高中数学第十章　章末复习课

一、随机事件的概率1.通过具体实例，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性.了解概率的意义及频率与概率的区别.2.掌握随机事件概率的应用，提升数学抽象和数学运算素养.例1电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大(只需写出结论)？解(1)由题意知，样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.故所求概率为502000(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=56+10+45+50+160+51=372.故所求概率估计为1-3722000(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率.反思感悟(1)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率.(2)概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关，可以用频率估计概率.跟踪训练1某人发现人们在邮箱名称里喜欢用数字，于是他做了调查，结果如表：邮箱数601302653061233213047006897名称里有数字的邮箱数3678165187728130028204131频率(1)填写表中的频率；(结果保留到小数点后两位)(2)人们在邮箱名称里使用数字的概率约是多少？解(1)由频率公式可算出表格中的频率从左向右依次为0.60，0.60，0.62，0.61，0.59，0.61，0.60，0.60.(2)由(1)知，虽然计算出的频率不全相同，但都在常数0.60左右摆动，因此，人们在邮箱名称里使用数字的概率约为0.60.二、互斥事件、对立事件与相互独立事件1.互斥事件是不可能同时发生的两个事件；对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者必须有一个发生.因此对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，对立事件是互斥事件的特殊情况.2.若事件A，B满足P(AB)=P(A)P(B)，则事件A，B相互独立，且当A与B相互独立时，A与B，A与B，A与B也相互独立.3.掌握互斥事件和对立事件的概率公式、相互独立事件的判断方法及应用，提升逻辑推理和数学运算素养.例2(1)在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是710的事件是(A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡答案A解析“至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”和“2张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件，其概率为1-310=7(2)下列选项中事件A，B是相互独立事件的是()A.袋中有3个白球，2个黑球，从中依次有放回地摸2个球，事件A=“第一次摸到白球”，事件B=“第二次摸到白球”B.袋中有两个白球和两个黑球，不放回地摸两次球，A表示“第一次摸到白球”，B表示“第二次摸到白球”C.掷一枚骰子，A表示“出现的点数为奇数”，B表示“出现的点数为偶数”D.有一个灯泡，A表示“灯泡能用1000小时”，B表示“灯泡能用2000小时”答案A解析对于A选项，根据有放回抽样的特点易知，事件A是否发生对事件B的发生没有影响，故A与B是相互独立事件；对于B选项，A事件发生与否会影响B事件发生的概率，故不是相互独立事件；对于C选项，由于投的是一枚骰子，故A，B是对立事件，不是相互独立事件；对于D选项，事件B受事件A影响，故A，B不是相互独立事件.反思感悟事件间的关系的判断方法(1)判断事件间的关系时，可把所有的试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果，从而断定所给事件间的关系.(2)对立事件一定是互斥事件，也就是说不互斥的两事件一定不是对立事件，在确定了两个事件互斥的情况下，就要看这两个事件的和事件是不是必然事件，这是判断两个事件是否为对立事件的基本方法.判断互斥事件、对立事件时，注意事件的发生与否都是对于同一次试验而言的，不能在多次试验中判断.跟踪训练2(1)新高考的“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.已知某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B()A.是互斥事件，不是对立事件B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件D.既不是互斥事件也不是对立事件答案A解析事件A与事件B不能同时发生，是互斥事件，但还有其他选择，所以不是对立事件.(2)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.事件甲表示“第一次取出的球的数字是1”，事件乙表示“第二次取出的球的数字是2”，事件丙表示“两次取出的球的数字之和是8”，事件丁表示“两次取出的球的数字之和是7”，则()A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立答案B解析事件甲发生的概率P(甲)=16，事件乙发生的概率P(乙)=16，事件丙发生的概率P(丙)=56×6=536，事件丁发生的概率P(丁)=66×6=16.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为16×6=136，P(甲丁)=P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为16×6=136，P三、古典概型1.古典概型是一种最基本的概率模型，是学习其他概率模型的基础，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性.在应用公式P(A)=mn时，关键在于正确理解试验的发生过程，求出试验的样本空间的样本点总数n和事件A的样本点个数m2.掌握古典概型的概率公式及其应用，提升数学抽象、数据分析的数学素养.例3(1)在某次线上抢红包活动中，若所发红包的总金额为9元，被随机分配为1.49元，1.31元，2.19元，3.40元，0.61元，共5份，供甲、乙等5人抢，每人只能抢一次，则甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率是()A.25 B.C.34 D.答案A解析样本空间Ω={(1.49，1.31)，(1.49，2.19)，(1.49，3.40)，(1.49，0.61)，(1.31，2.19)，(1.31，3.40)，(1.31，0.61)，(2.19，3.40)，(2.19，0.61)，(3.40，0.61)}，共10个样本点，其中甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的样本点有(3.40，0.61)，(1.49，3.40)，(1.31，3.40)，(2.19，3.40)，共有4个，所以甲、乙二人抢到的金额之和不低于4元的概率P=410=2(2)某地教育研究中心为了调查该地师生对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法，对该市区部分师生进行调查，先将调查结果统计如表：赞成反对合计教师120学生40合计280120①请将表格补充完整，若该地区共有教师30000人，以频率为概率，试估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数；②按照比例分配的分层随机抽样从“反对”的人中先抽取6人，再从中随机选出3人进行深入调研，求深入调研中恰有1名学生的概率.解①表格补充如下：赞成反对合计教师12080200学生16040200合计280120400故可以估计该地区教师反对“高考使用全国统一命题的试卷”这一看法的人数为30000×80200=12②由比例分配的分层随机抽样可知，所抽取的6人中有2名学生，记为a，b，4名教师记为1，2，3，4，随机选出3人进行深入调研，对应的样本空间Ω={(a，b，1)，(a，b，2)，(a，b，3)，(a，b，4)，(a，1，2)，(a，1，3)，(a，1，4)，(a，2，3)，(a，2，4)，(a，3，4)，(b，1，2)，(b，1，3)，(b，1，4)，(b，2，3)，(b，2，4)，(b，3，4)，(1，2，3)，(1，2，4)，(1，3，4)，(2，3，4)}，共20个样本点，恰有1名学生的样本点有(a，1，2)，(a，1，3)，(a，1，4)，(a，2，3)，(a，2，4)，(a，3，4)，(b，1，2)，(b，1，3)，(b，1，4)，(b，2，3)，(b，2，4)，(b，3，4)，共12个，故深入调研中恰有1名学生的概率P=1220=3反思感悟在古典概型中，计算概率的关键是准确找到样本点的个数，这就需要我们能够熟练运用图表和树状图，把样本点一一列出.而有许多试验，它们的可能结果非常多，以至于我们不可能将所有结果全部列出，这时我们不妨找找其规律，算出样本点的个数.跟踪训练3甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出了第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，裁判对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第1名”；对乙说“你当然不会是最差的”.从上述回答分析，丙是第1名的概率是()A.15 B.C.14 D.答案B解析∵甲和乙都不可能是第1名，∴第1名只可能是丙、丁或戊，又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，∴这三个人获得第1名的概率是等可能的，∴丙得第1名的概率为13四、相互独立事件概率的计算1.相互独立事件的概率通常和互斥事件的概率综合在一起考查，这类问题具有一个明显的特征，那就是在题目的条件中已经出现一些概率值，解题时先要判断事件的性质(是互斥还是相互独立)，再选择相应的公式计算求解.2.掌握相互独立事件的概率公式的应用，提升数学抽象和逻辑推理的数学素养.例4某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮，否则被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，2(1)求该选手进入第三轮才被淘汰的概率；(2)求该选手至多进入第二轮考核的概率.解记“该选手正确回答第i轮问题”为事件Ai(i=1，2，3)，则P(A1)=45，P(A2)=35，P(A3)=(1)该选手进入第三轮才被淘汰的概率为P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A=45×35×1-2(2)该选手至多进入第二轮考核的概率为P(A1∪A1A2)=P(A1)+P(A1)P=1-45+45×1-反思感悟解此类题的步骤(1)标记事件.(2)判断事件的独立性.(3)分清所涉及的事件及事件状态(互斥还是对立).(4)套用公式.跟踪训练4设甲、乙、丙三台机器是否需要照看相互之间没有影响，已知在某一小时内，甲、乙都需要照看的概率为0.05，甲、丙都需要照看的概率为0.1，乙、丙都需要照看的概率为0.125.(1)分别求甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照看的概率；(2)计算这一小时内至少有一台机器需要照看的概率.解记甲、乙、丙三台机器在某一小时内需要照看分别为事件A，B，C，则A，B，C两两相互独立.(1)由题意得P(AB)=P(A)P(B)=0.05，P(AC)=P(A)P(C)=0.1，P(BC)=P(B)P(C)=0.125，∴P(A)=0.2，P(B)=0.25，P(C)=0.5，∴甲、乙、丙每台机器在这一小时内需要照看的概率分别为0.2，0.25，0.5.(2)∵A，B，C两两相互独立，∴A，B，C两两相互独立，∴甲、乙、丙每台机器在一个小时内都不需要照看的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.8×0.75×0.5=0.3，∴这一小时内至少有一台机器需要照看的概率为P=1-P(ABC)=1-0.3=0.7.五、概率与统计的综合应用例5某班同学利用国庆节进行社会实践，从[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到数据统计如表和各年龄段人数的频率分布直方图.组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30)1200.6第二组[30，35)195p第三组[35，40)1000.5第四组[40，45)a0.4第五组[45，50)300.3第六组[50，55]150.3(1)补全频率分布直方图并求n，a，p的值；(2)从年龄在[40，50)岁的“低碳族”中采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人参加户外低碳体验活动，再从这6人中选取2人作为领队，求选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率.解(1)第二组的频率为1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3，所以高为0.35=0.06.第一组的人数为1200.6=200，频率为0.04×5=0.2所以n=2000.2=1由题可知，第二组的频率为0.3，所以第二组的人数为1000×0.3=300，所以p=195300第四组的频率为0.03×5=0.15，所以第四组的人数为1000×0.15=150，所以a=150×0.4=60.(2)因为年龄在[40，45)岁的“低碳族”与年龄在[45，50)岁的“低碳族”的人数的比为60∶30=2∶1，所以采用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人，则在[40，45)岁的“低碳族”中抽取4人，在[45，50)岁的“低碳族”中抽取2人.设在[40，45)岁“低碳族”中抽取的4人为a，b，c，d，在[45，50)岁“低碳族”中抽取的2人为m，n，则选取2人作为领队对应的样本空间Ω={(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)}，共包含15个样本点，其中恰有1人年龄在[40，45)岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共8个样本点.所以选取的2名领队中恰有1人年龄在[40，45)岁的概率为815反思感悟概率与统计综合应用的关注点概率与统计相结合，所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率往往是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大.在解决问题时，要求对图表进行观察、分析、提炼，挖掘出图表所给予的有用信息，排除无关数据的干扰，进而抓住问题的实质，达到求解的目的.跟踪训练5为了加强中学生实践、创新和团队建设能力的培养，促进教育教学改革，市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛.某中学举行了选拔赛，共有150名学生参加，为了了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整