【核心素养】小学数学五年级下册因数与倍数例2知识清单

【核心素养】小学数学五年级下册因数与倍数例2知识清单一、核心素养导向解读【数学眼光】通过观察、分析乘法算式或除法算式，学会从运算的角度抽象出因数与倍数的概念，并能够有序、全面地找出一个数的所有因数，发展数感和符号意识。这个过程培养学生用数学的眼光观察现实世界中的整数关系，理解数的结构。【数学思维】在探究找一个数的因数的方法时，经历从具体到抽象、从无序到有序的思维过程，掌握分类讨论和归纳推理的基本方法。通过思考“怎样找才能不重复、不遗漏”，培养思维的条理性、严谨性和批判性，提升逻辑推理能力。【数学语言】能够用清晰、规范的数学语言描述一个数的因数，例如“12的因数有：1，2，3，4，6，12”，并能准确表达因数与倍数之间的相互依存关系，发展数学交流与表达能力。二、知识图谱与核心概念（一）知识体系定位【基础】本知识点属于“数与代数”领域的基础内容，是数论学习的启蒙。它建立在学生对整数乘除法熟练掌握的基础上，又是后续学习公因数、公倍数、约分、通分以及分数四则运算的重要基石。例2的教学目标是从具体的乘法算式过渡到抽象地找出一个数的所有因数，并总结其特征。（二）核心概念辨析【重要】1.因数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数（或者说，两个整数相乘得到积），我们就说除数和商（或者这两个乘数）都是积的因数。例如，2×6=12，2和6是12的因数；12÷2=6，2和6也是12的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独说一个数是因数，必须说谁是谁的因数。【基础】2.倍数的定义：在整数除法中，如果商是整数且没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数。例如，12÷2=6，我们就说12是2和6的倍数。【非常重要】3.因数与倍数的相互依存关系：因数和倍数是描述两个非零自然数之间关系的概念，它们是成对出现的。不能说“12是倍数”，必须说“12是2的倍数”；不能说“2是因数”，必须说“2是12的因数”。（三）找一个数的因数的方法（例2核心）【高频考点】找一个数的因数，最核心的方法是“列乘法算式”或“列除法算式”，关键是做到“有序思考”和“成对寻找”。方法一：列乘法算式。从1开始，想哪两个整数相乘等于这个数。例如，找18的因数：1×18=18，2×9=18，3×6=18，4×？没有，5×？没有，6×3=18（与前面重复，找到6时发现3已经找过，可以停止）。那么18的因数有：1，2，3，6，9，18。方法二：列除法算式。用这个数除以1，除以2，除以3……看哪些除法算式商是整数且没有余数。例如，找30的因数：30÷1=30，30÷2=15，30÷3=10，30÷4=7.5（不是整数，排除），30÷5=6，30÷6=5（与前面重复，可以停止）。那么30的因数有：1，2，3，5，6，10，15，30。三、例2深度解析与步骤（一）教材例题呈现例2：18的因数有哪几个？这是一个经典的开放性问题，旨在引导学生通过不同的途径，探索并完整地找出一个数的所有因数。（二）解题步骤精讲【难点】步骤一：确定寻找的起点和终点。从最小的自然数1开始试起，一直试到这个数本身。但实际操作中，并不需要试到18，当试到两个因数非常接近或者出现重复时即可停止。步骤二：有序试商或试乘。按照自然数从小到大的顺序，依次尝试。尝试1：1×18=18，得到因数1和18。尝试2：2×9=18，得到因数2和9。尝试3：3×6=18，得到因数3和6。尝试4：4×？4乘任何整数都不等于18，所以4不是18的因数。尝试5：5×？5乘任何整数都不等于18，所以5不是18的因数。尝试6：6×3=18，这一步得到因数和3和6，但3和6在之前已经出现过了，说明我们已经找到了所有因数，继续尝试下去只会得到重复的结果。因此，当试到6时，就可以停止了。步骤三：整理与书写。将找到的所有因数按照从小到大的顺序排列，并用逗号隔开。规范的书写格式为：18的因数有：1，2，3，6，9，18。（三）关键点拨与技巧【重要】1.成对记忆：找一个数的因数时，最好成对地找，这样可以有效防止遗漏。例如，找到1，就同时得到18；找到2，就同时得到9。【非常重要】2.确定停止点：什么时候可以停止寻找？当尝试的除数是越来越大的，而对应的商是越来越小的。当尝试到两个因数非常接近，或者尝试到某个数，它乘以自己接近或等于原数，再继续尝试，就会与之前找到的因数重复。具体来说，当尝试的数大于或等于之前已经找到的较大因数时，就可以停止了。更精确的停止条件是：一直试到两个因数非常接近，甚至相等（对于完全平方数），或者试到商小于或等于除数时停止。【热点】3.完全平方数的特例：像16这样的数，是4×4得到的，那么4既是乘数，也是商。在书写16的因数时，4只能写一次。16的因数有：1，2，4，8，16。这里4只出现一次。四、核心知识归纳与特征总结【基础】一个数的因数的特征：1.一个数的因数的个数是有限的。最小的因数是1，最大的因数是它本身。2.一个数所有因数的和是有限的，可以通过计算得到。3.一个数的因数成对出现，除了完全平方数的平方根是单个的。4.1是所有非零自然数的因数。五、考点、考向与典型题型分析（一）【高频考点】直接找一个数的因数这是最基本的考查方式，通常以填空题或选择题的形式出现。例1：写出24的所有因数。【解题步骤】：（1）从1开始，成对寻找：1×24=24，2×12=24，3×8=24，4×6=24。（2）检查5？5不是，继续试6？6×4=24，发现4已经出现，停止。（3）从小到大排列：1，2，3，4，6，8，12，24。答案：24的因数有：1，2，3，4，6，8，12，24。（二）【重要】判断一个数是否是另一个数的因数这类问题考查对因数定义的理解，通常以判断题或选择题的形式出现。例2：判断：因为3.6÷0.6=6，所以3.6是0.6的倍数，0.6是3.6的因数。（）【易错点分析】：因数与倍数的研究范围是非零自然数，不包括小数或分数。此题中的3.6和0.6都不是自然数，因此不能讨论因数与倍数关系。答案：×例3：判断：18的因数有2、3、6、9。（）【易错点分析】：遗漏了1和18这两个最基本的因数。任何非零自然数都有因数1和它本身。答案：×（三）【难点】根据部分因数求其他因数或原数这类问题综合性较强，需要逆向思维。例4：一个数既是24的因数，又是3的倍数，这个数可能是多少？【解题思路】：先找出24的所有因数：1，2，3，4，6，8，12，24。再从这些因数中筛选出3的倍数：3，6，12，24。答案：这个数可能是3，6，12，24。例5：一个数的最小因数是1，最大因数是它本身。已知一个数的最大因数和最小因数的和是29，这个数是多少？【解题思路】：最大因数是它本身，最小因数是1。两者之和为29，即这个数+1=29，所以这个数是28。答案：28。（四）【拓展考向】因数个数与数的大小关系这类问题开始渗透数论的初步思想，培养学生的数感。例6：有两个自然数，它们的和是12，积是35，这两个数分别是多少？【解题思路】：积是35，那么这两个数都是35的因数。35的因数有：1，5，7，35。其中和为12的两个数是5和7。答案：5和7。例7：一个数的最大因数是18，这个数是多少？它的因数一共有几个？【解题思路】：一个数的最大因数是它本身，所以这个数是18。18的因数有：1，2，3，6，9，18，一共6个。答案：18，一共有6个因数。（五）【热点】探究规律与开放性问题这类问题旨在培养学生的探究精神和归纳能力。例8：观察下面几个数的因数个数，你发现了什么？4的因数：1，2，4（3个）9的因数：1，3，9（3个）16的因数：1，2，4，8，16（5个）25的因数：1，5，25（3个）【考查方式】：说一说，像4、9、16、25这样的数，它们的因数有什么特点？【解答要点】：这些数都是完全平方数（即一个整数乘以它本身得到的数）。它们因数的个数都是奇数个，因为有一个因数是重复的（平方根），只能算一次。六、易错点、混淆点与避坑指南（一）概念混淆：因数与倍数的相互依存关系不清【错误表现】：“因为42÷7=6，所以42是倍数，7是因数。”【正确理解】：必须说完整：“42是7的倍数，7是42的因数。”倍数和因数是指两个数之间的关系。（二）范围不清：忽略自然数的研究范围【错误表现】：在非自然数范围内讨论因数倍数，或者忽略了0（注：本学段一般研究非0自然数）。【正确理解】：我们所说的因数与倍数，一般指的是非零自然数。0除以任何非零自然数都得0，但为了方便，本单元通常不讨论0。（三）方法不当：找因数时重复或遗漏【错误表现】：找16的因数写成1，2，4，4，8，16。（重复写4）或者找20的因数写成1，20，2，10，忘了4和5。【避坑指南】：务必使用“成对找”的方法，并且每找到一个，就考虑它的搭档。找完一对，再试下一个数。如果试到某个数，它的搭档比它本身还小，就说明已经找全了，可以停止。书写时一定要按顺序排列，有助于检查是否遗漏。（四）思维定式：认为一个数的因数个数很少【错误表现】：认为大数的因数就很多，小数的因数就很少。实际上，因数的个数与数的大小没有绝对关系。例如，质数（如17）只有两个因数，而合数（如48）可以有多个因数。【正确理解】：因数的个数由数的质因数分解决定，不仅仅由数的大小决定。七、思维拓展与跨学科视野（一）数学史渗透：完美数在找因数的过程中，我们可以引入“完美数”的概念。完美数是指一个数，恰好等于除了它本身以外的所有因数之和。例如，6的因数有1，2，3，6。去掉它本身6，剩下的1+2+3=6，所以6是一个完美数。再如，28的因数有1，2，4，7，14，28，去掉28，1+2+4+7+14=28，28也是一个完美数。古希腊数学家对完美数非常着迷，认为它们具有神秘的特性。这可以激发学生对数论的兴趣。（二）数与形的结合：矩形模型找一个数的因数，可以看作是寻找可以拼成这个数（面积）的矩形（长和宽都是整数）。例如，找18的因数，就是找哪两个整数相乘等于18。我们可以用1×18的细长矩形，2×9的矩形，3×6的矩形。如果两个因数相同，如4×4，就会拼成一个正方形。这种数与形的结合，可以帮助学生直观理解因数的成对性，特别是完全平方数可以拼成正方形，其因数个数为奇数的特点。这体现了数学建模思想和数形结合思想。（三）编程思维启蒙：枚举算法找一个数的因数，其本质是计算机科学中的“枚举法”或“穷举法”。即按照一定的顺序，把所有可能的候选数（从1到N）都尝试一遍，检查是否满足条件（N除以这个数余数为0）。这个过程培养了学生严谨、周密的逻辑思维，为未来学习编程打下基础。（四）生活应用：分组与排列因数的概念在生活中有着广泛的应用。例如，将36名同学平均分成若干小组，每组人数相同，那么每组人数必须是36的因数（1，2，3，4，6，9，12，18，36），这样就可以设计多种分组方案（但每组人数为1或36可能不符合实际）。再如，设计长方形的队列，行数和列数也是总人数的因数对。这让学生体会到数学知识来源于生活又服务于生活。八、教学建议与学习策略【非常重要】对于教师而言，在讲解例2时，一定要放手让学生自己去尝试、去探索。不要直接告诉学生结论，而要引导他们经历“无序找→有遗漏→思考如何找全→总结有序方法”的全过程。可以设计小组合作活动，让学生在交流碰撞中体会“有序思考”的价值。对于学生而言，学习本知识点时要多动笔、多列举。准备一个专门的草稿本，对于每一个数，都按照顺序，尝试用乘法或除法成对地列出算式。通过大量的练习，形成技能，并逐步从“必须列算式”过渡到“在心中有序思考”。对于家长而言，在辅导孩子时，可以多问“你是怎样找的？”“为什么找到这里就停止了？”而不是仅仅关注孩子是否找对了。注重思维过程的培养，远比得到一个正确的答案更重要。九、综合评价与自我检测（一）基础巩固题1.写出下面各数的因数。15的因数：___________________32的因数：___________________49的因数：___________________2.填空。（1）一个数的最小因数是（），最大因数是（）。（2）36的因数中，最小的奇数是（），最小的偶数是（），最大的合数是（）。（3）一个数，既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（）。（二）综合运用题3.幼儿园老师买来一包糖果，总数不超过50颗。如果平均分给8个小朋友，正好分完；如果平均分给6个小朋友，也正好分完。这包糖果最少有多少颗？最多有多少颗？4.用48个棱长为1厘米的小正方体拼成一个长方体，有多少种不同的拼法？（提示：长、宽、高都是整数，且长≥宽≥高）（三）思维挑战题5.两个连续奇数的积是143，这两个数是多少？（提示：先找出143的因数）6.已知一个自然数，它既是10的倍数，又是10的因数，这个数是多少？它的所有因数之和是多少？【自我检测要点】基础题旨在考查基本概念和基本技能，必须做到百分之百正确。综合运用题需要将因数知识与实际问题或其他数