)+1=-1.

请侬根据小明的分析过程，解决如下问题：

(1)若a=/,求8a2-16a+2值.

V，一1

(2)化简：焉+备+募+…+g;e

【变式3】

43.已知Q=2二1,匕=锣，求下列代数式的值：

第7页

⑴a2-ab+b2

⑵先化简，再求值：(总+含)+昌.

【变式4】

11

44,已知”=再二后,丫=两五'

(1)求xy及x+y的值：

(2)求％2一3xy+y2的值.

【变式5】

45.在数学课外学习活动中，晓晨和同学们遇到一道题：已知。二五七可，求2Q2-12Q+3的值.经过讨

论，他们是这样解答的：

a=Tlfa=(^-3^+3)=^°+3,即a-3=g'

2

•••(a-3)=10,即Q2—6a+9=10.

:.QZ-6Q=1

:.2a2—12a+3=2(a2—6a)+3=2x14-3=5.

请你根据他们的分析过程，解决下列问题：

7

(1)若m=,五+3,求巾2+6巾的值；

(2)若九=求2九2一16几+9的值.

【变式6】

46.在数学课外学习活动中，小明和他的同学遇到一道题：己知。=熹，求2Q2—8Q+1的值，他是这样

解答的；

,Q=K=(2+、⑶(2-总)=2-遮,

a—2=­V3»

:.(a-2/=3,Q2-4Q+4=3,

a2-4a=—1.

•••2a2-8a4-1=2(a2—4a)4-1=2x(—1)+1=-1.

请你根据小明的解题过程，解决如下问题：

⑴募=---------；

(2)化简：普+京7?+焉+…+侬；旃;

(3)若a=忑三，求Q2-4Q+3的值.

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【变式7】

47.化简一个分母含有二次根式的式子时,，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例

力nT一二「—=%1=%'=a_\n_42x^3_46

如：&+1(J2+l)(&l)(⑨2_i1，再=诉5=于

(1)若。=意与，求3a2-12。-1的值；

(2)比较国一魏京与君一四例的大小，并说明理由.

(3)利用这一规律计算：571+75+3/2+2<3+4/3+374+"+2024>.f2023+2023v'，2024,

考点7

典例7：

48.材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称

为小斜、中斜和大斜，记小斜为m中斜为江大斜为c,则三角形的面积为s=2c2("+彳一")2],

这个公式称之为秦九韶公式：

材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式,

即已知三角形的三条边长分别为a,b,c,则它的面积为S=Jp[p-a)(p-b)(p一c),其中P=

2(a+b+c),这个公式称之为海伦公式.

请解决下列问题：

(1)若一个二角形边长依次为5、6、7,求这个二角形的面枳.小明利用海伦公式很快就可以求出这个

三角形的面积.以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整.

解：•一个三角形边长依次为5、6、7,即Q=5,b=6,c=7,

♦♦p=5(Q+b+c)=5(5+6+7)=•

根据海伦公式可得：S=Jp(p一a)(p—b)(p一c)=.

(2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是遥，瓜,V7,求这个三角形的

面积.

【变式1】

49.用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如：一元三次方程炉+/-2》=0,可以通过因

式分解把它转化为戈(/+x-2)=0,解方程x=0和一元二次方程d+%-2=0,可得勺=0,x2=1,工3=

-2.如，解根号下含有未知数的方程GT=2,可以通过方程两边平方把它转化为％+1=4.解X=

3.再如求式子y=jj]的最小值，可以得y/+2yx+y=2工2一3x,整理得(y-2)/+(2y+3)x+

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y=0,当y=2时，7x+2=0,x=-y；当yH2,方程有解，

△=b2-4ac=(2y+3)2-4(y-2)y=20y4-9>0,即、之一/，所以最小值为一言.

(1)解下列方程：

①—3x2-4%=0,

@V2x+3=x

(2)根据材料给你的启示，求函数丁=3：27%：1的最小值

Jx2+2x4-1

【变式2】

50.阅读材料，在平面直角坐标系中，已知x轴上两点4(占,0)、8(工2,0)的距离记作48=1%-％21，如果

4a1，%)、BO2,丫2)是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求48间的距离.如下左图，过A、

8分别向x轴、)，轴作垂线4Mi、4M和RM2、BN?,垂足分别是M1、％、M?、/V2,直线力N1交B出于点0,

=-

在Rt/MBQ中，AQ=|%i—%21»lyiy?I»

22222

••AB=AQ+BQ=\x1-x2\+lyi-y2l=(%i-外下+(yi-y2)*由此可以得到平面直角坐标系内

任意两点4(%1，%)、8(X2,%)间的距离公式.

利用上面公式解决下列问题：

(1)直接应用平面内两点间距离公式计算点4(1,-3),8(-2,1)之间的距离；

(2)在平面直角坐标系中的两点力(0,3),8(4,1),P为x轴上任一点，求PA+P8的最小值和此时点P的

坐标；

(3)应用平面内两点间的距离公式，求代数式+卬一2)2+一33+(y-1产的最小值(直接写出

答案).

【变式3】

51.【背景介绍】

如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理.思路是大正方形的面

积有两种求法，一种是等于。2,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，BP4xiad+

(b-a)2,从而得到等式C2=4X：M+S—Q)2,化简便得结论小+必二。2.这里用两种求法来表示同一个

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量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法

(1)【方法运用】

请利用“双求法”解决问题：如图2,在6x6的网格图中，小正方形边长为1,连接小正方形的三个顶点，

可得△A8C,贝露8边上的高的长度为;

(2)在中，/.ACB=90°,。0_148于点。.设40=Q,BD=b,CD=m.

①用“双求法''表示"2+02,可以得到关于〃，〃，〃7的关系式：_▲」

②用含小〃的代数式表示/?「△ABC的斜边上的中线与高线，并直接比较它们的大小；

(3)【知识迁移】

如图，学校有一块一边靠墙(图中实线)的种植园，该兴趣小组想靠墙(墙足够长)，在此规划一个面积

为50平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏(图中虚线)将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6

个小长方形区域，求小栅栏的总长度(所有虚线长之和)最少为多少米？

【变式4】

52.某班同学们以知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅

读的数学资料进行探究：

材料I.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：s=

J1弱尼—(后+相吁(其中3c为三角形的三边长)

材料2.古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式sjp(p-a)(p-b)(p-c)

(其中。，b,c为三角形的三边长，P=生学三)

请侬用适合的公式解决问题.

(1)三角形的三边长为Q=V7,b=2五,c=3,则面积为；

(2)如图，在四边形ABCO中，AB=3,BC=4,CD=7,AD=6,Z-B=90°,求四边形ABC。的面

积.

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53.规律探索图：如图认真分析各式，然后解答问题.

042S由

2=(vT)2+1=2,1=2⑸是^。力送2的面积）;

S

OAj=(企7+1=3,272（S2是△04A3的面积）;

S

23723

OAA=(V3)4-1=4,吗是△。&4的面积）;

⑵S”=；

(3)求出/:q+n，H---FX---Tc---的值.

dl+d2十七十d2022+d2023

【变式6】

54.龙城初级中学数学兴趣小组现场学习：在AABC中，AB.8C、4c三边的长分别为遍、“U、g，求这

个三角形的面积.小华同学在解答这道题时，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）,再在网格中

画出格点△ABC（即△4BC三个顶点都在小正方形的顶点处）,如图1所示.这样不需求△ABC的高，而借用

网格就能计算出它的面积.这种方法叫做构图法.

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(I)△A8C的面积为：：

(2)△ABC中。。边上的高为；

(3)在图1右侧空白部分，画线段0£=倾，并以DE为边作Rt△/)£|产，使其面积为2(只保留作图痕

迹，不要求写出画法，所画的图形的顶点均在格点上).

(4)如图2,一个六边形的花坛被分割成7个部分，其中正方形PR84RQDC,QPFE的面积分别为13,

10,17,则花坛中间△「(?/?的面积为.

【变式7】

55.【观察发现】

222

,**(76+V5)=(V6)+(㈣4-2V6V5=11+2V30-

AV11+2V30=J(V6+V5)2=遍+遍；

22

V(2+V3)=22+(V3)+2x2x75=7+475，

・々7+46=J(2+圾2=24-73-

(1)【初步探索】

化简：V104-2VH=；

(2)形如Jrn—可以化同为-历—Vb，即-Jm-2y/n=Va—Vb,旦a，b,m,九均为正整数，用含a,

b的式子分别表示m,n,得m=,n=；

(3)若占+布=1+八后且％，y均为正整数，求工的值；

(4)【解决问题】

某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出.甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别

为80cm2和(14+6V§)cm2.快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表(纸箱厚度不计)：

型号长宽高

A型10cm8cm12cm

B型12cm10cm15cm

C型16cm10cm10cm

请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？

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答案解析部分

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】无之一£且工工1

4.【答案】15

5.【答案】(1)-1：1

(2)-2；2

6.【答案】m<4/4>m

7.【答案】A

【解析】【解答】解：根据题意得，乃是二次根式，故A项符合题意;

52不是二次根式，故B项不符合题意；

5不是二次根式，故C项不符合题意；

点不是二次根式，故D项不符合题意.

故答案为：A.

【分析】根据二次根式的定义逐一判断即可求得.

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】2V3a

11.【答案】-2a

12.【答案】2022

13.【答案】2b-2a

14.【答案】D

【解析】【解答】解：炳=3,故A错误；

J(-2)2=2，故R错误；

73)3=_3,故C错误；

J(3.14-TT)2="一3.14，故D正确•

故选：D.

【分析】根据二次根式的性质，对四个式子逐一化简，再作判断.

1S.【答案】A

16.【答案】C

第14页

17.【答案】（1）解：（3%—5）2—（2X+7）2

-9x2-30x+25一(4x2+28x+49)

=9x2-30%+25-4%2—28x-49

=5x2-58%-24；

<2)解：2/18x^-5-272

O

=6&x『2夜

=V6-J-2V2

一丁

18•【答案】(1)解：V48^-V3-JjxV124-V24

;2

=4百+百一方x2g+2巡

=4-V64-2x/6

=4+V6

(2)W：(V7+V3)(V7-V3)-(V5-V2)2

=7-3-(5-2V10+2)

=4-7+2710

=-3+2/10

19.【答案】(1)4

(2)华

⑶2V3

20•【答案】(1)解：口|+房xR

=寻寻《

=JFIxJI

第15页

=1.

⑵解：3V12XJ|-V8+2V32

3「广

=3I1―2乂2-2&+8&

=3V18-2V2+8V2

=9衣-2&+8&

=15a.

⑶解：(V5+鱼)(通-&)+(遥-以

=(V3)2-(V2)2+(V5)2-2V5+1

=3-2+5-2754-1

=7-275.

21.【答案】(I)解：原式=5—V36=5—6=—1;

(2)解：原式=隹声=2

5/2

(3)解：原式=375-坐+275=58一§=/自

22.【答案】(1)解：V12-6J|+V48

=2V3-2V3+4V3

=46；

⑵解：V484-V3-一3

=4-V6—2>/6

=4-3V6

⑶解：(-1)-2+|I-V2|+(^-2)0+V8

=9+V2-l+l+2V2

=9+3V2

(4)W：(2V3-1)2+(V2-3)(A/2+3)

=12-473+1+2-9

=6-4\/3

23.【答案】(1)解：原式=一1+2+(-4)+3-歹

=-14-2-4+3-V7

=­V7:

第16页

（2）解：原式=（3+2乃+2）-（5-4）

3十2遍十2一1

=4+276.

24.【答案】（1）解：V18x

1

18x5+3

=V3;

(2)解：JI-V-0.1254-J(-4)2-|-6|

1

——■—1

2+4-6

⑶解：^18+1V72-4/i^4V2

=3V2+Jx6V2-4x/2L

互+4或

6

1

=3企+企一

4

=4\/2—i;

(4)解：维3x(国一企)

V3

=(V3+V2)x(V3-V2)

=3-2

25.【答案】D

26.【答案】＜15

27.【答案】1

28.【答案】2

29.【答案】

30.【答案】B

【解析】【解答】解：A、V18=3V2,不能与百合并，故该选项不符合题意;

B、3=孳能与6合并，故该选项符合题意；

\33

C、依=2瓜不能与遍合并，故该选项不符合题意；

D、眉=骞，不能与国合并，故该选项不符合题意；

第17页

故答案为：B.

【分析】利用最简二次根式的定义(①被开方数的因数足整数，因式足整式；②被开方数中不含能开得尽

方的因数或因式)和同类二次根式的定义逐项分析判断即可.

31.【答案】B

32.【答案】A

33.【答案】C

34.【答案】19-13V3/-13V3+19

35.【答案】(1)V2-1/-1+V2

(2)41

2

36.【答案】9

37.【答案】V3+1

38.【答案】D

39.【答案】C

40.【答案】D

41.【答案】(1)解：・・・4V8<9,

：・6<娟<炳,即2V2&<3,

A0<3-2V2<1,5<3+2或<6，

由(1)可知，%=3-2V2»y=3+2&,

0<x<1,5<y<6,

•・”的小数部分是m,y的小数部分是小

Am=3-2VL九=3+2&-5=2或一2，

***(m4-n)2°2i—-n)3

二(3-2企+2加一2)2021-3(3_2&_2&+2)3

=I2021-15一4企『

=1-(5-4企)

=1-5+472

=472-4.

42.【答案】⑴解：4=7^=7*栽+])==+•

a-1=V2»

(a-1)2=2,即a?—2Q+1=2,

/.a2—2a=1,

第18页

/.8a2-16Q+2=8(a2-2a)+2=8x1+2=10；

c徽in-二凤1।后一◎।行一底।।而一而

哙原六一(乃+i乂右_i)十(西+店)(若一百)十恪+伺(Q-佝(V12T4-VTL9)(7121-71T9)

73-175-/3V7-A/5/121-7119

=^-+-2-+-2-+…+2

1

=5(V3-1+V5-V3+y/7—V5+…+V121—V119)

乙

V121-1

二2

=5.

后-

43•【答案】（1）解:1,_72+1

72+1,72^1

22

,岳~1工&+1(应-1)+(&+1)2-272+1+2+272+1,"._72-1v^+1

仁京+百=(&+])(&])=--------2^1-----------=6,"・”药工

，a2-ad+b2=(a4-b)2-3ad=62-3x1=36-3=33：

⑵蝌(号+熹)十备

ab—a1b—a

~[b+a)(Z?-a)+(b+a)(b—a)]b

bb-a

一(b+a)(b—a)b

i

=丽’

由(1)可得：a+b=6,故原式=也

44.【答案】⑴解：“方'晨期|“)=8+企,

1V3-V2

y=-------------=-----------------------------------=y3—V

42.+-/3(V3^+V2)(-73-V2)

:.xy=(V3+V2)(V3—V2)=3—2=1,

x+y=V3-V2+V3+V2=2技

(2)解：x2-3xy+y2=(x+y)2-5xy,

将％=6+V2,y=V3-/,代入得：

(2甸2-5xi=12-5=7

45.【答案】(1)2

(2)11

46.【答案】(1)V3-V2

第19页

1111

(2)解:而+++…+、砧+、砧

=V2—1+V3-V2+V5—V3+....4-V169—V168

=x<169-1

=13-1

=12.

(3)解：,•七=高=着扇j=与+2,

a—2=病，

.,.(a-2)2=5,

/.a2-4a+4=5.

/.a2-4a=1.

/.a2—4a4-3=(a2—4a)4-3=14-3=4.

47.【答案】⑴解：m=看=质曰高可=遥+2,

.,.原式=3(75+2)2-12(遥+2)-1

=3(5+4V5+4)-(12通+24)-1,

=27+12V5-12遮一24—1，

=2；

1__________________________

=V2025+V2024,

(2)解:VlOZS-v'IO5Z—(y20^-v/2024)(v|f2025+v/2024)

1____________________________

v|f2024-y1f2025=(Vr20^-Vl0^)(vW4+vl2023)=^2024+72023,

又•・•何西+V2024>V2024+V2023>0,

•>>0

*\1,f2025-V，2024v,r2024-72023，

.,.^025-V2024<V2024-V2023;

(3)解：•:提底=a%

11

]

_

3724-273713

:

174

4点+3再75

原N7142n百百•林\^2023^^2024

J_____1

71-72024，

第20页

48.【答案】(1)9；6>/6

(2)解：9•a=V5，b=yjb，c=V7,

a2=5»b2=6，c2=7,

=]r(30-G))

[i

=4x(30-4)

|26

49.【答案】(1)解：@X3-3X2-4X=0,

因式分解得工(/-3%-4)=0,

Ax=0或工2一3%一4=0,

解%2一3%-4=0,即(x+1)(》-4)=0,

/.x+1=0或％—4=0,

解得=0,%2-%3=4;

②+3=x,

方程两边平方把它转化为2x+3="，

x2-2r-3=0,即(x—3)(x+1)=0,

x—3=0或％+1=0,

解得％1=3,犯=-1，

*•*>/2x+3=X>0»

Ax=-1(舍去),

/.x=3：

_3/-2%+1

(2)解:

Y~X2+2X+1"

yr2+?.yx+y=?/_+1,

整理得(y-3)x2+(2y+2)x4-y-1=0,

第21页

当y=3时，8%4-2=0,

解得：x=—y

当yH3,方程有解，

△=b2-4ac=(2y+2)2—4(y—3)(y—1)=24y—8>0,

,、1

..y讨

・•・最小值为第

50.【答案】(1)解：4(1,-3),8(-2,1)之间的距离为：AB=7(-2-I)24-(-3-I)2=5;

故答案为：5；

(2)解：作点8关于％轴对称的点8,连接直线4*于％轴的交点即为所求的点P,P4+P8的最小值就

是线段入夕的长度，

加

4-

3V

2\

.、、B

1'、、/

-4-3-2-101Sb

一方

-2-

-3­

-4

图2

二夕(4,一1),

•••4(0,3),

.•・设直线的一次函数表达式为y=/cx+3,

把8‘(4,一1)代入-1=4k+3,解得：k=-1,

当y=0时，，解得％=3,即P(3,0),

PA-VPB=PA+PB'=AB'=J(0—4)2+(3+1下=4«,

即为PA+P8的最小值为4在.

(3)解：卜2+(y-2日+/(%-3A+(y-表示点(％y)到(0,2)和(3,1)的距离之和.

两点之间线段最短，则当点(％y)在以(0,2)和(3,1)为端点的线段上时，