高中数学第十章　周末练12　范围：§10.1

周末练12范围：§10.1[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.下列各项中，属于随机事件的是()A.若正方形的边长为a，则正方形的面积为a2B.在没有任何辅助的情况下，人在真空中也可以生存C.在一个标准大气压下，温度达到80℃时水会沸腾D.抛掷一枚硬币，反面向上答案D解析对于A，若正方形的边长为a，由面积公式可知其面积为a2，这是必然事件，故A不符合题意；对于B，真空中没有空气，在没有任何辅助的情况下，人不能在真空中生存，这是不可能事件，故B不符合题意；对于C，在一个标准大气压下，只有温度达到100℃，水才会沸腾，当温度是80℃时，水不会沸腾，这是不可能事件，故C不符合题意；对于D，抛掷一枚硬币时，结果可能是正面向上，也可能是反面向上，这是随机事件，故D符合题意.2.我国某城市某年4月的空气质量状况统计如表所示：污染指数T3060100110130140天数3510741当T≤50时，空气质量为优；当50<T≤100时，空气质量为良；当100<T≤150时，空气质量为轻微污染.该城市该年4月空气质量达到良或优的概率为()A.35 B.C.415 D.答案A解析由表知，4月空气质量达到良或优的有3+5+10=18(天)，故该城市该年4月空气质量达到良或优的概率为1830=33.口袋中装有编号为①②的2个红球和编号为①②③④⑤的5个黑球，小球除颜色、编号外完全相同.现从中取出1个小球，设事件A为“取到的小球的编号为②”，事件B为“取到的小球是黑球”，则下列说法正确的是()A.事件A与B互斥 B.事件A与B对立C.P(A+B)=67 D.P(AB)=答案C解析依题意，事件A∩B为“取到的小球为黑球且编号为②”，即事件A与B可以同时发生，则事件A与B不互斥，也不对立，故A，B都不正确；由古典概型的概率公式得P(A)=27，P(B)=57，P(AB)=所以P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=67，故C正确，D不正确4.掷两枚骰子，观察掷得的点数，设事件A为“至少有一个点数是奇数”；事件B为“点数之和是偶数”，则1-P(A∩B)是下列哪个事件的概率()A.两个点数都是偶数B.至多有一个点数是偶数C.两个点数都是奇数D.至多有一个点数是奇数答案D解析由题意，事件A∩B为“两个点数都为奇数”，由概率1-P(A∩B)指的是事件A∩B的对立事件的概率，则1-P(A∩B)是“至少有一个点数为偶数”或者“至多有一个点数为奇数”的概率.5.某班共有48名同学，其中12名同学精通乐器，8名同学擅长舞蹈，从该班任选一名同学了解其艺术特长.设事件A=“选中的同学精通乐器”，B=“选中的同学擅长舞蹈”，若P(A∪B)=13，则P(AB)等于(A.14 B.C.112 D.答案C解析由题知，P(A)=1248=14，P(B)=848因为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=13即14+16-P(AB)=所以P(AB)=1126.★★如图所示，现有一迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在1，2，4，5处，跳动一次只能进入3处；若它在3处，则跳动一次可以等可能地进入1，2，4，5处)，则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是()A.316 B.C.16 D.答案A解析由题意可知小青蛙三次跳动后的所有样本点有(3→1→3→1)，(3→1→3→2)，(3→1→3→4)，(3→1→3→5)，(3→2→3→2)，(3→2→3→1)，(3→2→3→4)，(3→2→3→5)，(3→4→3→4)，(3→4→3→1)，(3→4→3→2)，(3→4→3→5)，(3→5→3→5)，(3→5→3→1)，(3→5→3→2)，(3→5→3→4)，共16个.满足题意的样本点有(3→1→3→5)，(3→2→3→5)，(3→4→3→5)，共3个.由古典概型的概率计算公式可得，小青蛙在第三次跳动后，首次进入5处的概率是316二、多项选择题(每小题6分，共18分)7.在一次随机试验中，三个事件A1，A2，A3发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法错误的是()A.A1∪A2与A3是互斥事件，也是对立事件B.A1∪A2∪A3是必然事件C.P(A2∪A3)=0.8D.P(A1∪A2)≤0.5答案ABC解析三个事件A1，A2，A3不一定是两两互斥事件，故P(A1∪A2)≤0.5，P(A2∪A3)≤0.8，P(A1∪A2∪A3)≤1.A1∪A2与A3不一定是互斥事件，也不一定是对立事件.8.甲投篮5次，事件A=“恰好命中2次”，事件B=“第3次未命中”，则与事件A∪B互斥的事件是()A.仅第3次命中B.第3次命中且总命中次数为2C.第1，3，5次命中D.第2，4，5次命中答案AC解析A∪B的对立事件为A∩B，与A∪B互斥的事件应为A∩B的子事件，即“总命中次数不是2次且第3次命中”的子事件，故只有AC符合.9.某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组，3个小组分别有39，32，33个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况如图所示.现随机选取一个成员，则()A.他只参加音乐小组的概率为1B.他只参加英语小组的概率为8C.他参加至少2个小组的概率为3D.他参加不超过2个小组的概率为13答案CD解析由题图知参加兴趣小组的共有6+7+8+8+10+10+11=60(人)，只参加数学、英语、音乐小组的人数分别为10，6，8，故只参加音乐小组的概率为860=2只参加英语小组的概率为660=110，A，“参加至少2个小组”包含“参加2个小组”和“参加3个小组”两种情况，故他参加至少2个小组的概率为11+10+7+860=35，“参加不超过2个小组”包含“参加1个小组”和“参加2个小组”，其对立事件是“参加3个小组”，故他参加不超过2个小组的概率为1-860=1315，D三、填空题(每小题5分，共15分)10.一袋中装有10个红球、8个白球和7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球，则k的最小值为.

答案16解析一袋中装有10个红球、8个白球和7个黑球，现在把球随机地一个一个摸出来，为了保证在第k次或第k次之前能首次摸出红球，即把白球和黑球摸完后再摸到红球，8+7=15，则k>15，故k的最小值为16.11.已知事件A，B互斥，且事件A发生的概率P(A)=15，事件B发生的概率P(B)=13，则事件A，B都不发生的概率是答案7解析因为事件A，B互斥，且P(A)=15，P(B)=1所以事件A，B至少发生一个为事件A∪B，其概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=15+13=而事件A，B都不发生是事件A∪B的对立事件，则其概率为1-P(A∪B)=1-815=7即事件A，B都不发生的概率是71512.甲、乙两位同学进行乒乓球比赛，约定打满4局，获胜3局或3局以上的赢得比赛(单局中无平局).若甲、乙每局获胜的概率相同，则甲赢得比赛的概率为.

答案5解析由题意可知甲、乙打满4局比赛的结果包含的样本点有(甲，甲，甲，甲)，(甲，甲，甲，乙)，(甲，甲，乙，甲)，(甲，甲，乙，乙)，(甲，乙，甲，甲)，(甲，乙，甲，乙)，(甲，乙，乙，甲)，(甲，乙，乙，乙)，(乙，甲，甲，甲)，(乙，甲，甲，乙)，(乙，甲，乙，甲)，(乙，甲，乙，乙)，(乙，乙，甲，甲)，(乙，乙，甲，乙)，(乙，乙，乙，甲)，(乙，乙，乙，乙)，共16个，其中甲赢得比赛的样本点为(甲，甲，甲，甲)，(甲，甲，甲，乙)，(甲，甲，乙，甲)，(甲，乙，甲，甲)，(乙，甲，甲，甲)，共5个，故所求概率P=516四、解答题(共27分)13.(13分)有4张卡片，其中有2张是珍藏版.(1)有放回地从卡片中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是珍藏版的概率；(7分)(2)无放回地从卡片中任取2次，每次取出1张，计算取出的2张都是珍藏版的概率.(6分)解(1)将4张卡片分别记作A，B，C，D，规定A，B是珍藏版，则有放回地取出2张卡片的所有结果列表如下：ABCDA(A，A)(A，B)(A，C)(A，D)B(B，A)(B，B)(B，C)(B，D)C(C，A)(C，B)(C，C)(C，D)D(D，A)(D，B)(D，C)(D，D)可见所有的结果共16种，取出的2张是珍藏版的结果有4种，故所求概率是416=1(2)在(1)中的表格里去掉对角线上的(A，A)，(B，B)，(C，C)，(D，D)，得到的就是所有的结果数，为12，取出的2张是珍藏版的结果有2种，故所求概率是212=114.(14分)某中学的环保社团参照国家环境标准，制定了某区域空气质量指数与空气质量等级对应关系，如下表(假设该区域空气质量指数不会超过300).空气质量指数(0，50](50，100](100，150](150，200](200，250](250，300]空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染该社团将该区域在2025年11月中10天的空气质量指数监测数据作为样本，绘制的频率分布直方图如下，把该直方图所得频率估计为概率.(1)以这10天的空气质量指数监测数据作为估计2025年11月的空气质量情况的依据，则2025年11月中有多少天的空气质量达到优良？(6分)(2)已知空气质量等级为1级时不需要净化空气，空气质量等级为2级时每天净化空气的费用为1000元，空气质量等级为3级时每天净化空气的费用为2000元.若从这10天样本中空气质量等级为1级、2级、3级的天数中任意抽取两天，求这两天的净化空气总费用为3000元的概率.(8分)解(1)由频率分布直方图，可得这10天中空气质量达到优良的概率为P=(0.002+0.004)×50=310，因为30×310所以11月中有9天的空气质量达到优良.(2)由频率分布直方图知，这10天中空气质量等级为1级的有1天，2级的有2天，3级的有3天，设空气质量等级为1级的一天为A，空气质量等级为2级的两天为b，c，空气质量等级为3级的三天为1，2，3，则