2026高考数学导数专项：导数中的隐零点问题（学生版）

导数中的隐零点问题

题型预览

题型一：不含参函数的隐零点问题1

题型二：含参函数的隐零点问题10

题型三：函数零点的存在性19

题型各个击破

题型一：不含参函数的隐零点问题

1.已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x,g(x)=ex-ln(x+m).

(1)讨论fx的单调性；

(2)当m≤2时，求证gx>0；

(3)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．

2

2.已知函数fx=2lnx-x-1.

(1)试研究函数fx的极值点；

3

(2)若Fx=fx+4ax恰有一个零点，求证0<a<.

4

1

x-1

3.已知函数fx=lnx-axe+x+1，a∈R．

(1)当a=1时，求fx的极值；

(2)讨论函数fx的零点个数．

xa

4.已知函数fx=e-x(x>0)的两个零点为x1,x2，且x1<x2.

(1)求实数a的取值范围；

a

(2)若x+kx≥恒成立，求实数k的取值范围.

12e-2

2

a

5.设函数fx=lnx+-a．

x

(1)当a=1时，求fx的最小值；

(2)若fx恰有两个零点，求a的取值范围．

1

6.已知函数fx=ax+1-1+lnx+1．

x

(1)当a=1时，求函数fx在点1,f1处的切线方程；

(2)若函数fx在0,+∞上有零点，求实数a的取值范围．

3

7.黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数

xs-1

fx=(x>0,s>1,s为常数)密切相关，请解决下列问题：

ex-1

(1)当s=2时，求fx在点1,f1处的切线方程；

(2)当s>2时，证明fx有唯一极值点．

8.给定函数f(x)=(2x-1)ex.

(1)判断函数fx的单调性，并求出函数fx的极值;

x1

(2)证明:当x>0时，ef(x)-1>6lnx-2.

4

4

2xx

9.已知函数fx=ae+a-2e-x．

(1)若函数fx在点0,f0处的切线与直线x+3y=0垂直，求a的值；

(2)讨论函数fx的单调性；

(3)若fx有两个零点，求a的取值范围．

-x

10.已知函数fx=lnx+a+e-a，1<a<2.

(1)求证：fx有且仅有三零点.

(2)设x0为最小的零点，证明：当x∈-a,0，fx<fx0.

5

题型二：含参函数的隐零点问题

11.已知函数f(x)=ex-ax2-a，g(x)=(e-2)x．

(1)若fx在0,+∞上有两个极值点，求a的取值范围；

(2)证明：若f(x)≥g(x)在0,+∞上恒成立，则a≤1．

12.已知函数f(x)=e2x-ax-1．

(1)讨论fx的单调区间；

(2)若fx在区间0,+∞上存在唯一零点x0，证明：x0<a-2．

6

x-12

13.已知函数fx=ae+lnx+．

ax

(1)当a=1时，求fx的最小值；

(2)当0<a≤1时，证明：fx≥3．

12x-112

14.已知函数fx=x-lnx,gx=e-x-ax(a>0).

22

(1)求fx的单调区间；

(2)设函数Fx=fx+gx.证明：

(i)函数Fx有唯一极值点；

(ii)若函数Fx有唯一零点x0，则1<x0<2.

7

x+1

15.已知f(x)=.

1+ex

(1)求f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

1

(2)记f(x)的最大值为m，求证：<m<1.

2

12xx

16.设函数f(x)=ae-(a+1)e+x.

2

(1)当a=0时，求f(x)在[-1,1]上的最大值;

(2)讨论f(x)的单调性;

(3)若a>0，证明f(x)只有一个零点.

8

x

17.已知函数fx=e-lnx+m.

(1)若函数fx在x=0处有极小值，求m的值；

(2)当m≤2时，求证fx>0.

18.已知函数f(x)=ex-ln(x+m)．

(1)当m=0时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)当m≤2时，求证f(x)>0．

9

32

19.已知函数fx=x-3ax+a．

(1)当a=2时，求函数fx过原点的切线方程；

(2)若fx有三个零点，求a的取值范围．

x

20.已知函数fx=xe-ax-cosx+1.

(1)当a=2时，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；

(2)若∀x∈0,+∞,fx≥0，求实数a的取值范围.

10

题型三：函数零点的存在性

4

21.已知函数fx=x-a+bx+ab，其中-1<a<b<1.

1

(1)若a=0,b=，求fx的最小值；

2

(2)证明：fx至少有两个零点.

x1

22.(1)求证：f(x)=xe-1在x∈,1上有唯一的零点；

2

(2)函数f(x)=lnx-ax+1a∈R的单调区间．

11

2

23.已知函数fx=alnx+x-4x.

(1)讨论函数fx的单调性;

(2)当a>0时，证明：函数fx有且仅有一个零点.

2alnx+1

24.已知函数fx=(lnx)+,a>0．

x

(1)求证：x>0时，ex>x2；

(2)讨论fx的单调性；

(3)求证：∀a>0,fx恰有一个零点．

12

25.已知函数fx=log2x+3-log2x-3

(1)判断函数fx的单调性并证明；

(2)若关于x的方程fx=log2x+m在区间[4,6]上有解，求实数m的取值范围．

26.已知函数f(x)=xlnx,g(x)=x+a.

(1)设h(x)=f(x)-g(x)，求函数y=h(x)的单调区间；

x⋅g(x)

(2)若-1<a<0，函数M(x)=，试判断是否存在x∈(1,+∞)，使得x为函数M(x)的极小值

f(x)00

点.

13

27.已知函数f(x)=(x+1)lnx-ax+a.

(1)当a=1时，求函数f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若关于x的不等式f(x)>0在(1,+∞)上恒成立，求实数a的取值范围.

28.已知a≥1，函数fx=lnx+3+x+lna.

(1)若a=1，解不等式fx<x+1；

(2)证明：函数fx有唯一零点；

3a

(3)设fx0=0，证明：-lnx0+3>0.

x0+3

14

x

29.已知函数fx=ea+lnx，其中a∈R.

(1)若a=1，求y=f(x)在x=1处的切线方程；

(2)当a∈(0,ln2)时，设g(x)=f(x).求证：y=g(x)存在极小值点.

2x

30.设函数fx=-alnx+e，a>0．

(1)当a=e时，求函数fx的单调区间；

(2)证明：fx-2a-aln2+alna≥0．

15

a-1

31.设函数f(x)=lnx,g(x)=ax+-3(a∈R).

x

(1)求函数φ(x)=f(x)+g(x)的单调增区间；

(2)当a=1时，记h(x)=f(x)⋅g(x)，是否存在整数λ，使得关于x的不等式2λ≥h(x)有解？若存在，请

求出λ的最小值；若不存在，请说明理由.(参考数据：ln2≈0.6931,ln3≈1.0986)

x

32.设函数fx=e-ax-2，其导函数为fx.

x

(1)求函数fx=e-ax-2的单调区间；

(2)若a=1，k为整数，且当x>0时，x-kfx+x+1>0，求k的最大值.

16

lnx+a

33.已知函数fx=,a∈R．

x

(1)若x=1是fx的极值点，求a；

x-2

(2)当a≤-1时，证明：fx≤e-1．

x

34.设函数fx=e-ax-2，a∈R，其导函数为fx．

(1)求函数fx的单调区间；

(2)若a=1，k为整数，且当x>0，x-kfx+x+1>0，求k的最大值．

17

1xmm

35.已知0≤m<1，函数fx=e--