高中数学第六章　§6.4　6.4.2　向量在物理中的应用举例

6.4.2向量在物理中的应用举例学习目标会用向量方法解决简单的力学问题及其他实际问题，体会向量在解决物理和实际问题中的作用.(重点)导语向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念，向量是既有大小、又有方向的量，它与物理学中的力学、运动学中的力、速度、位移等矢量有着天然的联系，将向量这一工具应用到物理中，可以使物理题解答更简捷、更清晰.一、向量与力例1(课本例3)在日常生活中，我们有这样的经验：两个人共提一个旅行包，两个拉力夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗？解先来看共提旅行包的情况.如图所示，设作用在旅行包上的两个拉力分别为F1，F2，为方便起见，我们不妨设|F1|=|F2|.另设F1，F2的夹角为θ，旅行包所受的重力为G.由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道|F1|=|G这里，|G|为定值.分析上面的式子，我们发现，当θ由0逐渐变大到π时，θ2由0逐渐变大到π2，cosθ2的值由大逐渐变小，此时|F1|由小逐渐变大；反之，当θ由π逐渐变小到0时，θ2由π2逐渐变小到0，cosθ2的值由小逐渐变大，此时|F1|由大逐渐变小.这就是说，F同理，在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力.例1如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂线的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1.(1)判断|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围.解(1)如图所示，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得-G=F1+F2，|F1|=|G|F2|=|G|tanθ，当θ从0趋向于π2时，|F1|，|F2|都逐渐增大(2)由|F1|=|G|cosθ，|F1|≤2|G|，得cos又0≤θ<π2，所以0≤θ≤π故角θ的取值范围为0，反思感悟用向量解决物理问题的一般步骤(1)问题的转化，即把物理问题转化为数学问题.(2)模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型.(3)参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值.(4)问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象.其中第一步转化问题时，要充分借助向量加法的平行四边形法则或三角形法则，同时还要正确作图.跟踪训练1设作用于同一点的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，若|F1|=1，|F2|=2，且F1与F2的夹角为2π3，如图所示(1)求F3的大小；(2)求F2与F3的夹角.解(1)由题意知，|F3|=|F1+F2|，因为|F1|=1，|F2|=2，且F1与F2的夹角为2π3所以|F3|=|F1+F2|=1+4+2×1×2×-12(2)设F2与F3的夹角为θ，因为F3=-(F1+F2)，所以F3·F2=-F1·F2-F2·F2，所以3×2×cosθ=-1×2×-12所以cosθ=-32，所以θ=5π二、向量与速度、加速度、位移例2(课本例4)如图所示，一条河两岸平行，河的宽度d=500m，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船的速度v1的大小为|v1|=10km/h，水流速度v2的大小为|v2|=2km/h，那么当航程最短时，这艘船行驶完全程需要多长时间(精确到0.1min)？解设点B是河对岸一点，AB与河岸垂直，那么当这艘船实际沿着AB方向行驶时，船的航程最短.如图所示，设v=v1+v2，则|v|=v1|2-v2此时，船的航行时间t=d|v|=0.596×60≈3.1所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要3.1min.例2一条东西方向的河流两岸平行，河宽800m，水流速度为4km/h，方向向东.河南岸有一码头A，码头A正对面有一货站B(AB与河的方向垂直)，B的正西方向且与B相距600m处另有货站C，已知一货船匀速航行，当货船自码头A航行到货站C的航程最短时，合速度为5km/h.(1)求货船航行速度的大小；(2)若货船从A出发垂直到达正对岸的货站B处，求货船到达B处所需时间.解(1)以A为坐标原点，以正东方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系如图所示.则A(0，0)，B(0，0.8)，C(-0.6，0.8)，货船从码头A航行到货站C的最短路径要求合速度方向由A指向C.设货船在静水中的速度为AQ=(x，y)，水流速度为4km/h，方向向东，即AP=(4，0)，合速度AR=AP+AQ=(x+4，y)，由题意，合速度方向与向量AC=(-0.6，0.8)同向，且大小为5km/h.设AR=k(-0.6，0.8)=(-0.6k，0.8k)，k>0，则(-0.6k)2+(0.8因此AR=(-3，4).则x+4=-3，则AQ=(-7)2+42=(2)设船速为AQ'=(a，b)，则AP+AQ'=(a+4，b)，由题意知a+4=0，a=-4.由(1)知船速大小为|AQ'|=AQ=65，故(-4)2+b2=65，b=7.所以所需时间为0.87=435(h反思感悟速度、加速度、位移的合成与分解，实质上就是向量的加、减运算.用向量解决速度、加速度、位移等问题，用的知识主要是向量的线性运算，有时也借助坐标来运算.跟踪训练2(多选)在水流速度大小为43km/h的河水中，一艘船以12km/h的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是()A.这艘船在静水中航行速度的大小为123km/hB.这艘船在静水中航行速度的大小为83km/hC.这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为150°D.这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为120°答案BD解析如图，设船的实际航行速度为v1，水流速度为v2，船在静水中的航行速度为v3，根据向量的平行四边形法则可知，v1=v2+v3，即v3=v1-v2，则|v3|=(v1-v2设船航行速度的方向和水流方向的夹角为θ，则tan(180°-θ)=v1|v2|所以tanθ=-3，θ=120°，故船在静水中航行速度的大小为83km/h，航行速度的方向与水流方向的夹角为120°.三、向量与功例3已知力F(斜向上)与水平方向的夹角为30°，大小为50N，一个质量为8kg的木块受力F的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平面上运动了20m.问力F和摩擦力f所做的功分别为多少？(g=10m/s2)解如图所示，设木块的位移为s，则WF=F·s=|F||s|cos30°=50×20×32=5003(J)将力F分解，它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|=|F|sin30°=50×12=25(N)所以摩擦力f的大小为|f|=|μ(G-F1)|=(80-25)×0.02=1.1(N)，因此Wf=f·s=|f

||s|cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J).即F和f所做的功分别为5003J和-22J.反思感悟力所做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是力和位移两个向量的数量积，即W=F·s=|F||s|cosθ(θ为F和s的夹角).跟踪训练3一物体在力F1=(3，-4)，F2=(2，-5)，F3=(3，1)的共同作用下从点A(1，1)移动到点B(0，5)，则在这个过程中三个力的合力所做的功为.答案-40解析∵F1=(3，-4)，F2=(2，-5)，F3=(3，1)，∴合力F=F1+F2+F3=(8，-8).又∵AB=(-1，4)，∴F·AB=8×(-1)+(-8)×4=-40，故在此过程中三个力的合力所做的功为-40.1.知识清单：(1)利用向量的加、减、数乘运算解决力、位移、速度、加速度的合成与分解.(2)利用向量的数量积解决力所做的功的问题.2.方法归纳：转化法.3.常见误区：不能将物理问题转化为向量问题.1.人骑自行车的速度是v1，风速为v2，则逆风行驶的速度大小为()A.v1-v2 B.v1+v2C.|v1|-|v2| D.v答案C解析由题意可知，车速与风速为共线向量，且方向相反，所以逆风行驶的速度大小为|v1|-|v2|.2.已知三个力F1=(-2，-1)，F2=(-3，2)，F3=(4，-3)同时作用于某物体上的一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于()A.(-1，-2) B.(1，-2)C.(-1，2) D.(1，2)答案D解析F4=-(F1+F2+F3)=-[(-2，-1)+(-3，2)+(4，-3)]=(1，2).3.已知力F的大小|F|=10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|=14，F与s的夹角为60°，则F做的功为()A.7 B.10 C.14 D.70答案D解析F做的功为W=F·s=|F||s|cos60°=10×14×124.一物体受到相互垂直的两个力F1，F2的作用，两力大小都为53N，则两个力的合力的大小为()A.5N B.52N C.53N D.56N答案D解析两个力的合力的大小为|F1+F2|=F12+F22课时对点练[分值：85分]单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分1.如果一架飞机向东飞行200km，再向南飞行300km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么()A.s>|a| B.s<|a|C.s=|a| D.s与|a|不能比较大小答案A解析s=200+300=500(km)，|a|=2002+3002=10013(km)，∴2.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1，2)从点A(4，6)处移动到点B(7，12)处，其所用时间长短为()A.2 B.3 C.4 D.8答案B解析∵|v|=12+2|AB|=(7-4)2+(12-6∴时间t=353.已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力的大小为20N，合力与F1的夹角为30°，那么F1的大小为()A.103N B.10NC.20N D.102N答案A解析设F1，F2的对应向量分别为OA，OB，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，如图，则OC=OA+OB，即为力F1，F2的合力.∵F1，F2的夹角为90°，∴四边形OACB是矩形，在Rt△OAC中，∠COA=30°，|OC|=20N，∴|OA|=|OC|cos30°=103(N).4.河水的流速为2m/s，一艘小船以垂直于河岸方向10m/s的速度驶向对岸，则小船在静水中的速度大小为()A.10m/s B.226m/sC.46m/s D.12m/s答案B解析由题意知|v水|=2m/s，|v船|=10m/s，作出示意图如图.∴|v|=102+=226(m/s).5.质点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v=(4，-3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位长度).设开始时点P的坐标为(-10，10)，则5秒后点P的坐标为()A.(-2，4) B.(-30，25)C.(10，-5) D.(5，-10)答案C解析设A(-10，10)，5秒后点P的坐标为A1(x，y)，则AA1=(x+10，y-10由题意有AA1=5即(x+10，y-10)=(20，-15)，所以x解得x故5秒后点P的坐标为(10，-5).6.(多选)河水自西向东流动的速度大小为10km/h，小船自南岸A点出发，想要沿直线驶向正北岸的B点，并使它实际速度的大小为103km/h，则该小船行驶的方向和静水速度的大小分别为()A.北偏西60° B.北偏西30°C.20km/h D.203km/h答案BC解析如图所示，设水流速度为AC，小船行驶的静水速度为AD，实际速度为AB，则四边形ACBD是平行四边形，∠BAC=90°，|AB|=103，|AC|=|BD|=10，∴tan∠BAD=|BD||∴∠BAD=30°，|AD|=|AB|27.(多选)如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是()A.绳子的拉力不断增大B.绳子的拉力不断变小C.船的浮力不断变小D.船的浮力保持不变答案AC解析设水的阻力为f，绳的拉力为F，绳AB与水平方向的夹角为θ0<θ<π2，则|F|cosθ=|f|，∴|F|=|f|cosθ.∵θ增大，cos∵|F|sinθ增大，且|F|sinθ加上浮力等于船的重力，∴船的浮力减小.8.(5分)一个重20N的物体从倾斜角为θ，斜面长1m的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10J，则θ=.答案30°解析∵WG=G·s=|G||s|cos(90°-θ)=20×1×cos(90°-θ)=10(J)，∴cos(90°-θ)=12，∴θ9.(5分)如图所示，两根绳子把质量为1kg的物体吊在水平杆AB上(绳子的质量忽略不计，g=10m/s2)，绳子在A，B处与铅垂方向的夹角分别为30°，60°，则绳子AC和BC的拉力的大小分别为，.答案53N5N解析设绳子AC和BC的拉力分别为f1，f2，物体的重力用f表示，则|f|=10N，f1+f2=-f.如图，以C为起点，分别作CE=-f1，CF=-f2，CG=f，则∠ECG=30°，∠FCG=60°，|CG|=10，∴|CE|=|CG|cos30°=10×3=53，|CF|=|CG|cos60°=10×12=5∴绳子AC的拉力大小为53N，绳子BC的拉力大小为5N.10.(10分)在风速为75(6-2)km/h的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向解设ω为风速，va为有风时飞机的航行速度，vb为无风时飞机的航行速度，va=vb+ω.如图所示.设|OC|=|va|，|OA|=|ω|，|OB|=|vb|，作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，则∠COD=45°，∴|CD|=|BE|=|DO|=|OC|cos∠COD=752，∴|DA|=756.从而|AC|=|CD|2+|DA|2=1502，∠CAD=∠BOD=30°.∴|11.新安江某段南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为|v1|=8km/h，水流的速度的大小为|v2|=4km/h，设v1和v2的夹角为θ(0°<θ<180°)，北岸的点B在A的正北方向，游船正好抵达B处时，cosθ等于()A.32 B.-32 C.1答案D解析如图，设船的实际速度为v，v1和v2的夹角为θ，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处，则v⊥v2，∴cosθ=-cos(π-θ)=-v2|v1|12.(多选)一物体受到3个力的作用，其中重力G的大小为4N，水平拉力F1的大小为3N，另一力F2未知，则()A.当该物体处于平衡状态时，|F2|=5NB.当F2与F1方向相反，且|F2|=5N时，物体所受合力大小为0C.当物体所受合力为F1时，|F2|=4ND.当|F2|=2N时，3N≤|F1+F2+G|≤7N答案ACD解析对于A，由题知，F2的大小等于重力G与水平拉力F1合力的大小，由图1知|F2|=5N，故A正确；对于B，如图2，物体所受合力大小等于向量AD与F2的和向量的大小，显然B错误；对于C，当物体所受合力为F1时，说明G与F2的合力为0，所以|F2|=4N，C正确；对于D，由上知，重力G与水平拉力F1的合力为AD，|AD|=5N，易知当F2与AD同向时合力的大小最大，最大值为7N，反向时合力的大小最小，最小值为3N，即3N≤|F1+F2+G|≤7N，故D正确.13.(5分)一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用处于平衡状态，已知F1，F2成60