高中数学第七章　§7.1　7.1.2　复数的几何意义

7.1.2复数的几何意义学习目标1.理解并可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.(重点)3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法.(难点)导语19世纪末20世纪初，著名的德国数学家高斯在证明代数基本定理时，首次引进“复数”这个名词，他把复数与平面内的点一一对应起来，创立了复平面，依赖平面内的点或有向线段(向量)建立了复数的几何基础.复数的几何意义，从形的角度表明了复数的“存在性”，为进一步研究复数奠定了基础.一、复数与复平面内点的关系问题1有序实数对是和坐标平面上的点一一对应的，复数能和坐标平面上的点一一对应吗？提示复数a+bi(a，b∈R)实质上是实数的有序实数对(a，b)，复数可以和坐标平面上的点一一对应.知识梳理1.建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2.复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，即复数z=a+bi复平面内的点Z(a，b)，这是复数的一种几何意义.例1(1)请完成以下表格.复平面内的点(0，0)(-2，0)(0，1)(-2，2)复数-2分类实数答案0i-2+2i实数纯虚数虚数(2)在复平面内，若复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i对应的点：①在虚轴上；②在第二象限内；③在y=x的图象上，分别求实数m的取值范围.解复数z=(m2-2m-8)+(m2+3m-10)i的实部为m2-2m-8，虚部为m2+3m-10.①由题意得m2-2m-8=0，解得m=-2或m=4.②由题意得m2-2m-8<0,③由已知得m2-2m-8=m2+3m-10，故m=25反思感悟利用复数与点的对应关系解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z=a+bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，注意不是(a，bi).(2)列出方程：此类问题可根据复数的实部与虚部应满足的条件列出方程(组)或不等式(组)，进而求解.跟踪训练1当实数m为何值时，复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内的对应点：(1)位于第四象限内；(2)位于x轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)？解(1)要使点位于第四象限内，则m∴m<3或m>5,(2)要使点位于x轴负半轴上，则m∴3<m<5,m(3)要使点位于上半平面(含实轴)，则m2+3m-28≥0，解得m≥4或m≤-7.二、复数与复平面内的向量的关系及复数的模问题2平面向量可以用有序数对来表示，借助有序数对能建立复数与平面向量的联系吗？提示在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，这样就可以用平面向量来表示复数.知识梳理1.复数与平面向量：如图所示，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量OZ由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量OZ唯一确定.因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系(实数0与零向量对应)，即复数z=a+bi平面向量OZ.这是复数的另一种几何意义.为方便起见，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量OZ，并且规定，相等的向量表示同一个复数.2.复数的模(1)定义：向量OZ的模叫做复数z=a+bi(a，b∈R)的模或绝对值.(2)记法：复数z=a+bi的模记作|z|或|a+bi|.(3)公式：|z|=|a+bi|=a2例2(课本例2)设复数z1=4+3i，z2=4-3i.(1)在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量；(2)求复数z1，z2的模，并比较它们的模的大小.解(1)如图所示，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，对应的向量分别为OZ1，(2)|z1|=|4+3i|=42+32=5，|z所以|z1|=|z2|.例2(1)设复数z1=-4+3i，z2=-4-3i.①在复平面内画出复数z1，z2对应的点和向量；②求复数z1，z2的模，并比较它们的模的大小.解①如图，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，对应的向量分别为OZ1，OZ②|z1|=|-4+3i|=(-4)2|z2|=|-4-3i|=(-4)2则|z1|=|z2|.(2)在复平面内，复数z对应的点(5，b)在第四象限内，若|z|=3，求复数z.解由题意，得z=5+bi(b<0)，则|z|2=(5)2+b2=32，解得b=-2或b=2(舍去)，所以z=5-2i.反思感悟(1)注意：复数z=a+bi(a，b∈R)的对应向量是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与OZ相等的向量有无数个.(2)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算.虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小.跟踪训练2下列命题中，假命题是()A.复数的模是非负实数B.复数等于零的充要条件是它的模等于零C.两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件D.复数z1>z2的充要条件是|z1|>|z2|答案D解析任意复数z=a+bi(a，b∈R)的模|z|=a2+b2≥由复数相等的条件z=0⇔a=0,b=0⇔|故B正确；若z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2∈R)，若z1=z2，则有a1=a2，b1=b2，∴|z1|=|z2|.反之由|z1|=|z2|，推不出z1=z2，如z1=1+3i，z2=1-3i，|z1|=|z2|，但z1≠z2，故C正确；不全为实数的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D错误.三、共轭复数1.定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.2.表示：复数z的共轭复数用z表示，即如果z=a+bi(a，b∈R)，那么z=a-bi.例3复数z=3-4i的共轭复数在复平面内对应的点在()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析z=3-4i的共轭复数为z=3+4i，可知其在复平面内对应的点在第一象限.反思感悟互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于实轴对称.特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上.跟踪训练3(多选)下列说法正确的是()A.复数和其共轭复数都是成对出现的B.实数不存在共轭复数C.互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称D.复数和其共轭复数的模相等答案AD解析由共轭复数的相关知识可知，AD正确.四、复数的几何应用例4(课本例3)设z∈C，在复平面内z对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)|z|=1；(2)1<|z|<2.解(1)由|z|=1得，向量OZ的模等于1，所以满足条件|z|=1的点Z的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆.(2)不等式1<|z|<2可化为不等式z不等式|z|<2的解集是圆|z|=2的内部所有的点组成的集合，不等式|z|>1的解集是圆|z|=1外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件1<|z|<2的点Z的集合.容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界(如图所示).例4设z∈C，且z在复平面内对应的点为Z，试说明满足下列条件的点Z的集合是什么图形.(1)|z|=2；(2)1≤|z|≤2.解(1)方法一|z|=2说明复数z在复平面内对应的点Z到原点的距离为2，这样的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.方法二设z=a+bi(a，b∈R)，由|z|=2，得a2+b2=4.故点Z对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.(2)不等式1≤|z|≤2可以转化为不等式组z不等式|z|≤2的解集是圆|z|=2及该圆内部所有点组成的集合.不等式|z|≥1的解集是圆|z|=1及该圆外部所有点组成的集合.这两个集合的交集，就是满足条件1≤|z|≤2的点的集合，如图中的阴影部分，故所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界.反思感悟(1)|z|表示在复平面内复数z对应的点到原点的距离.(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解.跟踪训练4设复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，|z1|=2，z2=3i，则Z1，Z2两点之间距离的最大值为()A.1 B.3 C.5 D.7答案C解析因为|z1|=2，说明复数z1在复平面内对应的点Z1到原点的距离为2，这样的点Z1的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆.z2在复平面内对应的点Z2为(0，3)，则最大值为点Z2(0，3)到圆心O的距离加上半径，即3+2=5.1.知识清单：(1)复数与复平面内的点、向量之间的对应关系.(2)复数的模及几何意义.(3)共轭复数.2.方法归纳：待定系数法、数形结合.3.常见误区：虚数不能比较大小，虚数的模可以比较大小.1.(2024·新课标全国Ⅱ)已知z=-1-i，则|z|等于()A.0 B.1 C.2 D.2答案C解析若z=-1-i，则|z|=(-1)2+(-12.已知z=m+(3m+2)i在复平面内对应的点在直线y=2x上，则实数m的值是()A.-2 B.-45 C.0答案A解析∵z=m+(3m+2)i在复平面内对应的点在直线y=2x上，∴3m+2=2m，解得m=-2.3.向量a=(3，1)，设向量a对应的复数为z，则z的共轭复数z=，|z|=.答案3-i104.写出一个同时满足下列条件的复数z=.①|z|=2；②复数z在复平面内对应的点在第二象限.答案-3+i(答案不唯一)解析设z=x+yi(x，y∈R)，依题意|z|=2，则x2+y2=4，且x<0，y>0，故可取x=-3，y=1，所以z=-3+i.课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分1.在复平面内，复数z=1+12i对应的点位于(A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析复数z=1+12i在复平面内对应的点为1,12.在复平面内，表示复数z=a-1+(a+2)i的点在第二象限，则实数a满足()A.-1<a<2 B.-2<a<1C.a>1 D.a<-2答案B解析由已知，得a-1<0,a+2>0,解得3.在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为-1+2i，若点A关于y轴的对称点为B，则向量OB对应的复数为()A.-2-i B.-2+iC.1+2i D.-1-2i答案C解析由题意知点A的坐标为(-1，2)，∵A(-1，2)关于y轴的对称点为B(1，2)，∴向量OB对应的复数为1+2i.4.设复数z=a+bi，a，b∈R，且z≠0，若|(a-3)+bi|=|a+(b-3)i|，则z的实部与虚部的比值为()A.3 B.2 C.1 D.1答案C解析由题意可得(a-3)2+b2=a2+(b-3)2，化简得a=b≠0，故z的实部与虚部的比值为1.5.已知复数z=a+3i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2，则复数z等于()A.-1+3i B.1+3iC.-1+3i或1+3i D.-2+3i答案A解析由|z|=2知，a2+(解得a=±1，又因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0，故a=-1，所以z=-1+3i.6.在平行四边形ABCD中，点A，B，C分别对应复数4+i，3+4i，3-5i，则点D对应的复数是()A.2-3i B.4+8iC.4-8i D.1+4i答案C解析由题意可得A(4，1)，B(3，4)，C(3，-5)，设平行四边形ABCD的对角线的交点为M(xM，yM)，点D的坐标为(x，y)，由中点坐标公式得x解得x所以点D的坐标为(4，-8)，则点D对应的复数为4-8i.7.(多选)在复平面内，OZ1，OZ2对应的复数分别为z1=12+32i，z2=cosθ+isinθ，且OZ1⊥A.-32+12i B.32C.32-12i D.-32答案AC解析因为z1=12+32i，z2=cosθ+isin且OZ1⊥即12,32·(cosθ，sin所以12cosθ+32sinθ即cosθ=-3sinθ，又sin2θ+cos2θ=1，则sinθ=所以z2=-32+12i或z2=328.(5分)若x-2+yi与3x-i互为共轭复数，则实数x，y之和为.答案0解析由题意知x解得x=-1,y=1,则x9.(5分)复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)在复平面上对应的点在虚轴上，则a=，|z|=.答案±12或0解析由题意知a2-1=0，解得a=±1，则当a=1时，z=2i，|z|=2；当a=-1时，z=0，|z|=0.10.(10分)设z=x+yi(x，y∈R)，若1≤|z|≤2，判断复数w=x+y+(x-y)i的对应点的集合表示什么图形，并求其面积.解|w|=(x+y)2+(x-y)2=2(x2+y2)=2|z|，而1≤|z|≤2，故2≤|w|≤2.所以w的对应点的集合是以原点为圆心，半径为2和2的圆所夹11.已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0，则复数z对应的点Z的集合是什么图形()A.一个圆 B.线段C.两点 D.两个圆答案A解析∵|z|2-2|z|-3=0，∴(|z|-3)(|z|+1)=0，∴|z|=3(|z|=-1舍去)，∴复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，以3为半径的一个圆.12.(多选)已知复数z1=-4+2i，z2=2+i，z3=-3+2i在复平面内对应的点分别为A，B，C，z2的共轭复数在复平面内对应的点为D，则()A.点A在第二象限B.|BC|=26C.|z1|=2|z2|D.点D的坐标为(2，-1)答案ACD解析对于A，因为A(-4，2)，所以点A在第二象限，A正确；对于B，因为B(2，1)，C(-3，2)，所以BC=(-5，1)，所以|BC|=25+1=26，B错误；对于C，|z1|=16+4=25，|z2|=4+1=5，所以|z1|=2|z2|，C正确；对于D，z2=2-i，所以D(2，-1)，D正确13.(5分)若复数z1=1+3i，z2=3-i(其中i为虚数单位)在复平面内所对应的向量分别为OZ1和OZ2，其中O为坐标原点，则△OZ1Z答案5解析依题意知，OZ1=(1，3)，OZ2=(3则|OZ1|=12|OZ2|=32又OZ1·OZ2=