第1课时　等差数列的前n项和公式课件2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

4.2.2等差数列的前n项和公式第1课时等差数列的前n项和公式目标素养1.掌握等差数列的前n项和公式及其推导过程.借助等差数列的前n项和公式的推导,提升数据分析素养.2.熟练掌握等差数列的五个量a1,d,n,an,Sn的关系,能够由其中三个求另外两个.提升数学运算素养.3.已知数列{an}的前n项和公式求通项公式.提升逻辑推理和数学运算素养.4.能灵活应用等差数列前n项和的性质解题.提升逻辑推理素养.知识概览课前·基础认知1.等差数列的前n项和公式

微拓展

1.等差数列前n项和公式的结构.2.方程思想.在等差数列前n项和公式中共涉及a1,d,n,an及Sn五个基本量,已知其中三个量可求另外两个量,即“知三求二”.3.函数思想.等差数列的前n项和公式可变形为Sn=,当d≠0时可以将其看作不含常数项的关于n的一元二次式,反之,若一个数列的前n项和是不含常数项的一元二次式,则此数列是等差数列.微训练

(1)在等差数列{an}中,已知a1=2,d=2,则S20的值为(

)A.230 B.420 C.450 D.540(2)在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则该数列的前11项和S11的值为(

)A.58 B.88 C.143 D.176答案:(1)B

(2)B2.等差数列{an}的前n项和Sn的性质

微探究若{an}是公差为d的等差数列,则a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是不是等差数列?如果是,公差是多少?提示:因为(a4+a5+a6)-(a1+a2+a3)=(a4-a1)+(a5-a2)+(a6-a3)=3d+3d+3d=9d,(a7+a8+a9)-(a4+a5+a6)=(a7-a4)+(a8-a5)+(a9-a6)=3d+3d+3d=9d,所以a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9是公差为9d的等差数列.课堂·重难突破一

等差数列的前n项和公式的基本运算典例剖析1.在等差数列{an}中,公差为d.(1)若a5+a10=58,a4+a9=50,求S10;(2)若S7=42,Sn=510,an-3=45,求n.解:(1)(方法一)由已知条件得

规律总结a1,d,n称为等差数列{an}的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,d,n,an,Sn中可知三求二,即等差数列{an}的通项公式及前n项和公式中“知三求二”的问题,一般是通过通项公式和前n项和公式联立方程(组)来求解.这种方法是解决数列运算的基本方法,在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体思想的运用.学以致用1.在等差数列{an}中,(2)若a1=4,S8=172,求a8和d;(3)若d=2,an=11,Sn=35,求a1和n.二

利用an与Sn的关系判断等差数列

解:根据Sn=a1+a2+…+an-1+an,则Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),可知规律总结已知数列{an}的前n项和Sn求通项公式,先由n=1时,a1=S1求得a1,再由n≥2时,an=Sn-Sn-1求得an,最后验证a1是否符合an,若符合,则统一用一个式子表示,若不符合,则分段表示.学以致用2.已知数列{an}的前n项和Sn=-2n2+n+2.(1)求数列{an}的通项公式;(2)判断数列{an}是否为等差数列.解:(1)由于Sn=-2n2+n+2,则当n≥2时,Sn-1=-2(n-1)2+(n-1)+2=-2n2+5n-1,即an=Sn-Sn-1=(-2n2+n+2)-(-2n2+5n-1)=-4n+3;当n=1时,a1=S1=1,不满足an=-4n+3,(2)由(1)知,当n≥2时,an+1-an=[-4(n+1)+3]-(-4n+3)=-4,但a2-a1=-5-1=-6≠-4,故数列{an}不满足等差数列的定义,不是等差数列.三

等差数列前n项和的性质典例剖析(2)(2024·九省联考)记等差数列{an}的前n项和为Sn,a3+a7=6,a12=17,则S16=(

)A.120 B.140

C.160

D.180AC解析:(1)∵数列{an},{bn}均为等差数列,且Sn,Tn分别为它们的前n项和,(2)因为a3+a7=2a5=6,所以a5=3,所以a5+a12=3+17=20,互动探究

解:∵b3+b18=b6+b15=b10+b11,规律总结在解题过程中适当运用等差数列前n项和Sn的有关性质,可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.学以致用3.设数列{an}为等差数列,Sn为数列{an}的前n项和,已知S7=7,S15=75,Tn为数列

的前n项和,求Tn.解:设等差数列{an}的公差为d,随堂训练1.已知等差数列{an}满足a1=1,am=99,公差d=2,则其前m项和Sm等于(

)A.2300 B.2400 C.2600 D.2500答案:D解析:根据题意,由am=a1+(m-1)d,得99=1+(m-1)×2,解得m=50,

4.已知等差数列{an}共有2n+1项,所有的奇数项之和为132,所有的偶数项之和为120,则n=

.

答案:10解析:因为等差数列{an}共有2n+1项,5.已知数列{an}满足a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),则数列{an}的通项公式为an=

.

答案:3(n+1)解析:由a1+2a2+…+nan=n(n+1)(n+2),①当n≥2时,得a1+2a2+…+(n-1)an-1=(n-1)·n(n+1),②由①-②,得nan=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)=n(n+1)[(n+2)-(n-1)]=3n(n+1),故an=3(n+1)(n≥2).当n=1时,a1=1×2×3=6也适合上式