第2课时正方形的判定课件2026-2027学年北师大版数学九年级上册

正方形的判定1北师版九年级上册创设情境，导入新课正方形的定义正方形的性质正方形的对角线相等并且互相垂直平分。有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫作正方形。正方形的四个角都是直角，四条边相等。如何判定一个四边形是正方形，一般思考方法是什么？将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开。怎样剪才能剪出一个正方形？探究新知，经历过程提示：剪口线与折痕成45°角即可。四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的转化关系四边形平行四边形正方形菱形两组对边分别平行(或两组对边分别相等或一组对边平行且相等)两条对角线互相平分两组对角分别相等四条边都相等有一组邻边相等(或对角线互相垂直)有一组邻边相等，且有一个角是直角有三个角是直角有一个角是直角（或对角线相等）有一组邻边相等(或对角线互相垂直)距形有一个角是直角(或对角线相等)判断四边形是正方形有哪些方法？1.先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角。（定义法）2.先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边（对角线互相垂直）相等。3.先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角（对角线相等）。定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。已知：ABCD

是矩形，且AB=BC，试证明，ABCD是正方形。证明：∵ABCD

是矩形，∴∠A=90°，又∵AB=BC，∴ABCD是正方形（正方形的定义）。定理：对角线互相垂直的矩形是正方形。已知：ABCD

是矩形，AC

⊥

BD，试证明，ABCD是正方形。证明：∵ABCD

是矩形，∴∠A=90°，OA=OB=OC=OD，又∵AC⊥

BD，∴△AOB≌△AOD（SAS），∴AB=AD，∴ABCD是正方形（正方形的定义）。【选自教材P20随堂练习第1题】定理：有一个角是直角的菱形是正方形。已知：ABCD

是菱形，∠A=90°，试证明，ABCD是正方形。证明：∵ABCD

是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，又∵∠A=90°，∴ABCD是正方形（正方形的定义）。【选自教材P20随堂练习第1题】定理：对角线相等的菱形是正方形。已知：ABCD

是菱形，AC=BD，试证明，ABCD是正方形。证明：∵ABCD

是菱形，∴AB=BC

=CD=DA，OA=OC=OB=OD，∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直）。又∵AC=BD

，∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形。∴∠ABC=90°。∴ABCD是正方形（正方形的定义）。例2

已知：如图，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。求证：四边形BECF

是正方形。证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF

是平行四边形。∵四边形ABCD

是矩形，∴∠ABC=90°，∠DCB=90°。又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC=∠ABC=45°，∠ECB=∠DCB=45°。∴∠EBC=∠ECB。∴EB=EC。∴□BECF

是菱形（菱形的定义）。在△EBC

中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=180°－∠EBC－∠ECB=180°－45°－45°=90°。∴菱形BECF

是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。例2

已知：如图，在矩形ABCD

中，BE平分∠ABC，CE

平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。求证：四边形BECF

是正方形.三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半。如图，在△ABC中，EF为△ABC的中位线，①若∠BEF=30°，则∠A=______。②若EF=8cm，则AC=______。你还记得三角形的中位线定理吗？30°16cm一般四边形的中点四边形如图，任意画一个四边形，再以四边的中点为顶点画一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论。任意四边形的中点四边形是平行四边形。几何画板.GSP【选自教材P20随堂练习第2题】

如果四边形

ABCD

变为特殊的四边形，中点四边形

EFGH会有怎样的变化呢？原四边形中点四边形一般四边形平行四边形平行四边形？矩形？菱形？正方形？尝试·思考（1）如图，四边形ABCD是正方形，以它四边的中点为顶点的四边形，是一个怎样的四边形？先猜一猜，再证明你的猜想。ABCD猜想：以四边形四边中点为顶点的四边形是正方形。几何画板.GSP已知：如图，点E，F，G，H

分别是正方形ABCD

各边的中点。求证：四边形EFGH

为正方形。证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB

和BC边中点，∴EF∥AC且EF=AC，同理可证HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD。∴四边形PFQO为平行四边形。又∵四边形ABCD

是正方形，∴AC=BD（正方形的对角线相等）

AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直），∴EF=FG=HG=EH，∠1=90°。∴四边形EFGH是菱形（四边相等的四边形是菱形），∠2=90°。∴四边形EFGH

为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）。已知：如图，点E，F，G，H

分别是正方形ABCD

各边的中点。求证：四边形EFGH

为正方形。矩形的中点四边形矩形的中点四边形会是什么形状？矩形的中点四边形是菱形。你能试着证明这个结论吗？几何画板.GSP已知：如图，点E，F，G，H

分别是矩形ABCD

各边的中点。求证：四边形EFGH

为菱形。证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB

和BC边中点，∴EF∥AC且EF=AC，同理可证HG∥AC且HG=AC，EH∥BD且EH=BD，FG∥BD且FG=BD。∴四边形EFGH为平行四边形。又∵四边形ABCD

是矩形∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF=EH∴四边形EFGH是菱形（菱形的定义）。尝试·思考（2）类比上述问题，你还能提出什么问题？你能解决它们吗？原四边形中点四边形一般四边形平行四边形平行四边形？矩形菱形菱形？正方形正方形平行四边形的中点四边形会是什么形状？平行四边形的中点四边形是平行四边形。你能试着证明这个结论吗？（提示：连接AC、BD）几何画板.GSP平行四边形的中点四边形菱形的中点四边形会是什么形状？菱形的中点四边形是矩形。几何画板.GSP你能试着证明这个结论吗？菱形的中点四边形已知：如图，点E，F，G，H

分别是菱形ABCD

各边的中点。求证：四边形EFGH

为矩形。证明：连接AC，BD，∵E，F分别是AB

和BC边中点，∴EF∥AC，同理可证HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD。∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH，PFQO为平行四边形。又∵四边形ABCD

是菱形，∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直），∴∠1=90°，∠2=90°。∴四边形EFGH是矩形（矩形的定义）。原四边形中点四边形一般四边形平行四边形平行四边形平行四边形矩形菱形菱形矩形正方形正方形（3）在上述问题的解决过程中，你发现了什么规律？请说明理由。思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？对角线不垂直，不相等平行四边形对角线不垂直，不相等平行四边形对角线相等菱形对角线垂直矩形对角线相等且垂直正方形归纳

决定中点四边形

EFGH

的形状的主要因素是原四边形

ABCD的对角线的长度和位置关系。原四边形对角线关系不相等、不垂直相等垂直相等且垂直中点四边形形状平行四边形菱形矩形正方形回顾·反思回顾平行四边形和特殊平行四边形的性质及判定条件的探究过程，你有哪些感悟？积累了哪些经验？巩固练习，深化提高1.在四边形ABCD

中，AC、BD

相交于点O，下列条件能判断ABCD

是正方形的是（）A.OA=OC，OB=OCB.OA=OB=OC=ODC.OA=OC，OB=OD，AC=BDD.OA=OB=OC=OD，AC⊥BDABCDOD2.如图，在□ABCD

中，对角线AC，BD

相交于点O，E

是BD

延长线上的一点，且EA=EC。（1）求证：□ABCD是菱形；（2）若∠DAC=∠EAD+∠AED，求证：□ABCD是正方形。证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO。又∵EA=EC，∴EO⊥AC，即AC⊥BD。∴□ABCD是菱形。（2）∵∠ADO=∠EAD+∠AED=∠DAC，∴AO=DO。∵四边形

ABCD是菱形，∴AC=2AO，BD=2DO。∴AC=BD。∴菱形ABCD是正方形(对角线相等的菱形是正方形)。3.如图，在四边形ABCD

中，AC⊥BD

于点O，E，F，G，H

分别是AD，AB，BC，CD

的中点。（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）若AC=BD，求证：四边形EFGH是正方形。证明：（1）∵E，F，G，H分别为AD，AB，BC，CD的中点。∴EF，GH分别是△ABD和△CBD的中位线，∴EF∥BD，EF=BD，GH∥BD，GH=BD，∴∠1=∠BOC，EF

GH，∴四边形EFGH是平行四边形。同理，FG∥AC，EH∥AC，FG=EH=AC，∴∠1+∠EFG=180°。∵AC⊥BD，∴∠1=∠BOC=90°，∴∠EFG=180°－∠1=90°，∴□EFGH是矩形。（2）∵AC=BD，FG=AC，EF=BD，∴EF=FG。∴矩形EFGH是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）。课堂小结判定一个四边形是正方形的思路思考角度证明思路边角对角线四边形

+对角线相等且互相垂直平