2026《金版教程》高考复习方案数学基础版-第三节 第1课时 变量间的相关关系及回归模型

第十章统计与成对数据的统计分析第三节成对数据的统计分析第1课时变量间的相关关系及回归模型课标解读考向预测1.结合具体实例，了解一元线性回归模型的含义，了解模型中参数的统计意义，了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型中参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件.2.针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．预计2026年高考，变量间的相关关系、回归模型主要以应用题的形式出现，需要在复杂的题目描述中找出数量关系，建立数学模型，并且运用数学模型解决实际问题，考查分析问题和处理数据的能力.必备知识—强基础考点探究—提素养课时作业目录必备知识—强基础1．变量的相关关系(1)相关关系两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系．(2)散点图将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来，得到表示两个变量的一组数据的图形，这样的图形叫做_______．利用散点图，可以判断两个变量是否相关，相关时是正相关还是负相关．散点图(3)正相关和负相关①当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量________．②负相关：当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量_______．(4)线性相关①一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在__________附近，我们就称这两个变量线性相关．②一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关．正相关负相关一条直线(2)相关系数r的性质①当r>0时，称成对样本数据______相关；当r<0时，称成对样本数据_____相关；当r＝0时，成对样本数据间没有线性相关关系．②样本相关系数r的取值范围为_________．当|r|＝1时，成对样本数据的两个分量之间满足一种线性关系；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越____；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越____．正负[－1，1]强弱4．残差与残差分析(1)残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为_________，通过经验回归方程得到的称为________，________减去_______称为残差．(2)残差分析：残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为残差分析.观测值预测值观测值预测值越小大小×√××题组二回归教材——练一练(1)(人教A选择性必修第三册习题8.2T1改编)甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的R2分别如下表：建立的回归模型拟合效果最好的是(

)A．甲

B．乙

C．丙

D．丁解析：R2越大，表示回归模型的拟合效果越好．甲乙丙丁R20.980.780.500.85(2)(人教A选择性必修第三册8.2.2思考改编)下列四幅残差分析图中，与一元线性回归模型拟合精度最高的是(

)解析：用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高，显然D项的拟合精度最高．故选D.(3)(人教A选择性必修第三册复习参考题8T2改编)在一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，下列说法正确的是(

)A．Y＝bx＋a＋e是一次函数B．响应变量Y是由解释变量x唯一确定的C．响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生D．随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生解析：对于A，一元线性回归模型Y＝bx＋a＋e中，方程表示的不是确定性关系，因此不是一次函数，所以A错误；对于B，响应变量Y不是由解释变量x唯一确定的，所以B错误；对于C，响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生，所以C正确；对于D，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，所以D错误．(4)(人教A选择性必修第三册习题8.2T2改编)某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如下表：零件数x/个1020304050加工时间y/min62a75818968考点探究—提素养

(1)对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其样本相关系数的比较，正确的是(

)A．r2<r4<0<r3<r1

B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1

D．r2<r4<0<r1<r3变量间相关关系的判断解析：由散点图知图①与图③是正相关，故r1>0，r3>0，图②与图④是负相关，故r2<0，r4<0，且图①与图②的样本点集中在一条直线附近，因此r2<r4<0<r3<r1.(2)已知r1表示变量X与Y之间的线性相关系数，r2表示变量U与V之间的线性相关系数，且r1＝0.837，r2＝－0.957，则(

)A．变量X与Y之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性B．变量X与Y之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关性强于U与V之间的相关性C．变量U与V之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性D．变量U与V之间呈正相关关系，且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性解析：因为线性相关系数r1＝0.837，r2＝－0.957，所以变量X与Y之间呈正相关关系，变量U与V之间呈负相关关系，且X与Y之间的相关性弱于U与V之间的相关性．故选C.2．(2024·天津高考)下列图中，线性相关系数最大的是(

)解析：观察题中4幅图可知，A图散点分布比较集中，且大体分布在某一条直线附近，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，|r|值相比于其他3幅图更接近1.故选A.样本相关系数、决定系数的应用某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山，为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积(单位：m2)和材积量(单位：m3)，得到如下数据：样本号i12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9经验回归方程的拟合效果，可以利用相关系数r判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强．或利用决定系数R2判断，R2越大，拟合效果越好．3.我国机床行业核心零部件对外依存度较高，我国整机配套的中高档功能部件大量依赖进口，根据中国机床工具工业协会的数据，国内高档系统自给率不到10%，约90%依赖进口．因此，迅速提高国产数控机床功能部件制造水平，加快国产数控机床功能部件产业化进程至关重要．通过对某机械上市公司近几年的年报公布的研发费用x(单位：亿元)与产品的直接收益y(单位：亿元)的数据进行统计，得到下表：年份2018201920202021202220232024x234681013y15222740485460回归分析(多考向探究)已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6～22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度x(单位：℃)与绿豆新品种发芽数y(单位：颗)之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8～14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：

求经验回归方程的步骤4.(2025·江西上饶模拟)某农业大学组织部分学生进行作物栽培试验，由于土壤相对贫瘠，前期作物生长较为缓慢，为了增加作物的生长速度，达到预期标准，小明对自己培育的一株作物使用了营养液，现统计了使用营养液十天之内该作物的高度变化如下表：天数x12345678910作物高度y/cm9101011121313141414考向2非线性回归模型某工厂生产一种产品，从该种产品中随机抽取6件合格产品，测得数据如下：(1)若按照检测标准，合格产品的质量y与尺寸x之间近似满足关系式y＝c·xd(c，d为大于0的常数)，求y关于x的经验回归方程；(2)已知合格产品的收益z(单位：千元)与合格产品尺寸和质量的关系为z＝2y－0.32x，根据(1)中经验回归方程分析，当合格产品的尺寸x约为何值时(结果用整数表示)，收益z的预报值最大？尺寸x/mm384858687888质量y/g16.818.820.722.42425.5

非线性回归分析的步骤

5.(2025·广东深圳模拟)广东省深圳市是全国七大电动车生产基地之一，拥有完整的产业链和突出的设计优势．某电动车公司为了抢占更多的市场份额，计划加大广告投入．该公司近5年的年广告费xi(单位：百万元)和年销售量yi(单位：百万辆)的关系如图所示：令vi＝lnxi(i＝1，2，…，5)，数据经过初步处理得：课时作业基础题(占比60%)中档题(占比30%)拔高题(占比10%)题号123456789难度★★★★★★★★★★★考向回归模型成对数据的相关性；回归模型成对数据的相关性回归模型回归模型回归模型回归模型回归模型回归模型考点一元线性回归模型相关关系；残差分析相关关系一元线性回归模型非线性回归模型一元线性回归模型；残差分析残差分析一元线性回归模型一元线性回归模型题号1011121314151617难度★★★★★★★★★★★★★★★★考向回归模型回归模型回归模型成对数据的相关性；回归模型回归模型成对数据的相关性；回归模型回归模型回归模型考点非线性回归模型非线性回归模型非线性回归模型相关关系；一元线性回归模型非线性回归模型相关关系；一元线性回归模型；非线性回归模型一元线性回归模型；残差分析非线性回归模型；残差分析x23456y42.5－0.5－2－32．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两个变量的线性相关性做试验，并用回归分析的方法分别求得样本相关系数r与残差平方和m，如下表：则哪位同学的试验结果体现A，B两个变量有更强的线性相关性？(

)A．甲 B．乙C．丙 D．丁解析：r的绝对值越大，m越小，线性相关性越强．甲乙丙丁r0.820.780.690.85m1061151241033．(2024·上海高考)已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是(

)A．气候温度高，海水表层温度就高B．气候温度高，海水表层温度就低C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势解析：对于A，B，当气候温度高，海水表层温度变高变低不确定，故A，B错误；对于C，D，因为相关系数为正，故随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势，故C正确，D错误．故选C.x2025303540y578911x3467z22.54.57二、多项选择题7．下列说法中正确的是(

)A．经验回归分析中，R2的值越大，说明残差平方和越小B．若一组观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1，2，…，n)，且ei恒为0，则R2＝1C．经验回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法D．画残差图时，纵坐标为残差，横坐标一定是编号解析：对于A，经验回归分析中，R2的值越大，说明模型的拟合效果越好，则残差平方和越小，A正确；对于B，若一组观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)满足yi＝bxi＋a＋ei(i＝1，2，…，n)，且ei恒为0，则R2＝1，B正确；对于C，经验回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，C正确；对于D，残差图中横坐标可以是样本编号，也可以是身高数据，还可以是体重的估计值等，D错误．故选ABC.106.5x24568y20406070803－0.30.98四、解答题13．(2025·湖北武汉调研)随着科技发展的日新月异，人工智能融入了各个行业，促进了社会的快速发展．其中利用人工智能生成的虚拟角色因为拥有更低的人工成本，正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货销售金额得到逐步提升，以下