二次函数的应用第2课时课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

第5章二次函数3二次函数的应用第2课时几何图形面积问题导入新课

同学们在路边、闹市区经常会看到很多的大型广告牌，大家平常见到的广告牌一般什么形状的比较多？

现在一个广告公司接到了一笔业务，需要设计一块周长为12m的矩形广告牌，公司一般根据广告牌面积的大小收取制作设计费，如果你是该公司的设计员，你能否设计出令公司满意的广告牌？探究新知探究1如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上。(1)设矩形的一边AB＝xm，那么AD边的长度如何表示？30m40mFCDBEA解:(1)由图易证△FDC∽△FAE

30m40mFCDBEA

结论：有两边在三角形的两直角边上时，矩形的最大面积为300m2，是在AB＝20m时取得的．(2)设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？（2）由题意可得

∴当x=0时，y最大，y最大＝300.【探究2】如果我们将这个问题再进行变式：如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中点A和点D分别在两直角边上，BC在斜边上。(1)设矩形的一边BC＝xm，那么AB边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大，最大值是多少？30m40mCDBMNOA解：过点O作OH⊥MN，易得△OAD∽△OMN，MN＝50m，OH＝24m，

30m40mCDBMNOAH

∴当x＝25时，y最大，y最大＝300。结论：当有一边在直角三角形的斜边上时，矩形的最大面积是300m2，是在BC＝25m时取得的。

30m40mCDBMNOAH应用举例【例1】某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时，窗户通过的光线最多?此时，窗户的面积是多少?(结果精确到0.01m2)

解：∵7x＋4y＋πx＝15，

∴0＜x＜1.48。

因此，当x约为1.07m时，窗户通过的光线最多。此时，窗户的面积约为4.02m2。【例2】如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝1，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，设EB＝BF＝GD＝DH＝x，则四边形EFGH的最大面积为____。2

随堂练习1.在前面的问题中，如果设AD边的长为xm，那么问题的结果会怎样？你是怎么得到的？解：∵AD=xm，DC∥AB，

30m40mFCDBEA

(0＜x＜30)∴当x=15时，y有最大值300.

30m40mFCDBEA2.一根铝合金型材长为6m，用它制作一个“日”字形窗户的框架ABCD(如图)，如果恰好用完整条铝合金型材，那么AB，AD分别为多少米时，窗户的面积最大？ABCD

即当AB，AD分别为1m，1.5m时，窗户面积最大，为1.5m2.3.如图，小亮父亲想用长为80m的栅栏，再借助房屋的外墙围成一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB=xm，面积为Sm2.（1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；解：（1）S=x·(80－2x)=-2x2+80x由题意0＜80－2x≤50∴15≤x＜40ABCDx（2）S=x·(80－2x)=-2x2+80x=-2(x-20)2+800∴当x=20时，S有最大值800.即当AB，BC分别为20m，40m时，羊圈面积最大，为800m2.（2）当AB，BC分别为多少米时，羊圈的面积最大?最大面积是多少?ABCDx课堂小结几何面