本科大一高等数学极限概念与求法（一）教案

本科大一高等数学极限概念与求法（一）教案

一、课程导入与情境创设

（一）教学起点分析

本次课程面向本科一年级学生，他们在高中阶段已经接触了函数、数列以及“无限趋近”等朴素极限思想，例如通过割圆术求圆面积、通过渐进线理解函数趋势等。然而，高中阶段的极限概念多基于直观描述，缺乏严格的形式化定义。学生现有的认知结构中，对于“无限”、“趋近”的理解尚处于感性层面，对于极限的精确数学语言（ε-δ语言）可能会感到陌生和抽象。同时，学生已掌握初等函数的基本性质，这为本节课运用函数图像理解极限提供了基础。因此，本次教学设计的关键在于搭建从直观感知到严格定义的桥梁，帮助学生完成认知上的跨越。

（二）教学目标确定

根据课程改革理念，本节课不再单纯追求知识点的灌输，而是注重核心素养的养成。具体目标如下：在数学抽象方面，引导学生从数列和函数的无限变化过程中抽象出极限的【核心概念】，理解其描述变化趋势的本质。在逻辑推理方面，使学生初步掌握用ε-δ语言（或ε-N语言）进行极限定义的逻辑结构，并能进行简单的推理证明。在数学运算方面，要求学生熟练运用极限的四则运算法则和一些基本方法（如代入法、消去零因子法）求解具体函数的极限【高频考点】。在直观想象方面，帮助学生通过函数图像直观理解极限的几何意义，建立数与形的联系。通过本节课的学习，不仅使学生掌握求极限的工具，更重要的是培养他们用动态的、无限的观点分析问题的数学思维方式。

（三）教学情境设计

以“瞬时速度”这一经典物理问题作为切入点。提出问题：对于一个自由落体运动，其位移公式为s=1/2gt²，如何精确求出它在t=2秒这一时刻的瞬时速度？引导学生回顾平均速度v=Δs/Δt，发现当时间间隔Δt越来越小，平均速度会越来越趋近于一个固定的值。这一“趋近”过程正是极限思想的生动体现。通过这个跨学科（物理）的实例，激发学生的求知欲，自然引入本节课的主题：如何用数学语言精确描述这种“无限趋近”的过程，并计算这一确定的“极限值”。

二、核心概念构建与定义剖析

（一）数列极限的直观描述与精确定义

1.从实例出发

首先列举两个简单数列：an=1/n和bn=n/(n+1)。引导学生观察当n无限增大时，an和bn的变化趋势。学生可以直观地得出an趋近于0，bn趋近于1。此时，教师引出数列极限的【基础】描述性定义：对于数列{xn}，如果当n无限增大时，xn无限趋近于一个确定的常数A，那么就称当n趋于无穷大时，数列{xn}以A为极限。

2.认知冲突与定义精化

上述描述性定义中的“无限趋近”是模糊的。如何用精确的数学语言来界定“无限趋近”？引导学生思考：如何用距离来量化“趋近”？“xn无限趋近于A”意味着|xn-A|可以任意地小，要多小就能有多小。为了刻划“任意地小”，需要引入一个可以任意小的正数ε。要保证|xn-A|小于这个任意小的ε，就要求存在某一个时刻N，使得当n超过这个N之后，这个不等式恒成立。由此，水到渠成地引出数列极限的“ε-N”定义【核心概念】【难点】。该定义的精髓在于：对于任意给定的无论多么小的正数ε，总存在一个正整数N，使得当n>N时，不等式|xn-A|<ε恒成立。

3.定义的几何意义阐释

在数轴上，|xn-A|<ε表示点xn落在以A为中心、长度为2ε的开区间（邻域）内。ε-N定义的几何意义就是：对于A点的任意一个ε邻域，总能在数列中找到某一项N，使得这一项之后的所有项（即从第N+1项开始的无穷多项）都落在这个邻域之内。通过动画演示或板书画图，将抽象的代数定义转化为直观的几何图形，帮助学生理解“任意给定”、“存在N”、“之后所有项”这些逻辑量词的含义【重要】。

（二）函数极限的引入与定义

4.自变量趋于无穷大时的极限

类比数列极限，将离散的自变量“n”推广为连续的自变量“x”。考虑函数f(x)=1/x，当x→+∞时，函数值的变化趋势。同样可以建立“ε-X”定义：对于任意给定的ε>0，总存在正数X，使得当x>X时，恒有|f(x)-A|<ε。引导学生对比发现，数列是函数的一种特例，从而建立起知识间的联系。

5.自变量趋于有限值时的情况

这是本节课的另一【难点】和【高频考点】。仍从实例出发：考察函数f(x)=x²在x趋近于2时，函数值的变化趋势。通过列表计算x取1.9，1.99，1.999，…和2.1，2.01，2.001，…时的函数值，学生可以直观感受到f(x)无限趋近于4。问题转化为：如何用精确的数学语言描述“当x→2时，f(x)→4”？

关键在于：既要刻划x充分接近2，又要刻划f(x)充分接近4。前者意味着0<|x-2|可以任意小，后者意味着|f(x)-4|可以任意小。由此引入“ε-δ”定义【核心概念】。该定义的精髓在于：对于任意给定的无论多小的正数ε（衡量f(x)与4的接近程度），总存在一个正数δ（衡量x与2的接近程度），使得当x满足0<|x-2|<δ时，对应的函数值f(x)必然满足|f(x)-4|<ε。这里强调0<|x-2|是为了排除x=2这一点的情况，因为极限研究的是x趋近于2时的趋势，与x=2点本身是否有定义、函数值是多少无关。

6.定义的几何意义阐释

在平面直角坐标系中，画出一条通过点(2,4)的曲线y=f(x)。ε-δ定义的几何意义是：以直线y=4为中心线，作一个宽度为2ε的带状区域。那么，必定存在一个以直线x=2为中心线、宽度为2δ的竖条带，使得当x进入这个竖条带（但不包含x=2）时，曲线y=f(x)上的相应部分全部被框在水平带状区域内。这一解释将逻辑定义转化为直观的图形关系，使学生能更深刻地理解极限的“逼近”本质。

三、极限求解的基本方法与例题精讲

（一）直接代入法【基础】【高频考点】

1.方法原理

如果函数f(x)在点x0处连续（即f(x)是一个初等函数，且x0在其定义域内），那么当x→x0时，函数的极限就等于函数在该点的函数值。即lim_{x→x0}f(x)=f(x0)。这是求极限最基本、最常用的方法。

2.例题示范

（1）求lim_{x→3}(2x²-5x+1)。解：因为多项式函数在R上连续，直接将x=3代入，得2×9-15+1=4。

（2）求lim_{x→0}(sinx)/x？这里要特别注意，sinx/x在x=0处无定义，不能直接代入，以此制造悬念，为后续学习重要极限埋下伏笔，同时强调代入法的适用条件——函数必须在该点连续且有定义。

（二）消去零因子法（又称约去公因子法）【难点】【高频考点】

3.方法引入

当遇到0/0型未定式（即分子、分母的极限都为零）时，直接代入法失效。分析原因是因为分子分母含有共同的趋于零的因子。如果能将这个公因子约去，就可以转化为一个连续函数，再用代入法求解。

4.典型例题

（1）求lim_{x→1}(x²-1)/(x²-3x+2)。分析：当x→1时，分子分母均趋近于0。分解因式：分子=(x-1)(x+1)，分母=(x-1)(x-2)。于是原式=lim_{x→1}[(x-1)(x+1)]/[(x-1)(x-2)]。因为x→1但x≠1，可以约去公因子(x-1)，得到lim_{x→1}(x+1)/(x-2)。此时分母极限为-1≠0，直接代入x=1，得(1+1)/(1-2)=-2。

（2）求lim_{x→0}(√(1+x)-1)/x。分析：x→0时，分子分母均趋近于0。这是一个含有根式的0/0型，不能直接分解因式。采用有理化方法，分子分母同乘共轭表达式(√(1+x)+1)，则原式=lim_{x→0}[(1+x)-1]/[x(√(1+x)+1)]=lim_{x→0}1/(√(1+x)+1)=1/2。

5.方法总结

消去零因子法的关键在于识别并处理导致分子分母同时为零的公因子。处理手段包括因式分解、根式有理化、三角恒等变形等。其本质是化简函数，消除其在极限点处的不连续性。

（三）无穷小与无穷大法【重要】

6.无穷小的概念与性质

如果函数f(x)的极限为0，则称f(x)为该极限过程中的无穷小量。例如，x→0时，sinx,1-cosx,x等都是无穷小。重点介绍无穷小的性质【基础】：有限个无穷小的和仍是无穷小；有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。这个性质在求复杂极限时非常有用。

7.无穷大与无穷小的关系

在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为非零无穷小，则1/f(x)为无穷大。利用这一关系可以处理某些类型的极限。

8.例题示范

（1）求lim_{x→∞}(sinx)/x。分析：当x→∞时，1/x是无穷小（趋近于0），而|sinx|≤1，是有界函数。根据性质“有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小”，可得原式=0。此题体现了利用无穷小性质解题的巧妙之处。

（2）求lim_{x→1}(x²-2x+1)/(x³-x)。分析：将表达式分解，判别其是否为无穷大类型。当x→1时，分子→0，分母→0，仍是0/0型，可先考虑消去零因子。若分母极限为0而分子极限不为0，则极限为无穷大。

（四）极限的四则运算法则【基础】

9.法则阐述

如果limf(x)=A，limg(x)=B，那么：

（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B；

（2）lim[f(x)*g(x)]=A*B；

（3）lim[f(x)/g(x)]=A/B（其中B≠0）。

这些法则的前提是f(x)和g(x)的极限都存在。

10.综合应用

结合上述法则，对前面所学内容进行综合练习。例如，求lim_{x→2}(x²-4)/(x-2)。这既可用消去零因子法，也可视为两个函数商的极限。通过一题多解，加深学生对不同方法适用条件的理解，培养思维的灵活性。

四、教学实施过程详案

（一）温故知新，引入概念（约10分钟）

1.回顾旧知：提问学生高中阶段是如何理解“无限趋近”的？举例说明，如数列{1/n}的变化趋势。引导学生用自然语言描述极限的感性认识。

2.情境创设：播放一段flash动画，展示刘徽的“割圆术”，用正多边形面积无限逼近圆面积的过程。再次强调“无限细分，无限求和”的极限思想。

3.提出问题：这种直观的“无限趋近”在数学上如何精确刻画？瞬时速度问题中，平均速度的极限究竟是一个什么样的数？从而引出本节课的主题：极限的精确概念与求法。

（二）层层递进，揭示定义（约25分钟）

4.聚焦数列极限（约12分钟）

（1）以数列an=n/(n+1)为例，写出其前几项：1/2,2/3,3/4,4/5,...，引导学生发现其趋近于1。

（2）教师追问：“趋近于1”如何量化？如果要求an与1的差距小于0.1，即|an-1|<0.1，需要n满足什么条件？解不等式1/(n+1)<0.1，得n>9。

（3）继续追问：如果要求差距小于0.01、0.001呢？学生会发现，总存在一个相应的界限N（如99，999），使得n大于这个N时，不等式恒成立。

（4）在此基础上，将0.1,0.01,0.001抽象为任意小的正数ε，将9,99,999抽象为存在的一个正整数N，从而引出ε-N定义的雏形。

（5）板书并严格讲解数列极限的ε-N定义，逐字逐句分析“任意给定”、“存在”、“当n>N时”、“恒有”这几个逻辑词的含义【核心概念】【难点】。强调ε的任意性是定义的关键，它保证了无限接近；N的存在性依赖于ε，通常ε越小，N越大。

（6）通过数轴动态演示，展示当n>N时，所有点xn都落在A的ε邻域内，帮助学生建立直观印象。

5.类比迁移至函数极限（约13分钟）

（1）自变量趋于无穷大：将数列极限中的离散点n推广为连续变量x，类似地定义lim_{x→+∞}f(x)=A。通过函数y=1/x的图像，直观展示当x越来越大时，曲线无限接近x轴。然后给出“ε-X”定义，强调X相当于数列极限中的N。

（2）自变量趋于有限值：这是重中之重。回到函数f(x)=x²，当x→2。

（3）引导学生进行类比：现在要刻划的是x“无限接近”于2。如何量化x与2的接近程度？用距离|x-2|。如何保证f(x)“无限接近”于4？同样用距离|f(x)-4|。如何建立两者之间的联系？

（4）教师采用“逼近”游戏的方式：给定一个很小的ε，比如ε=0.1，要求学生找到这样一个δ，使得当x在2的δ邻域内（但不等于2）时，|x²-4|<0.1。通过解不等式|x²-4|=|x-2||x+2|<0.1，因为x接近2，可以假定|x+2|大约为4，从而可以控制|x-2|<0.025。验证可行。

（5）将这一具体过程抽象化：对于任意给定的ε>0，总存在δ>0，使得当0<|x-2|<δ时，有|x²-4|<ε。由此引出函数极限的ε-δ定义【核心概念】【难点】。

（6）几何解释：在黑板上画出抛物线y=x²在x=2附近的图像，画出y=4±ε的两条水平线，引导学生观察，存在一个x=2±δ的竖条带，使得该条带内的曲线部分完全位于水平带内。

（三）典型例题，方法精讲（约35分钟）

6.直接代入法示例（约5分钟）

（1）板书例题：lim_{x→1}(3x²-2x+5)，lim_{x→0}e^x，lim_{x→π/2}sinx。

（2）学生口答，教师点评，强化“连续点处极限值等于函数值”这一【基础】结论。

7.消去零因子法精讲（约15分钟）

（1）呈现0/0型例题：lim_{x→-2}(x²-4)/(x+2)。先让学生尝试直接代入，发现0/0的困惑。

（2）引导学生观察分子是平方差，可分解为(x-2)(x+2)。于是原式=lim_{x→-2}(x-2)(x+2)/(x+2)。强调x→-2但x≠-2，可以约去公因子(x+2)，得到lim_{x→-2}(x-2)=-4。

（3）呈现含根式例题：lim_{x→0}(√(1+x)-1)/x。引导学生思考如何将无理式有理化。演示分子有理化的过程，并总结有理化是消去零因子的一种重要技巧。

（4）呈现需先通分的例题：lim_{x→1}[1/(1-x)-3/(1-x³)]。先引导学生对括号内的两项进行通分，化简后再看是否为0/0型，再进行处理。此类题综合性较强，旨在训练学生的代数变形能力。

（5）小结：消去零因子法的核心是“先化简，后求值”。化简的工具包括因式分解、根式有理化、三角恒等变形、通分等。

8.无穷小性质应用（约10分钟）

（1）复习无穷小概念。提问：x→0时，哪些是无穷小？

（2）介绍重要性质：有界函数乘无穷小仍为无穷小。

（3）典型例题：lim_{x→0}x²sin(1/x)。分析：x²是无穷小（趋近于0），sin(1/x)是有界函数（绝对值≤1），所以它们的乘积仍为无穷小，极限为0。此题非常经典，既考查了对无穷小性质的理解，也提醒学生注意不要错误地使用极限运算法则（因为limsin(1/x)不存在）。

（4）拓展：lim_{x→∞}arctanx/x。同样，1/x是无穷小，arctanx是有界函数，极限为0。

9.四则运算法则综合应用（约5分钟）

（1）板书例题：lim_{x→1}(x²-1)/(x-1)+sin(x-1)。引导学生分析，第一项用消去零因子法求得极限为2，第二项用代入法求得极限为0，根据和的法则，整体极限为2。

（2）强调运用四则运算法则的前提：参与运算的每个部分的极限都必须存在。若某部分极限不存在（如无穷大），则不能直接套用。

（四）巩固练习，深化理解（约12分钟）

10.课堂练习：精心设计一组由浅入深的练习题，覆盖本节课所有知识点和求法。题目如下：

（1）基础题：lim_{x→2}(x³-8)/(x-2)（考察消去零因子）

（2）技能题：lim_{x→0}(tan2x)/(sin3x)（可化为重要极限形式，或用等价无穷小思想引导，但不深入讲解，提示学生用三角恒等变形后消去零因子）

（3）综合题：lim_{x→∞}(2x²+1)/(3x²-x+2)（分子分母同除以x的最高次幂，为后续学习无穷小比阶埋下伏笔，此处可引导学生观察最高次项系数比）

（4）辨析题：判断lim_{x→0}(x+sinx)/x是否存在？若存在，求其值。（引导拆成两项，利用重要极限的结论或无穷小性质）

11.巡视指导：教师在学生练习过程中巡回指导，及时发现并纠正共性问题，如代数变形错误、运算法则使用不当、对定义理解不深等。对于个别困难学生，进行一对一启发式点拨。

12.典型讲评：练习结束后，选取几位有代表性的学生答案进行投影展示，组织学生讨论、辨析，教师最后给出规范解答和思路点评。特别是针对第（4）题的辨析，引导学生理解极限存在与函数在该点有无定义无关，以及与四则运算法则适用条件的关系。

（五）课堂小结，建构网络（约5分钟）

13.知识梳理：引导学生回顾本节课所学的主要内容。

（1）极限的两个核心定义：数列的ε-N定义和函数的ε-δ定义，理解其逻辑结构和几何意义【核心概念】。

（2）极限的三种基本求法：直接代入法、消去零因子法、利用无穷小的性质。

（3）极限的四则运算法则及其适用条件。

14.思想方法提炼：在本节课的学习中，用到了哪些数学思想？

（1）从特殊到一般：从具体的数列、函数变化，抽象出一般的极限定义。

（2）数形结合：借助数轴和函数图像，直观理解极限的精确语言。

（3）转化与化归：将未定式极限（如0/0型）通过代数变形转化为可代入的形式。

（4）类比思想：将数列极限与函数极限进行类比，建立知识体系。

15.学习评价：对学生本节课的课堂表现、练习情况进行肯定性评价，同时指出存在的普遍问题，鼓励学生在课后继续巩固深化。

（六）布置作业，拓展延伸（约3分钟）

16.基础巩固作业：完成课后习题中关于用定义证明