2026《金版教程》高考复习方案数学提升版-素能培优（七） 数列中的构造问题

第七章数列素能培优(七)数列中的构造问题数列中的构造问题是高考的核心命题点之一，选填题、解答题均可出现．其总的思想是根据数列的递推公式，利用待定系数、配凑、取倒数等构造方法转化为特殊的数列(等差、等比或可用累加、累乘求解的数列)进行求解．核心考向目录核心考向角度1

an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0，其中a1＝a)(多选)(2025·广东珠海模拟)数列{an}是首项为1的正项数列，an＋1＝2an＋3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(

)A．a3＝13 B．数列{an＋3}是等比数列C．an＝4n－3 D．Sn＝2n＋1－n－2考向一

形如an＋1＝pan＋f(n)型

先把an＋1＝pan＋q(p≠0，1，q≠0)转化为an＋1＋M＝p(an＋M)，再利用待定系数法求出M的值，最后用换元法转化为等比数列求解．

某牧场今年年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为10%，且在每年年底卖出100头牛，牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列{cn}，即c1＝1200，则c10大约为(

)(参考数据：1.18≈2.144，1.19≈2.358，1.110≈2.594，1.111≈2.853)A．1429B．1472C．1519 D．1571解析：由题意可知cn＝(1＋10%)cn－1－100＝1.1cn－1－100，设cn＋k＝1.1(cn－1＋k)，解得k＝－1000，即cn－1000＝1.1(cn－1－1000)，故数列{cn－1000}是首项为c1－1000＝200，公比为1.1的等比数列，所以cn－1000＝200×1.1n－1，则cn＝200×1.1n－1＋1000，所以c10＝200×1.19＋1000≈200×2.358＋1000≈1472.故选B.角度2

an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0，1，q≠0)(2025·广东广州联考)在数列{an}中，a1＝3，且an＋1＝3an＋4n－6(n∈N*)，则{an}的通项公式为_________________．an＝3n－2(n－1)与角度1构造方法很相似，在构造时我们也保持跟题干一样的结构，加一项pn再构造等比数列就可以，即令an＋1＋p(n＋1)＋q＝A(an＋pn＋q)，然后与已知递推公式各项的系数对应相等，解得p，q，从而得到数列{an＋pn＋q}是公比为A的等比数列．角度3

an＋1＝pan＋qn(p≠0，1，q≠0，1)

(2025·山西大同模拟)已知数列{an}满足a1＝3，an＋1＝3an＋2·3n＋1，n∈N*，则数列{an}的通项公式为_______________．an＝(2n－1)·3n

形如an＋1＝pan＋qn的数列，一般等式两边同除以qn＋1，转化为bn＋1＝kbn＋m(k≠0，1)的形式，利用角度1的方法求解．7考向二

相邻项的差为特殊数列(形如an＋1＝pan＋qan－1)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＋1＝2an＋3an－1(n≥2，n∈N*)，求数列{an}的通项公式．(1)形如an＋1＝pan＋qan－1(p，q为常数)的数列可以化为an＋1－x1an＝x2(an－x1an－1)，其中x1，x2是方程x2－px－q＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{an－an－1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{an}的通项．(2)形如an＋1＝pan＋qan－1(p，q为常数)的二阶递推数列也可以用特征根法求通项an，其特征方程为x2＝px＋q，若特征方程有两异根α，β，则可令an＝c1αn－1＋c2βn－1(c1，c2为待定常数)；若特征方程有两重根α＝β，则可令an＝(c1＋nc2)αn－1(c1，c2为待定常数)，然后利用已知条件中a1，a2的值求得c1，c2，进而求得通项an.

已知数列{a