因式分解法课件2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版九年级（上）25.2解一元二次方程25.2.3因式分解法第二十五章一元二次方程(1)直接开平方法：(2)配方法：(3)公式法：x2=a(a≥0)或

(mx+n)2=a(a≥0)(x+h)2=k(k≥0)问题：我们学过的解一元二次方程的方法有哪些？知识回顾知识点1：因式分解法解一元二次方程问题

根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s

的速度竖直上抛，那么物体经过

x

s

后的离地高度(单位：m)约为

10x－5x2.根据上述规律，物体经过多少秒落回地面?解：设物体经过xs

落回地面，由题意，得10x－5x2＝0.①

配方法：10x−5x2=0解：移项，得：−5x2+10x=0.二次项系数化为1，得：x2−2x=0

.配方，得：x2

−2x+1

=1

公式法：10x−5x2=0解：方程化为−5x2+10x=0，

方程有两个不相等的实数根

因式分解如果

a·

b=0，那么a=0

或b=0.两个因式乘积为

0，说明什么？或

10

-5x=0降次，化为两个一次方程解两个一次方程，得出原方程的根10x-

5x2=

0①

x(10

-

5x)=0②

x=0，

思考2

解方程①时，二次方程是如何降为一次的？思考1

除上述方法以外，有更简单的方法解方程①吗？x1=0，x2=2

知识要点通过因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式.再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法.因式分解法的基本步骤一移方程的右边=0方程的左边因式分解二分三化方程化为两个一元一次方程四解写出方程的两个解例1

解下列方程：解：因式分解，得∴x

-

2

=

0，或

x＋1

=

0.

解得

x1

=

2，x2

=

-1.(x

-

2)(x＋1)

=

0.解：移项、合并同类项，

得因式分解，得

(2x＋1)(2x

-

1)

=

0.解得∴

2x＋1

=

0，或

2x

-

1

=

0.总结简记口诀：右化零，左分解；两因式，各求解.(1)x2

−5x

+6=

0；(2)x2

+

4x

−

5

=

0；(1)(2)用因式分解的十字相乘法解题较快.解：(1)分解因式，得(x

−

2)(x

−

3)=

0，解：(2)

分解因式，得(x

+

5)(x

−

1)=

0，解得

x1

=

−5，x2

=

1．解得

x1

=

2，x2

=

3.1.解方程：2.若

x1,x2是方程

x2-2x-

3

=

0的两个实数根，

则

x1

·x22的值是()

A.3或

-9 B.-3或9

C.3或9 D.-3或

-9x2

-

2x

-

3

=

0(x

-

3)(x

+

1)

=

0

①

x1

=

3，

x2

=

-1x

=

3或

x

=

-1

②

x1

=

-1，

x2

=

3

x1

·

x22

=

3

x1

·

x22

=

-9AA知识点2：选用适当的方法解方程例2

用适当的方法解方程：(1)3x

(x+5)=5(x+5)；

(2)(5x+1)2=1；解：(3x

-

5)(x+5)=0.

即3x

-

5=

0，

或x+5

=0.

解得解：开平方，得

5x+1=±1.

解得

x1=

0，x2=

(3)x2

-12x=

4；(4)3x2=4x+1.解：(3)x2-

12x+62=4+62，

(x-6)2=40.

∴x1=，

x2=

解：(4)3x2-4x

-

1=0.

∵Δ

=b2-4ac=

28>0，

用因式分解法解下列方程：(1)2x2-3x=0； (2)5x(x-3)=x-3；跟踪训练

约去含未知数的因式导致漏解在用因式分解法解一元二次方程时，当左右两边均有含未知数的相同因式时，不可直接约去，因为含未知数的因式可能等于0，如果直接约去，会导致漏掉使因式为0的未知数的值.

用因式分解法解下列方程：(3)(3x+2)(2x+1)=-8x-4； (4)(2x-1)2-9=0.跟踪训练

(4)因式分解，得[(2x-1)+3][(2x-1)-3]=0.即(2x+2)(2x-4)=0.于是2x+2=0,或2x-4=0.所以x1=-1，x2=2.思考：学习了配方法、公式法、因式分解法等求解一元二次方程的方法后，你能说说它们各自的特点吗？方法理论依据适用方程关键步骤主要特点直接开平方法平方根的意义x2=n

(n≥0)或(ax+b)2=n

(a≠0，n≥0)型方程.开平方求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程.配方法完全平方公式所有一元二次方程.配方解法烦琐，当二次项系数为1或常数项较大时，用此法较简单.公式法配方所有一元二次方程.代入求根公式对系数进行混合运算，易出现化简不彻底的错误.因式分解法若

ab=0，则a=0或

b=0能化为一边为0，另一边为两个一次式积的形式的方程.分解因式求解迅速、准确，但适用范围较小.定义因式分解法把原方程转化成两个______乘积等于0的形式，在使这两个______分别等于0，从而实现降次理论依据若

ab

=

0，则

a=___，b=___一般步骤一次式00一移：使方程的右边为

0二分：将方程的左边因式分解三化：将方程化为两个一元一次方程四解：写出方程的两个解一次式基础练习1.填空：①x2

-

3x

+

1

=

0；

②3x2

-

1

=

0；

③

-3t2

+

t

=

0；④x2

-

4x

=

2；

⑤2x2

=

x；

⑥5(m

+

2)2

=

8；⑦3y2

-

y

-

1

=

0；

⑧2x2

+3x

=

1；

⑨(x

-

2)2

=

2(x

-

2).最适合运用直接开平方法：

；最适合运用因式分解法：

；最适合运用公式法：

；最适合运用配方法：

.⑥①③⑤⑦⑧⑨②④2.若一个三角形的三边长均满足方程

x2-

7x+12=0，求此三角形的周长.解：x2-7x+12=0，则(x-

3)(x-

4)=0.

∴x1=3，x2=4.∵

三角形三边长均为方程的根.①

三角形三边长为4、3、3，周长为10；②

三角形三边长为4、4、3，周长为11；③

三角形三边长为4、4、4，周长为12；④

三角形三边长为3、3、3，周长为9.3.解方程：(x2＋3)